Conclusions sur les résultats expérimentaux

Nous avons imagé avec succès une plaque en acier et une plaque en aluminium avec notre méthode d’inversion pour des défauts nous permettant de nous placer dans un modèle bidi- mensionnel. Plus précisément, nous avons imagé les défauts pour une distance capteur-défaut allant jusqu’à 60 fois la longueur d’onde des ondes transverses. Nous avons observé une dé- térioration de la qualité de l’image avec l’éloignement, mais la position du défaut pouvait néanmoins être déterminée. Dans le cas de la plaque d’aluminium, il semble qu’il ne soit pas envisageable d’imager un défaut plus éloigné. Nous pensons que la modeste qualité de l’image est liée à des inhomogénéités présentes dans la plaque, non prévues dans le modèle. Il nous faudrait alors soit réussir à déterminer avec précision ces inhomogénéités, soit imager une autre plaque en aluminium plus homogène pour confirmer nos hypothèses. Dans le cas de la plaque en acier, la difficulté provenait de la faible longueur de la plaque qui nous a empêché de placer le capteur très loin du défaut et a induit des réflexions parasites. À notre surprise, ces artefacts ne nous ont pas empêché de réaliser une imagerie de bonne qualité. En conclusion, les deux plaques testées ici ne représentent pas le cas idéal d’application de la méthode : la plaque en acier est courte alors que celle en aluminium semble présenter des inhomogénéités. Nous pensons donc que des résultats de meilleure qualité auraient pu être obtenus pour une plaque idéale, à savoir longue et homogène. Cependant, les résultats pré- sentés semblent indiquer qu’il serait possible d’utiliser notre méthode d’inversion industriel- lement, sans se limiter à des pièces très longues. Par ailleurs, il serait intéressant de réaliser une acquisition avec un autre type de capteur, par exemple sans contact, pour déterminer l’influence de ce dernier.

(a) Quatrième zone, avec élimination

(b) Quatrième zone, sans élimination

(c) Troisième zone, avec élimination

(d) Troisième zone, sans élimination

(e) Troisième zone, avec élimination, capteur éloigné

(f) Troisième zone, sans élimination, capteur éloigné

FIGURE5.18 – Imagerie de la troisième et la quatrième zone de la plaque en aluminium sans

6

C

AS D

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UNE SEULE SOLLICITATION

:

L

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APPROCHE

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EXTÉRIEURE

”

Sommaire

6.1 Introduction . . . 150 6.2 The abstract framework . . . 152

6.2.1 A general ill-posed problem . . . 152 6.2.2 A mixed formulation of Tikhonov regularization . . . 153

6.3 Two examples . . . 155

6.3.1 The Cauchy problem for the Laplace equation . . . 155 6.3.2 The backward heat equation . . . 157

6.4 An inverse obstacle problem in an acoustic waveguide . . . 159

6.4.1 Introduction . . . 159 6.4.2 Application of the mixed Tikhonov formulation . . . 159 6.4.3 The “exterior approach” . . . 161 6.4.4 Some numerical experiments . . . 162

6.5 A relaxed mixed formulation of Tikhonov regularization . . . 165

6.5.1 Back to the abstract case . . . 165 6.5.2 Back to the inverse obstacle problem . . . 167 6.5.3 Some numerical experiments . . . 168

Nous présentons dans ce chapitre un travail complémentaire à l’application de la Linear Sam- pling Method au Contrôle Non Destructif des guides d’ondes. Contrairement aux chapitres précédents où nos données étaient constituées de nombreuses mesures au bord du guide pour de nombreuses sources au bord du guide également, nous considérons ici le cas où une seule source est disponible. La matrice de mesuresM que nous formions à partir des données

dans les chapitres précédents se réduit alors à une seule colonne. Ainsi les données manquent pour reconstruire la matriceU de LSM (ou de manière équivalente la matrice S de scattering) à partir des mesures. Nous introduisons une méthode alternative pour imager le défaut dans ce cas nettement plus défavorable, appelée “approche extérieure” : itérativement, une ap- proximation du champ total est calculée grâce à une formulation mixte de quasi-réversibilité dans un domaine présentant un défaut estimé, puis le défaut est mis à jour grâce à une mé- thode de lignes de niveau utilisant le champ total précédent. Cette méthode n’est pour le moment opérationnelle que dans le cas où les conditions aux limites au bord du défaut sont de type Dirichlet. De plus, nous nous sommes limités au cas du guide d’ondes acoustiques en régime fréquentiel.

La méthode de quasi-réversibilité, introduite pour la première fois dans [99], peut-être vue comme une régularisation de Tikhonov associée directement à l’opérateur différentiel du pro- blème étudié, ici l’opérateur de Helmholtz. L’inconvénient de cette méthode est qu’elle double l’ordre de l’équation initiale (quatre au lieu de deux), ce qui du point de vue des éléments finis suppose d’utiliser des éléments H2 _{au lieu de H}1_{. Sous forme mixte, la méthode de quasi-} réversibilité conserve l’ordre de l’équation initiale, ce qui autorise d’utiliser des éléments H1 classiques. Deux formulations sont développées : la première impose fortement les données de Dirichlet (mesures) et faiblement celles de Neumann (sources), ce qui induit une dissy- métrie entre les données. Cette formulation est donc inadaptée à la présence de bruit sur les données, et en particulier ne permet pas de fixer le paramètre de régularisation en fonction de l’amplitude du bruit. C’est pourquoi une seconde formulation est proposée, dans laquelle les deux données sont imposées faiblement. Cette méthode permet d’appliquer le principe de Morozov pour choisir le paramètre de régularisation de Tikhonov.

Concernant la méthode de ligne de niveau, nous reprenons la méthode introduite dans [27]. Cette méthode non standard ne repose pas sur la résolution d’une équation eikonale mais sur un simple problème de Poisson. Elle a déjà été utilisée dans d’autres cas tels que les ondes pour un domaine borné [28] ou l’équation de Laplace [27]. La méthode est ici appliquée à la détection d’un défaut dans un guide d’ondes acoustiques.

Ce travail est exposé dans l’article retranscrit ci-après : A mixed formulation of the Tikho-

nov regularization and its application to inverse PDE problems, L. Bourgeois & A. Recoquillay,

soumis à Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 2017.

Abstract : This paper is dedicated to a new way of presenting the Tikhonov regularization

in the form of a mixed formulation. Such formulation is well adapted to the regularization of linear ill-posed partial differential equations because when it comes to discretization, the mixed formulation enables us to use some standard finite elements. As an application of our theory, we consider an inverse obstacle problem in an acoustic waveguide. In order to solve it we use the so-called “exterior approach”, which couples the mixed formulation of Tikhonov regularization and a level set method. Some 2d numerical experiments show the feasibility of our approach.

6.1

Introduction

In this paper we introduce a mixed formulation of the standard well-known Tikhonov re- gularization in a general Hilbert setting. The terminology “mixed” refers to the introduction

of an additional unknown which transforms the initial Tikhonov regularized problem into a system of two coupled problems of two unknowns, following the ideas developed in [36] in the context of partial differential equations. The most useful application of such mixed formulation of Tikhonov regularization seems to be the numerical resolution of linear ill- posed partial differential equations, because the mixed formulation is directly in the form of a weak formulation which can be discretized with the help of classical finite elements. Our paper also offers a connection with the old concept of quasi-reversibility in the sense that our mixed formulation of Tikhonov regularization can also be seen as a mixed formulation of quasi-reversibility. The quasi-reversibility method was first introduced by R. Lattès ans J.-L. Lions in [99] to regularize some linear ill-posed PDE problems and later studied and applied by M.V. Klibanov and several collaborators (see for example [96, 51]). From the numerical point of view, the main drawback of these first formulations of quasi-reversibility was the fact that the order of the regularized problem is twice the order of the initial ill-posed problem, which requires the use of cumbersome finite elements (for example Hermite finite elements instead of Lagrange ones). Our mixed formulation of quasi-reversibility allows us to use some standard Lagrange finite elements. The present paper unifies within a single abstract frame- work all the previous results presented in [24], [14] and [28] for the Laplace, heat and wave equations. It should be noted that a second family of mixed formulation of quasi-reversibility was introduced in [59] and generalized in [58]. Such second family will not be discussed in the present paper.

As an illustration of possible application of our mixed formulation of Tikhonov regulariza- tion to solve inverse PDE problems, we consider an inverse obstacle problem for an acoustic waveguide in the time harmonic regime. More precisely, the objective is to identify a sound soft obstacle from a single pair of Cauchy data on the boundary of the waveguide. When many pairs of Cauchy data are known, which amounts to measure the scattered field at many receivers for many point sources, then we can compute a measurement matrix. In this case an efficient sampling type method can be used, as done in [47, 32, 109, 11]. In contrast, when only a single pair of Cauchy data is given, the measurement matrix degenerates into a single column and such a sampling type method is not applicable any longer. In this paper we propose to apply an alternative iterative method called the “exterior approach”. It couples a mixed formulation of quasi-reversibility as discussed before and a level set method. Such approach was introduced first in [27] for the Laplacian and then applied in [28] for the heat equation and [26] for the Stokes system. Our inverse obstacle problem is both non-linear and ill-posed : the non-linearity stems from the fact that we handle a geometric inverse pro- blem while the ill-posedness stems from the nature of the boundary conditions. The “exterior approach” consists in fixing separately the problems caused by the ill-posedness and the non- linearity. More precisely, for a given obstacle, the mixed formulation of quasi-reversibility enables us to update the solution while for a given solution, the level set method enables us to update the obstacle. Note that the level set method that we use does not rely on a traditio- nal eikonal equation (see for example [38]) but on a simple Poisson equation, which enables us to base our computations of the regularized solution and of the level set function on a single finite element mesh. Let us remark that, in the present article as in [11], and contrary to [47, 32, 109], the data are supported by the boundary of the waveguide, which is realistic in the framework of Non Destructive Testing.

Our paper is organized as follows. The abstract framework of the mixed formulation of Ti- khonov regularization is presented in section 2. Two examples of application of such theory are presented in section 3 : the Cauchy problem for the Laplace equation and the backward heat equation. Section 4 is dedicated to our inverse obstacle problem in an acoustic wave- guide and the exterior approach to solve it. In particular, some numerical experiments are

presented. As explained at the end of section 4, in order to better take the Cauchy data into account and compute the regularization parameter, we come back in section 5 to the abstract framework in order to introduce a relaxed mixed formulation of Tikhonov regularization. Again some numerical experiments are presented in order to compare the initial and modi- fied formulations.