La concurrence

II.4.1 Definição Sejam d1, d2 duas métricas no conjunto E. Diz-se que a métrica d2 é

mais fina que a métrica d1, e nota-se d2  d1 se se verifica a condição: em cada ponto

p ∈ E, e para cada   0, existe pelo menos um p  0 tal que B0

2_{p, p ⊂ B} 0

1_{p, ,}

onde B0

i_{p, r r  0 é a bola aberta no espaço métrico E, di, i  1, 2. As métricas d} 1, d2

dizem-se equivalentes se cada uma é mais fina que a outra. Em linguagem lógica:

d2  d1 ≡ ∀p ∈ E, ∀  0, ∃p  0, B0

2_{p, p ⊂ B} 0

1_{p, ;}

d1, d2 são equivalentes≡ d2  d1, d1  d2.

II.4.2 Exemplos (1) A métrica discreta di num conjunto E é mais fina do que qualquer outra métrica d em E, pois a bola aberta de centro p e raiop  1 está contida em qualquer bola B0p,  para d. Se por exemplo E  R, a métrica di não é equivalente à métrica usual

em R. (2) II.3.7 mostra que as métricas de, dMe ds em Rn_{são todas equivalentes.}

II.4.3 Observações (1) Se as métricas d1, d2em E estão na relação d2  d1, toda a

sucessãoxn em E, convergente para um ponto p em E, d2 converge também para p no

espaço métricoE, d1. Assim se d1 e d2 são métricas equivalentes, tem-se lim xn  p em

E, d1 se e só se limxn  p em E, d2

(2) Se existem um ponto p ∈ E e uma sucessão xn em E tais que limxn  a em

E, d1, limxn  b em E, d2 e a ≠ b, podemos concluir que nenhuma das métricas d1, d2 é

mais fina que a outra. Também se existem suvessõesxn, yn em E tais que xn é

convergente emE, d1 (resp. yn) é convergente em E, d2), mas xn não é convergente

emE, d2 (resp. yn não é convergente em E, d1, então nenhuma das duas métricas é

mais fina que a outra.

(3) A recíproca de (1) é válida, i.e. se duas métricas d1, d2 em E são tais que, para cada

ponto p ∈ E, toda a sucessão convergente para p relativamente à métrica d1é convergente

para p relativamente à métrica d2 (resp. e também cada sucessão convergente para p

relativamente a d2, é também convergente para p relativamente à métrica d1), então d2 é

mais fina que d1(resp. as duas métricas são equivalentes).

(4) Se existe uma constante positiva c tal que as métricas d1, d2 em E verificam a

relação d1x, y ≤ cd2x, y, onde x, y são quaisquer pontos de E, então para cada   0,

  /c satisfaz a condição B0

2_{p,  ⊂ B} 0

1_{p,  em cada ponto p ∈ E, onde B} 0

i_{p, r é a}

II.4.4 Exercícios

(1) Verifique o exemplo (2) em II.4.2.

(2) Demonstre que se d1, d2 são métricas em E tais que para cada ponto p ∈ E, toda a

sucessãoxn em E verificando limxn  p em E, d2 é convergente para p em E, d1,

então d2  d1(Sug: prove a contra-recíproca, mostrando que se d2 não é mais fina que d1,

existem pelo menos um ponto p e uma sucessãoxn, xn → p em E, d2 mas tal que xn

não converge para p emE, d1).

(3) Mostre que as seguintes métricas são equivalentes: (i) d0, e em 0, , como em II.2.27 (2);

(ii) d e min1, d como em II.2.5 (2), em qualquer espaço métrico E, d; (iii) min1, d e d

d1 como em II.2.5 (2), em qualquer espaço métricoE, d. (Sug: para as três alíneas, pode utilizar II.4.3 (3)).

(4) Demonstre que se d1, d2, d3 são métricas em E, d2 mais fina que d1e d3

equivalente a d1, então d2 é mais fina que d3.

(5) Prove que: a) df, g 



₀1 ∣ xfx − gx ∣ dx, d1f, g 



0 1 ∣ fx − gx ∣ dx e d2f, g  



0 1

∣ fx − gx ∣2 1_{2são métricas no conjuntoC0, 1 das funções reais}

contínuas definidas no intervalo [0,1]; (Sug: utilize II.1.4 para d2).

b) a métrica d1é mais fina que a métrica d. (Sug: II.4.3 (4)).

II.4.5 Resoluções

(1) Utilizando II.3.7 temos: B0

dsp, r ⊂ B 0 dep, r para cada p ∈ Rn_{, r  0, e ds  de;} também B0 dep, r/n ⊂ B 0 dsp, r e de  ds, d

e, ds são equivalentes.; de é mais fina que dM, pois B0d ep, r ⊂ B 0 dMp, r; e B 0 dMp, r/ n  ⊂ B 0 de

donde dM  de e de, dM são equivalentes. B0 dsp, r ⊂ B 0 dMp, r, ds  dM e B0 dMp, r/n ⊂ B 0 dsp, r, dM  ds e ds, dM são equivalentes.

(2) Suponhamos que d1e d2 são métricas em E, e que d2 não é mais fina que d1.

Verifica-se então a negação da condição d2  d1, i.e., com B0ip, r a bola de centro p e raio

r para a métrica di, i  1, 2 tem-se: ∃p ∈ E, ∃  0, ∀  0 ~B02p,  ⊂ B01p, , ou, o

que é o mesmo, para certo ponto p e certo  0, existe, para cada  positivo, um ponto

x ∈ B02p,  tal que x ∉ B01p, . Fazendo   1/n para cada n ∈ N, obtemos uma

sucessão de pontos xn  x1/n tais que cada xn ∈ B02p, 1/n e xn ∉ B01p, . Obtemos

d2xn, p  1/n e, fazendo n → , vemos que d2xn, p → 0 n →  e portanto xn → p em

E, d2. Também, xn não converge para p em E, d1, uma vez que não existe nenhuma

ordem a partir da qual d1xn, p  , estas distâncias são sempre ≥ , onde  é certo número

(3) (i) Utilizando II.4.3, mostremos que cada sucessão convergente em0,  para um ponto, relativamente a uma das métricas, é convergente para o mesmo ponto, relativamente à outra métrica. Se p  0, tem-se xn → p se e só se x1n →

1

p; portanto

d0,xn, p ∣ xn − p ∣→ 0 é equivalente a xn, p  ∣ x1n −

1

p ∣→ 0. (ii) Se xn → p em E, d, dxn, p → 0 e então

min1, dxn, p  min1, dxn, p ≤ dxn, p → 0, logo xn → p em E, min1, d; e se min1, dxn, p → 0, existe uma ordem p1 ∈ N tal que dxn, p  min1, dxn, p se

n ≥ p1; para cada   0, existe pmin1,  ∈ N, pmin1,  ≥ p1, tal que dxn, p  min1, dxn, p  min1,  ≤  para cada n ≥ pmin1, , e dxn, p → 0, xn → p em E, d. As métricas d, min1, d são portanto equivalentes.

(iii) Como provámos em (ii), se xn → p em E, min1, d então xn → p em E, d, i.e.

dxn, p → 0. Segue-se que _d1d xn, p  dxn,p 1dxn,p → 0 e xn → p em E, d d1. Reciprocamente, se dxn,p 1dxn,p → 0 então lim dxn,p

2max1,dxn,p  0. Existe uma ordem p1/2 ∈ N tal que dxn,p

1dxn,p  1/2 para cada n ≥ p1/2; então tem de ser dxn, p  1 se n ≥ p1/2, pois a função real da variável real x  _1xx é crescente em0,  e se

dxn, p ≥ 1 com n ≥ p1/2 obtem-se o absurdo dxn,p

1dxn,p ≥ 1/2, com n ≥ p1/2. Logo

dxn,p

2 → 0 e dxn, p → 0, xn → p em E, d e xn → p em E, min1, d pela alínea

anterior.

(4) Se d2 é mais fina que d1, então (representemos por B0ip, r cada bola relativa à

respectiva métrica di, i  1, 2, 3) em cada ponto p de E e para cada   0, verifica-se uma inclusão B02p, p ⊂ B01p, , para certo p  0. Sendo d1 e d3 equivalentes, em particular

d1  d

3; logo, dado um qualquer número positivo, verifica-se uma inclusão

B01p, p′ ⊂ B03p, . Com p′  0 tal que B02p, p′ ⊂ B01p, p ⊂ B03p,  vemos que

d2  d3.

(5) a) (D1) df, g 



₀1 ∣ xfx − gx ∣ dx ≥ 0, pois o integral de uma função real contínua definida num intervalo limitado e fechado de R é finito e≥ 0 se a função é ≥ 0 em cada ponto do domínio; também df, f 



0 1 ∣ xfx − fx ∣ dx 



0 1 0dx  0. (D2)

df, g  dg, f porque ∣ xfx − gx ∣∣ xgx − fx ∣ e portanto os integrais são

iguais. (D3) df, h 



0 1 ∣ xfx − hx ∣ dx 



₀1 ∣ xfx − gx  gx − hxdx ≤



0 1 ∣ xfx − gx ∣  ∣ xgx − hx ∣dx 



0 1 ∣ xfx − gx ∣ dx 



0 1 ∣ xgx − hx ∣ dx  df, g  dg, h; (D4) d1f, g 



0 1 ∣ xfx − gx ∣ dx  0 implica xfx − gx  0 0  x  1 e

(D1)



0 1 ∣ fx − gx ∣ dx ≥ 0,



0 1 ∣ fx − fx ∣ dx 



0 1 0dx  0. (D2) d1f, g 



0 1 ∣ fx − gx ∣ dx 



0 1 ∣ gx − fx ∣ dx  d2g, f (D3) d1f, h 



0 1 ∣ fx − hx ∣ dx 



0 1 ∣ fx − gx  gx − hx ∣ dx ≤



₀1 ∣ fx − gx ∣ dx 



₀1 ∣ gx − hx ∣ dx  d2f, g  d2g, h. (D4) d1f, g 



0 1 ∣ fx − gx ∣ dx  0  fx − gx  0 x ∈ 0, 1 i.e, f  g. (D1) d2f, g  



0 1 ∣ fx − gx ∣2 _dx1_{2 ≥ 0, d} 2f, f 



0 1 0dx  0; (D2) d2f, g  



0 1 ∣ fx − gx ∣2 _dx1_{2  }



0 1 ∣ gx − fx ∣2 _dx1_{2  d} 2g, f; (D3) d2f, h  



0 1 ∣ fx − hx ∣2 _dx1_{2 } 



₀1 ∣ fx − gx  gx − hx ∣2 _dx1_{2 ≤} 



0 1 ∣ fx − gx ∣  ∣ gx − hx ∣2_dx1_{2 ≤} 



0 1 ∣ fx − gx ∣2 _dx1_{2  }



0 1 ∣ gx − hx ∣2 _dx1_{2  d} 2f, g  d2g, h; (D4) d2f, g  



0 1 ∣ fx − gx ∣2 _dx1_{2  0  fx  gx x ∈ 0, 1 i.e, f  g.} b) Tem-se df, g 



₀1 ∣ x ∣. ∣ fx − gx ∣ dx ≤



₀1 ∣ fx − gx ∣ dx  d1f, g.

Conclui-se de II.4.3 (3) que d1  d.

II.4.6 Definição As métricas d1, d2em E dizem-se uniformemente equivalentes se

satisfazem a condição de para cada  0, existirem pelo menos um   0 e pelo menos um

′ _{ 0 tais que B} 0 2_{p,  ⊂ B} 0 1_{p,  e B} 0 1_{p, ′ ⊂ B} 0

2_{p,  qualquer que seja o ponto p}

em E. (Notação como em II.4.1).

II.4.7 Observações (1) Pela definição, duas métricas d1, d2em E são uniformemente

equivalentes se e só se para cada  0, existem , ′  0 tais que d2x, y   implica

d1x, y   para todos os x, y ∈ E, e também para cada   0, existe ′  0 tal que

d1x, y  ′ implica d2x, y   para cada x, y ∈ E. (2) Se duas métricas em E são

uniformente equivalentes, então são equivalentes; a recíproca é falsa. (II.4.10 (2) adiante).(3) Dadas métricas d1, d2 em E, se existem constantes positivas c1, c2 tais que

d1 ≤ c2d2e d2 ≤ c1d1 em E E (i.e, d1x, y ≤ c2d2x, y em cada x, y ∈ E  E, e

analogamente para a segunda desigualdade), então as duas métricas são uniformemente equivalentes.

II.4.8 Definição SejaE, d um espaço métrico. A sucessão xn em E diz-se uma sucessão de Cauchy se satisfaz a condição de, para cada número positivo arbitrariamente escolhido, existir uma ordem p tal que a distância dxn, xm entre cada dois termos xn, xmfôr menor que, sempre que n, m ≥ p. Em linguagem lógica:

xn é de Cauchy ≡ ∀  0, ∃p  p ∈ N, n, m ≥ p  dxn, xm  .

II.4.9 Toda a sucessão convergente num espaço métrico, em particular, toda a sucessão constante a partir de certa ordem, é uma sucessão de Cauchy, mas a recíproca é falsa em geral.

II.4.10 Exercícios

(1) Prove que se duas métricas d1, d2em E são uniformemente equivalentes, então uma

sucessão é de Cauchy emE, d1 se e só se é de Cauchy em E, d2.

(2) Mostre que as métricas d0,, em 0,  (II.4.4 (3) (i)) não são uniformemente

equivalentes (Sug: considere a sucessão1

n e utilize o exercício anterior).

(3) Prove que se d1, d2, d3 são metricas num conjunto E, d1, d2 uniformemente

equivalentes, e se d2 e d3são uniformemente equivalentes, então também d1, d3são

uniformemente equivalentes.

(4) Mostre que seE, d é um espaço métrico, então:

(i) as métricas d, min1, d são uniformemente equivalentes; (ii) as métricas d, _dd_1 são uniformemente equivalentes. (iii) min1, d, d

d1 são uniformemente equivalentes (Sug: utilize (i), (ii) e (3)).

(5) Mostre que duas métricas d1, d2 em E podem ser uniformemente equivalentes, mas

um conjunto B ser limitado emE, d1 e não ser limitado em E, d2 (Sug: considere E  R

em (4) (i), d a métrica usual em R).

(6) Demonstre que toda a sucessão de Cauchy num espaço métricoE, d é um conjunto limitado.

II.4.11 Resoluções

(1) Basta provar que sexn é uma sucessão de Cauchy em E, d1 e d1, d2 são

uniformemente equivalentes, entãoxn é de Cauchy em E, d2. Sejam pois d1, d2 métricas

em E nas condições em da definição II.4.4, e sejaxn de Cauchy em E, d1 i.e.,

∀r  0, ∃p  pr ∈ N, n, m ≥ p  d1xn, xm  r. Se   0, existe   0 tal que

d1x, y    d2x, y   quaisquer que sejam x, y ∈ E; tomando r   na expressão

quantificada anterior obtemos: para cada  0, existe uma ordem p  p tal que

n, m ≥ p  d1xn, xm    d2xn, xm   o que, pela transitividade de "" , mostra que

xn é de Cauchy em E, d2 c.q.d.

(2) Com efeito, a sucessão xn  1n é de Cauchy em0, , d0,, mas

1

n, n1k  k ≥ 1 para cada m  n  k, k ∈ N e portanto não existe nenhuma ordem p tal

que1n, m1   1 para todos os n, m ≥ p, e 1n  não é de Cauchy em 0, , . Assim as métricas d0,, não são uniformemente equivalentes, pelo exercício anterior.

(3) Da hipótese d1, d2 uniformemente equivalentes e d2, d3 uniformemente equivalentes

temos:P1,2 ≡ para cada r  0, existe   0 tal que d1x, y    d2x, y  r para cada

x, y ∈ E; e podemos trocar d1 ↔ d2 obtendoP2,1 igualmente verdadeira. Analogamente,

verifica-se

P2,3 ≡ para cada   0, existe r  0 tal que d2x, y  r  d3x, y   para cada

x, y ∈ E, e P3,2 obtida trocando d2 ↔ d3 é também verdadeira. Pela transitividade de ""

concluimos deP1,2 e P2,3 que

P1,3 ≡ ∀  0, ∃  0, d1x, y    d3x, y  , para cada x, y ∈ E. E concluimos

tambémP3,1 (obtida de P1,3 trocando d1 ↔ d3), a partir deP3,2 e P2,1

analogamente, ficando provado que d1, d3 são iniformemente equivalentes.

(4) (i) Se 0   ≤ 1 então min1, dx, y   implica dx, y  . Assim para cada

  0, existe   min1,  tal que min1, dx, y    dx, y  ; claramente     0 satisfaz dx, y    min1, dx, y  .

(ii) Se dx, y   então d

1dx, y 

dx,y

1dx,y ≤ dx, y  . Reciprocamente, dado   0,

consideremos  _1  0. Como a função   _1 é estritamente crescente, a desigualdade _{1dx,y}dx,y  _1   implica dx, y  ; assim, para cada   0, existe

  

1  0 tal que 1dd x, y   implica dx, y   para cada x, y ∈ E, e as métricas

d, _1dd são uniformemente equivalentes.

(iii) Como vimos em (3), de min1, d uniformemente equivalente a d, e d

uniformemente equivalente a _1dd podemos concluir que min1, d e _1dd são uniformente equivalentes.

(5) Com d2  d, a métrica usual em R, e d1  min1, d, estas métricas são

uniformemente equivalentes, por (4) (i), e no entanto R é limitado emR, d1, pois todo o

conjunto R está contido na bola fechada de centro em qualquer ponto e raio 1; mas

R   em R, d2.

(6) Sejaxn uma sucessão de Cauchy no espaço métrico E, d. Existe então

p  p1 ∈ N tal que dxn, xp  1 para cada n ≥ p. O número não negativo

maxdxn. xp : 1 ≤ n  p  r é finito, pois é o máximo de um conjunto finito; tem-se

dxn, xp ≤ max1, r para todo o n, e portanto xn : n ∈ N ⊂ Bxp, max1, r, o que prova que o conjunto dos termos xn é limitado, c.q.d.

Dans le document Commission de regulation de l'electricite - CRE - Activity Report June 2001 (Page 32-35)