Dans ce chapitre 6, nous avons d’abord analysé les difficultés spécifiques qui ap-paraissent dans le processus d’obtention du développement asymptotique topologique pour une équation elliptique quasilinéaire, par comparaison avec les étapes mises en œuvre pour une équation linéaire.
Définir la variation de l’état direct à l’échelle 1 dans RN conduit à vouloir appliquer le théorème de Minty-Browder à un opérateur non linéaire spécifique, qui dépend direc-tement de l’équation quasilinéaire considérée. Cette étape fait apparaître une nécessaire coexistence des normes Lp et L2 du gradient, et plus précisément elle requiert
– de se placer dans un espace fonctionnel dont la norme donne le contrôle sur les normes Lp et L2 du gradient et satisfait une inégalité de Poincaré ;
– de considérer une équation quasilinéaire elliptique telle que l’opérateur non li-néaire en résultant satisfasse une propriété de double p- and 2- ellipticité, ce qui n’est pas le cas de l’équation de p-Laplace.
La première condition justifie la construction de l’espace de Sobolev à poids et quotienté V(Rn) et de l’espace de Hilbert à poids et quotienté H(RN) à la section 6.2. La seconde explique le choix de la classe d’équations quasilinéaires fait en section 6.3. Outre la bonne définition de la variation de l’état direct à l’échelle 1, plusieurs autres composantes de la méthode linéaire ont dû être adaptées au cas non linéaire. En particulier, il s’est agi :
1. d’établir le comportement asymptotique de la variation de l’état direct à l’échelle 1, celle-ci étant maintenant solution d’un problème de transmission non linéaire dans RN;
2. de déterminer en fonction de ce dernier comportement, ce qui doit être considéré comme loin de la perturbation, donc négligeable dans le développement asympto-tique, par opposition à ce qui doit être considéré comme proche et donc intervenir dans le développement ;
3. de mettre en dualité l’état direct et l’état adjoint aux différentes étapes d’ap-proximation.
6.4. CONCLUSIONS 161 Il en résulte notre principale contribution énoncée au Théorème 6.3.1 qui fournit le développement asymptotique topologique pour la classe considérée d’équations ellip-tiques quasilinéaires.
Les travaux de recherche peuvent maintenant se poursuivre dans plusieurs direc-tions, comme par exemple
– l’obtention de développements asymptotiques topologiques pour des classes plus larges d’équations quasilinéaires, comme par exemple l’équation de p-Laplace ; – l’obtention du développement asymptotique topologique pour les équations non
linéaires de l’élasticité ;
– l’évaluation, en vue des applications, du coût du calcul du gradient topologique mis en évidence au Théorème 6.3.1.
Chapitre 7
Estimations et développements
asymptotiques pour des p-capacités
de condensateurs. Le cas anisotrope
du segment.
Notations pour le chapitre 7
Soit p ∈ (1, +∞). Soit N ∈ N, N ≥ 1. Quand un obstacle en forme de segment est étudié, i.e. à la section 7.3, on suppose N ≥ 2. Soit un domaine borné Ω ⊂ RN et un compact K ⊂ Ω.
Quelques notations usuelles seront utilisées, comme suit :
1. le symbole |E| désigne soit la norme euclidienne de E dans RN quand E ∈ RN, soit la mesure N-dimensionnelle de E quand E ⊂ RN;
2. SN −1 désigne la sphère unité dans RN et AN −1 l’aire de sa surface ; 3. C∞
0 (Ω) désigne l’espace des fonctions indéfiniment dérivables à support compact dans Ω et D′(Ω) l’espace des distributions sur Ω ;
4. l’espace de Sobolev W1,p(Ω) := {u ∈ D′(Ω); u ∈ Lp(Ω), ∇u ∈ Lp(Ω)} muni de la norme kuk1,p := kukpLp(Ω)+ k∇ukp Lp(Ω) 1 p; 5. W1,p 0 (Ω) désigne l’adhérence de C∞ 0 (Ω) dans W1,p(Ω) ;
6. enfin on pose β := (p − N)/(p − 1) ∈ (−∞, 1]. Il est commode de souvenir que p > N ⇔ β >0, et que β < 1, pour tout N ≥ 2.
7.1 Introduction et objectifs
La notion de capacité trouve son origine dans l’étude de la physique des condensa-teurs. Elle s’est depuis très largement développée en mathématiques, en théorie linéaire puis non linéaire du potentiel. Différentes définitions de la notion de capacité ont été étudiées. La notion de p-capacité variationnelle, p ∈ (1, ∞), d’un compact K ⊂ RN, N ≥ 2, dénotée cp(K), est d’un usage fréquent en théorie des solutions des équations elliptiques non linéaires [1]. Elle possède en effet les deux propriétés suivantes :
1. dénotant k la dimension de K, éventuellement au sens de Hausdorff, on a la règle de nullité suivante :
cp(K) = 0 si et seulement si p ≤ N − k;
2. sous des hypothèses appropriées, une solution d’une équation elliptique, définie dans un sous-domaine Ω \ K, peut être prolongée au domaine Ω tout entier, en conservant la même régularité, dès lors que cp(K) = 0. Autrement dit, K est une singularité éliminable dès lors que sa p-capacité variationnelle est nulle [79, 80]. Le point de vue adopté ici est inverse, puisque l’on cherche à détecter des compacts K en s’appuyant sur le fait que leur p-capacité est strictement positive, y compris pour des compacts de codimension ≥ 2, comme des points en 2D ou des courbes en 3D, dès lors que la valeur de p est suffisamment grande.
Se plaçant dans une perspective applicative, il est apparu pertinent de retenir ici une notion de capacité situant le compact K dans un domaine borné Ω. On étudiera donc ici la p-capacité d’un condensateur (K, Ω), telle que définie dans [49], et notée Cp(K, Ω) pour la distinguer de la notion de capacité variationnelle cp(K) qui considère le compact K dans RN.
L’objectif est donc d’obtenir des estimations de p-capacités de condensateurs stric-tement positives et lorsque c’est possible, d’en donner le développement asymptotique au sens du développement (5.6.1), notamment lorsque l’obstacle est un point ou une courbe. Une courbe régulière pouvant s’approximer localement par un segment, on se concentrera sur la cas où l’obstacle est un segment.
La plupart des estimations de capacités disponibles dans la littérature concerne le cas dit harmonique ou électrostatique, c’est à dire p = 2, qu’il s’agissent de résultats ayant trait à des capacités variationnelles comme en [85, 43] ou à des capacités de condensateurs comme dans [73, 74]. La plupart des estimations est obtenu sous forme d’inégalités. Les égalités sont l’exception. En ce qui concerne les p-capacités de conden-sateurs, p 6= 2, seules ont pu être calculées jusqu’ici les capacités de condensateurs sphériques (cf. [49] §2.11).
De plus on s’attend intuitivement à ce que la capacité d’un condensateur dépende non seulement de l’obstacle K, mais également de la géométrie du domaine Ω et de la position de l’obstacle dans le domaine. A l’inverse des capacités variationnelles, les cas de nullité des capacités de condensateurs ne sont que partiellement connus.
Concernant les problèmes de p-Laplace, la plupart des résultats disponibles s’in-téressent à des singularités isolées comme dans [54, 90]. Des solutions anisotropes, de la forme u(x) = |x|λ
ω(x/ |x|), où λ ∈ R et où ω est défini sur la sphère unité, ont été étudiées pour des équations quasilinéaires avec condition de Dirichlet, dans des do-maines dont la frontière présente un point conique [86, 75]. Mais l’anisotropie induite dans l’équation de p-Laplace par un segment n’a pas encore été étudiée. Nous donne-rons plusieurs illustrations de la forte anisotropie de la perturbation engendrée par un segment.
Dans ce chapitre, après une section préliminaire 7.2 dans laquelle nous étudions le cas d’obstacles d’intérieur non vide puis celui d’obstacles ponctuels, nos principales contributions, à la section 7.3, concernent le cas où l’obstacle est un segment. Nous introduirons pour ce faire la définition de condensateurs équidistants puis considérerons des condensateurs elliptiques.