Conclusions sur les recherches consultées

4.1 Des outils théoriques pour aborder de nouvelles questions

La variété des problèmes résolus dans les multiples dimensions signalées ci-avant et les connaissances-en-acte employées dans cette variété de problèmes rendent compte du degré de conceptualisation. Le processus d’apprentissage consiste alors à étendre la pertinence et l’efficacité des connaissances-en-acte150

sur une plus grande variété de problèmes (constitutifs du concept). Agir sur ce processus (côté enseignement) nécessite de prendre en compte à la fois les connaissances anciennes d’un sujet et les classes de problèmes propres à un concept. Mais d’autres facteurs interviennent dans l’apprentissage. En effet, c’est le type de stratégie employée qui porte la trace, à travers les connaissances-en acte, des connaissances mathématiques travaillées et utilisées. Or, dans ces stratégies employées les signifiants apparaissent en lien avec certaines connaissances-en-acte. Ils permettent ainsi de passer du concept-outil au concept-objet. Plus exactement, c’est leur emploi systématique en relation avec les mêmes connaissances-en-acte dans certains problèmes qui permet de faire ce lien : un signifiant évoque un panel de possibilités (connaissances-en-acte) pour résoudre un éventail de problèmes et réciproquement un éventail de problèmes évoquera un certain nombre de signifiants utiles à leur résolution. Qui plus est, certains théorèmes-en-acte sont utilisés en lien avec plusieurs signifiants différents (simultanément ou indépendamment). Ce sont les propriétés mathématiques en jeu dans ces relations signifiants/signifié(s) constituant le concept-outil qui peuvent alors être ensuite objet d’étude. Cependant dans les premiers apprentissages l’étude de l’objet est plus problématique puisque ces relations sont encore peu

stabilisées : le concept est encore en cours d’objectivation. C’est donc surtout un concept-outil non encore étudié en tant que concept-objet qui va intervenir dans les premiers temps de la conceptualisation et donc de l’apprentissage. Dans ce processus les signifiants jouent un rôle important. Ainsi, si un enjeu d’apprentissage est souvent exprimé en termes de signifiant en évoquant un concept-objet (par exemple la numération décimale de position), il nous faut dans notre cadre théorique le traduire en termes d’exploration d’une variété de problèmes, de connaissances-en-acte et d’étendue de leur opérationnalité pour un élève, ainsi que de connexions avec d’autres signifiants du même signifié(s) et finalement de connexions avec d’autres concepts. Ceci tout en tenant compte du niveau de conceptualisation déjà atteint par les élèves.

b. Des outils et des réponses partielles

Des outils

Les critères pour classer des stratégies que nous avons dégagés tiennent compte d’une part des liens entretenus entre les deux systèmes de numération et le signifié(s) « nombre » et d’autre part la diversité des stratégies possibles. Nous en avons dégagé un outil pour notre étude : la notion de cheminement cognitif au niveau du sujet qui résout un problème sur le nombre. En outre, nous avons utilisé les cheminements cognitifs pour analyser à l’aide de notre cadre théorique les problèmes susceptibles d’être rencontrés par les élèves en ce qui concerne leur premiers pas dans la conceptualisation du nombre faisant intervenir la numération écrite chiffrée.

Les interprétations au niveau du sujet

Notre cadre théorique permet d’apporter des éléments de réponse sur le type de questions posées à la fin de la première partie, en premier lieu de voir quelle est la différence au niveau du sujet entre les différentes interprétations. En effet, notamment à travers l’analyse des problèmes sur le nombre, nous avons mis en résonance stratégies et interprétations. Leur lien est complexe car il est difficile de relier directement théorèmes ou concepts-en acte et stratégies puis stratégies et problème. C’est plutôt un réseau que nous avons mis en évidence, et un réseau qui comporte sa propre structure. Ainsi, pour un problème donné, l’efficacité et la pertinence des stratégies reposent sur les potentialités des systèmes de numération quand des désignations du nombre sont en jeu. Au niveau du sujet de la TCC, notre analyse peut se comprendre comme une précision des liens entre d’une part les théorèmes, propriétés et relations des systèmes de numérations et d’autre part les possibilités d’extension et de restriction des schèmes utilisés. Ceci nous amène à considérer que les paramètres de la situation (au sens de Vergnaud) sont des éléments importants à prendre en compte pour appréhender les interprétations au niveau du sujet.

Un premier résultat

De manière globale, notre cadre théorique permet de distinguer chez un sujet l’usage d’interprétations arithmétiques (additives et multiplicatives) d’interprétations ordinales (strictement ou avec repérants). C’est lorsque les signifiants sont employés dans des problèmes des structures arithmétiques (additive ou multiplicative) que nous dirons que l’interprétation convoquée est de type arithmétique. Concrètement, cela peut permettre d’avoir un paramètre pour distinguer l’interprétation arithmétique additive de l’interprétation ordinale avec repérant chez un sujet. Si par exemple le cardinal est obtenu par réunion de deux collections, une de cardinal trente et une de cardinal dix, trente et quarante sont utilisés comme des appuis additifs. Si à partir de trente, la comptine numérique est utilisée pour considérer un par un les éléments restants jusqu’à en obtenir quarante, trente et quarante sont

utilisés comme repérants. Nous avons indiqué cependant dans les définitions des termes « calculer » et « compter » en quoi la distinction était difficile parfois à saisir.

Des difficultés méthodologiques

Lorsque le concept outil devient un concept objet, les potentialités de chaque interprétation deviennent plus facilement analysables. Un exemple en est les procédés concrets de mise en signes que nous avons dégagés dans la première partie de la thèse. Cependant, dans les théorèmes-en-acte utilisés par le sujet, en particulier de par leur visée pragmatique (la finalité est que « ça marche » mais pas de savoir « pourquoi ça marche »), telle ou telle interprétation n’est pas identifiable en tant que telle : elle s’inscrit dans un réseau de connaissances (relatives à un champ conceptuel).

Particulièrement au début des apprentissages, les concepts sont pour le sujet/élève le plus souvent des outils, ce qui met en exergue des connaissances-en-acte et non des connaissances objectivées. Demander à un élève ce qu’il a fait et comment il a fait pour résoudre un problème, surtout pour un enfant de primaire, n’est donc pas un moyen efficace (à lui seul) ni fiable pour accéder à la propriété mathématique en jeu. Notre cadre théorique nous a fourni un outil qui relie le sujet et les connaissances qu’il utilise, ce sont les théorèmes-en-acte. Comment connaître les théorèmes-en-acte utilisé par tel élève ? L’étude que nous avons menée sur les stratégies dans les problèmes relatifs aux cardinaux de collection peut nous servir à délimiter un champ des possibles. Revenons sur celle-ci.

Nous avons relié certains (ensembles de) théorèmes-en-acte à des propriétés issues des interprétations dégagées dans la première partie de la thèse. Mais se pose la question de relier les stratégies envisageables et les théorèmes-en-acte. Utiliser la stratégie 1 dans les items 1, 3, 4 permet de réussir. Mais cette réussite n’assure pas une conception exacte de la cardinalité, ni une identification précise des connaissances utilisées. Les travaux de Piaget, mêmes rediscutés151, mettent en évidence la complexité des mécanismes en jeu. Il est difficile d’y associer des théorèmes-en-acte a priori. Notons que toutefois, utiliser cette stratégie 1 (en la pensant efficace) dans le problème de l’item 5, et plus encore dans l’item 6 permet d’inférer une conception erronée de la cardinalité. Nous retenons cependant certains points qui permettent de faire une analyse des stratégies pour en inférer des théorèmes-en-acte :

- des recherches anciennes sur les connaissances (potentiellement) en jeu peuvent être utilisées,

- des stratégies erronées sont plus facilement interprétables que des stratégies menant au bon résultat, ainsi, il est plus facile d’associer des théorèmes-en-acte à certaines stratégies,

- une démarche globale doit être aussi entreprise pour chaque problème, c'est-à-dire qu’un découpage trop fin du problème général ne permet pas d’envisager un certain nombre de facteurs à prendre en compte : une stratégie peut être choisie par exemple de par son lien avec la suivante ou de par son lien avec la finalité du problème, ce qui permet d’inférer une plus grande variété de théorèmes-en-acte,

- les théorèmes-en-acte sont contextualisés,

- l’influence des connaissances anciennes est déterminante et une certaine évaluation de celles-ci est nécessaire a minima.

Ainsi n’est-il pas aisé pour l’observateur d’inférer un usage de telle ou telle interprétations de la numération dans les procédures observées, du fait en particulier que des mêmes procédures apparentes peuvent relever de différentes interprétations. Cependant la prise en compte des facteurs indiqués précédemment peut permettre une analyse.

Ceci a une conséquence d’ordre méthodologique. L’analyse des problèmes est nécessaire pour une étude du côté des élèves dans notre cadre théorique, mais nécessite des compléments

d’information accessibles par d’autres moyens pour appréhender les facteurs propres à une classe.

4.2 Les questions soulevées, celle retenues

Nous relevons des questions sur l’apprentissage et sur l’enseignement.

Nous avons relevé des difficultés à classifier les problèmes à proposer aux élèves à des fins d’apprentissage, ce qui ressort d’une première question : quels problèmes à proposer aux élèves ? Ce premier niveau nécessite une étude plus approfondie que celle que nous avons faite afin de relier les théorèmes-en-acte, les stratégies, et les interprétations.

Nous avons mis en évidence des différences entre les différentes interprétations des numérations, la question se pose alors : quelles sont les possibilités d’articulation des interprétations dans l’enseignement institutionnel ? Ce deuxième niveau nécessite cette fois-ci une étude de la « circulation » des interprétations à une échelle plus globale que celle d’un problème.

Les deux questions sont liées. Ainsi, pour organiser l’apprentissage dans une classe, une progression à l’échelle des notions à articuler est nécessaire, mais la proposition de problèmes adéquats l’est aussi. Nous avons indiqué précédemment la complexité du travail concernant la classification des problèmes. Cependant, nous avons fait un premier pas qui permet de circonscrire les liens entre les interprétations et les problèmes via les stratégies envisageables pour résoudre ces derniers. Il est alors envisageable de répondre à la première question grâce à des tests en classe. Par contre nous n’avons donné pour l’instant aucune réponse sur l’articulation des interprétations dans l’enseignement que l’on peut proposer. Or ces réponses sont indispensables pour suivre l’objectif de la thèse, la compréhension des déroulements en classe, susceptible de mener à de nouvelles pistes pour l’enseignement (qui seraient encore à étudier). C’est pourquoi, nous allons développer des outils pour apporter des éléments de réponse à cette dernière question.

4.3 Vers une problématique en termes d’enseignement

En considérant notre cadre théorique sur l’apprentissage, nous allons transposer au niveau de l’enseignement la notion de cheminement cognitif et les différentes interprétations. Ici nous faisons l’hypothèse qu’en jouant sur un certain nombre de paramètres et en tenant compte des connaissances anciennes des élèves, il est possible de leur proposer des problèmes qui favorisent l’utilisation de tel ou tel cheminement cognitif. Ces problèmes permettant en particulier de mettre en jeu tel ou tel aspect d’une interprétation.

Problèmes mathématiques explorés au CP

Numération écrite chiffrée Numération parlée en langue

maternelle Autre(s) signifiant(s) Signifié(s) Interprétation Interprétation Interprétation

Comme les interprétations interviennent dans les problèmes selon que ces derniers favorisent tel ou tel cheminement cognitif potentiellement emprunté par les élèves, ceci justifie une schématisation formellement proche de celle des cheminements cognitifs. Cependant, elle n’a pas la même finalité. Elle permet en effet de rendre compte des choix possibles d’enseignement par rapport à l’étude faite sur les interprétations que ce soit au niveau des mathématiques que du sujet. Nous avons dégagé des non-congruences, mais aussi des liens, la question est alors d’organiser les apprentissages des éléments mathématiques en jeu dans les interprétations (via les problèmes à poser aux élèves). Ainsi la notion d’itinéraire cognitif d’enseignement renvoie, au niveau de l’enseignement, à la façon d’organiser et de transformer les liens en jeu dans les cheminements cognitifs.

Les interprétations sont élaborées au fur et à mesure d’un itinéraire d’enseignement et donc tous les aspects n’y sont pas objet d’enseignement en même temps. L’itinéraire cognitif d’enseignement permet de pointer en particulier le moment du processus durant lequel l’interprétation de la numération écrite chiffrée se constitue, se démarquant de l’interprétation ordinale (avec et sans repérant) de la numération parlée en langue maternelle. Dans ce jeu se pose la question du rôle joué par les interprétations « arithmétiques». C’est ce que nous développons par la suite.

b. La problématique d’enseignement au CP

Nous reprenons les remarques données dans le chapitre initial de la thèse concernant sa présentation.

Les programmes de 2008 de l’école maternelle permettent d’inférer les interprétations en jeu avant le CP. Les extraits donnés ci-après sont exhaustifs en ce qui concerne le champ numérique.

« Approcher les quantités et les nombres :

L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. Les enfants y découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets.

appariements...) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections. L’accompagnement qu’assure l’enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience. Progressivement, les enfants acquièrent la suite des nombres au moins jusqu’à 30 et apprennent à l’utiliser pour dénombrer.

Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe « égal ») et les techniques.

La suite écrite des nombres est introduite dans des situations concrètes (avec le calendrier par exemple) ou des jeux (déplacements sur une piste portant des indications chiffrées). Les enfants établissent une première correspondance entre la désignation orale et l’écriture chiffrée ; leurs performances restent variables mais il importe que chacun ait commencé cet apprentissage. L’apprentissage du tracé des chiffres se fait avec la même rigueur que celui des lettres. […]

À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de :

- situer des événements les uns par rapport aux autres ;

- comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; - mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ;

- dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; - associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ;

- comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et des relations dans le temps et dans l’espace. ».

Nous relevons que le champ numérique abordé est celui des nombres inférieurs à trente et que les problèmes que les élèves doivent résoudre le sont par des stratégies concernant principalement l’utilisation de la comptine numérique, sa mémorisation étant un objet d’enseignement prescrit. Par ailleurs les problèmes de la structure additive sont abordés dans un champ numérique restreint, les symboles « + », « = » ne sont pas introduits a priori et la variété indiquée n’est pas détaillée. Ces éléments nous permettent d’inférer qu’à l’école maternelle la numération parlée est avant tout utilisée dans une interprétation ordinale (éventuellement avec repérants). En outre les écritures chiffrées nous semblent clairement employées comme la forme écrite de ces désignations orales, même si des remarques sur leur structuration formelle peuvent intervenir, par exemple à l’occasion de la présentation de calendriers.

Problèmes mathématiques explorés au CP

Situation initiale au CP

Numération écrite chiffrée Numération parlée en France

Autres signifiants

Signifié(s) I,I’

I, I’

I indique une interprétation strictement ordinale I’ indique une interprétation ordinale avec repérant

La double flèche reliant la numération écrite chiffré au signifié(s) est en pointillés pour mettre en avant que l’interprétation vient essentiellement de celle de la numération parlée : typiquement « 23 » est la forme écrite de « vingt-trois » qui est employée dans une interprétation essentiellement ordinale.

Au CP, les programmes 2008 stipulent :

L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Conjointement une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

1 - Nombres et calcul

Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent. Ils mémorisent et utilisent les tables d’addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations. Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour des nombres inférieurs à 100. L’entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. Les tableaux suivants donnent des repères aux équipes pédagogiques pour organiser la progressivité des apprentissages. Seules des connaissances et compétences nouvelles sont mentionnées dans chaque colonne. Pour chaque niveau, les connaissances et compétences acquises dans la classe antérieure sont à consolider. La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.

Cours préparatoire Cours élémentaire première année Nombres

et calcul

- Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100. - Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (“table d’addition”).

- Comparer, ranger, encadrer ces nombres. - Écrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant.

- Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20

.- Connaître la table de multiplication par 2. - Calculer mentalement des sommes et des différences.

- Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous.

- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100).

- Résoudre des problèmes simples à une opération.

- Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à

1 000.

- Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les comparer, les ranger, les encadrer.

- Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc.

- Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant.

- Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5.

- Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits.

- Calculer en ligne des suites d’opérations.

- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1 000).

- Connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre.