Conclustions et perspectives

1.5.1 Conclustions

Quand les effets visqueux et la conduction thermique sont négligeables, le transport d’énergie radiative peut fortement influencer la structure du choc faible. Quand la taille de l’onde de choc est suffisamment petite, nous montrons l’existence des profils de choc faible et le stabilité aysmptotique des profils de choc.

Nous étudions un modèle décrivant l’influence des radiations sur la répartition énergé-tique des atomes de la matière. Nous montrons l’existence des solutions et la convergence des solutions vers un régime d’équilibre statistique. Cette étude est complétée par un travail de validation numérique.

Introduction 27 1.5.2 Perspectives

Les principales perspectives de recherche qui apparaissent à l’issu de cette thèse concernent l’influence du transport d’énergie radiative sur la structure des chocs de grande ampli-tude. Dans un fluide thermoconductible, non visqueux, pour un choc de grande amplitude, seulement le profil de la température devrait changer continûment, et les autres inconnues éprouvent un saut de manière discontinue (Cf [49,61] et leurs références). Aussi pour le sys-tème plus simple couplant une équation de Burgers et une équation elliptique, Kawashima et Nishibata ont montré que les profils de choc avaient des discontinuités pour les chocs de grande amplitude. L’existence de ce résultat au cas du système de la dynamique des gaz est un enjeu, tant du point de vue de la modélisation physique que des développements mathématiques.

La deuxième perspective concerne l’explosion des solutions régulières définies locale-ment en temps. Dans le Chapitre 1, nous montrons l’existence locale en temps des solu-tions régulières. En dynamique des gaz, Sideris a construit des solusolu-tions qui explosent en temps fini, pour une classe de donnée initiales, [57]. Pour un système couplé de transfert radiatif proche de celui étudié au Chapitre 1, Zhong et Jiang ont construit des solutions régulières explosant en temps fini par un raisonnement "à la Sideris", [62]. Toutefois, ils exhibent des solutions qui explosent en temps fini au prix de nombreuses simplifications du modèle : absence de dispersion (σ_s= 0) et avec une loi d’émission un peu éloignée des modèles physiques. Il serait intéressant de chercher à étendre un tel résultat d’explosion pour un modèle plus complet sur le plan physique, ou au contraire de déterminer si ces termes peuvent limiter la croissance des solutions.

La dernière perspective concerne le modèle décrivant l’influence des radiations sur la répartition énergique du plasma. Si l’on considère les transitions libre-lié, les équations de densités ne sont plus linéaires en fonctions de la densité, parce que les coefficients des transitions libre-lié dépendent de la densité d’électrons libres. Il est donc intéressant d’étendre l’analyse du Chapitre 5 à ce cas, de comparer les transitions et d’étudier le comportement du terme source (le facteur qui compare le coefficient d’émissivité et le coefficient d’extinction).

28 Conclustions et perspectives

Chapitre 2

Radiative hydrodynamics with

Doppler corrections : Local existence of smooth solutions

2.1 Introduction and main result

This chapter is devoted to the local-in-time existence of smooth solutions of the follo-wing PDEs system















∂tρ+∇^x·(ρu) = 0,

∂_t(ρu) +Div_x(ρu⊗u+pI) = −1 c

Z

S^N−1

vQdv,

∂_t(ρ(e+^u₂²)) +∇x·(ρ(e+^u₂²)u+pu) = − Z

S^N−1

Qdv,

1

c∂_tf+v· ∇xf = Q.

(2.1)

The system arises in radiative transfer theory : it is intended to describe interaction between a fluid, described by its densityρ(t, x),its velocityu(t, x),and its specific energye(t, x),and a radiation field, described by its specific intensityf(t, x, v). Throughout this chapter, the pressurepis defined by means ofρand the specific energyeby the perfect gas constitutive law. Denote the total energy byE =e+|u|²/2.Here and below,t≥0,and x∈R^N stand for time and space variable respectively. The intensity of radiation f depends also on a direction variablev∈S^N−1.Throughout this chapterdv denotes the normalized Lebesgue measure onS^N−1. The system is completed by imposing initial data











 ρ u e



(0, x) =



 ρ₀ u₀ e₀



(x), f(0, x, v) = f₀(x, v).

(2.2)

We recall below a few facts about the physical background, only saying here that we restrict to a grey model where dependence with respect to the frequency of the radiation has been neglected. The interaction termQ depends non-linearly on the unknowns ρ, u, e and f. The coupling is due to energy and impulsion exchanges between the fluid and radiation. The precise definition ofQ will be given in the next section.

29

30 Introduction and main result Well posedness theory for (2.1) naturally appeals to classical fixed point strategies for hyperbolic systems. We refer to [15] for linear situation and [45], [24] for the non linear framework. Such a coupled system involving the Euler system and a kinetic equation has been investigated in [4] and [3], motivated by modeling of fluid/particles flows. However, the coupling dealt with in [4] and [3], has a different nature since it arises through friction force terms, instead of being related to ”collision-like source term” as in (2.1). We also mention the recent work [62] performed independently to ours, which is devoted to the analysis of a problem very close to (2.1), we only mention that the non-relativistic model studied in [62] incorporates the dependence of the frequency variable.

Let us denote by G the state space R⁺× {u ∈ R^N||u| < c} ×R⁺, where we assume that the fluid velocity is always less than the light speed. Unsurprisingly our main result states as the following :

Theorem 2.1. Let G₁ be a relatively compact set of G and s be an integer such that s > N/2 + 1.Assume that



 ρ0(x) u₀(x) e₀(x)



∈G₁, and





ρ0−ρ₀ u₀ e₀−e₀



∈H^s(R^N), and

f₀≥0, f₀−f¯₀∈L²(S^N−1;H^s(R^N))\

L^∞(R^N ×S^N−1),

where ρ₀,e₀ andf¯₀ are positive constants such that (¯ρ₀,0,e¯₀; ¯f₀) is a constant solution to the system (2.1) and (2.2). Then, there exists a T > 0, such that the problem (2.1) and (2.2) has a unique smooth solution (ρ, u, e, f) on [0, T], verifying

(ρ−ρ¯₀, u, e−e¯₀)∈C([0, T];H^s(Rⁿ)), and

f−f¯₀∈C([0, T];L²(S^N−1;H^s(R^N))).

This chapter is organized as follows. First we discuss modeling issues concerning the system (2.1) and we setup a few notations. Section 3 presents the iterative procedure that leads to the existence-uniqueness result. The crucial estimates are detailed in Section 4 and 5. The former shows uniform estimates with a ”high norm” involving many derivatives of the unknowns, while the latter justifies that the scheme is contractive in a ”low norm”

that is nothing but theL²−norm.

Throughout this chapter we shall denote the usual Sobolev spaces by H^s(R^N), with the norm k · kH^s(R^N) ,s∈N, defined by :

kfkH^s(R^N)=



X

|α|≤s

Z

R^N|∂_x^αf(x)|²dx





1 2

. The space L²(S^N−1

v , H^s(R^N

x)) stands for the space of functions f(x, v), verifying for a.e v∈S^N−1,f(·, v)∈H^s(R^N

x) and Z

S^N−1kf(·, v)k²_H^s₍R^N_x)dv <∞. We denote the norm of this space by :

N_s(f) = µZ

S^N−1kf(·, v)k²_H^s₍R^N_x)dv

¶¹₂

. (2.3)

Local existence of radiative hydrodynamics 31