du principe du maximum de vraisemblance.
Les algorithmes que nous venons de d´ecrire ont ´et´e d´evelopp´es dans le cas de signaux sources modul´es lin´eairement par des symboles circulaires `a l’ordre 2. Les p´eriodes sym- boles des diff´erentes sources doivent ˆetre connues a priori ou alors bien estim´ees. Si les d´eveloppements th´eoriques laissent penser que les r´esidus de porteuse doivent ˆetre ac- cessibles, les simulations ont montr´e que leur connaissance n’est en fait pas n´ecessaire. Les nouveaux s´eparateurs sont en pratique implant´es `a partir d’un point initial, fourni par exemple par la proc´edure bas´ee sur l’algorithme du module constant. Dans le cas de m´elanges instantan´es non bruit´es, les nouveaux algorithmes permettent ind´eniablement une am´elioration des performances. Par ailleurs, toujours dans ce contexte id´eal, quelques propri´et´es th´eoriques int´eressantes ont ´et´e mises en ´evidence, comme par exemple la possi- bilit´e d’estimer dans certains cas la source de bande passante la plus petite avec une erreur de l’ordre de O(1
M) contre O(√1M) pour les m´ethodes habituelles. Malgr´e ces ´el´ements po- sitifs, les algorithmes, test´es dans des conditions plus r´ealistes (pr´esence de bruit et de canaux convolutifs) n’ont fait apparaˆıtre, par rapport au CMA d’am´elioration notable. La complexit´e des algorithmes d´eriv´es du principe du maximum de vraisemblance ´etant par ailleurs du mˆeme ordre de grandeur que celle du CMA, nous ne recommandons pas l’utilisation de ce type de m´ethode de fa¸con syst´ematique. Le formalisme du maximum
Tab. 5.8 – M´elange convolutif
(a) Nombre de fois o`u le taux d’erreur est < 10−2 sur les canaux
TUx
2000 symboles T1= T2 = T3= 3.6µs
δf16= δf26= δf3
CAS : TUx 16-QAM 4-QAM 4-QAM
CMA 17.09% 94.62% 95.48%
∆1 18.27% 94.51% 95.26%
∆3 14.40% 94.51% 95.05%
(b) Taux d’erreur moyen sur les r´ealisations dont le taux d’erreur est
< 10−1 sur les canaux TUx
2000 symboles T1= T2 = T3= 3.6µs
δf16= δf26= δf3
CAS : TUx 16-QAM 4-QAM 4-QAM
CMA 0.0315 0.0017 0.0016
∆1 0.0301 0.0018 0.0016
∆3 0.0336 0.0018 0.0016
(c) Nombre de fois o`u le taux d’erreur est < 10−2 sur les canaux
BUx
2000 symboles T1= T2 = T3= 3.6µs
δf16= δf26= δf3
CAS : BUx 16-QAM 4-QAM 4-QAM
CMA 1.2% 88.31% 87.22%
∆1 1.3% 87.34% 87.34%
∆3 0.96% 87.59% 87.34%
(d) Taux d’erreur moyen sur les r´ealisations dont le taux d’erreur est
< 10−1 sur les canaux BUx
2000 symboles T1= T2 = T3= 3.6µs
δf16= δf26= δf3
CAS : BUx 16-QAM 4-QAM 4-QAM
CMA 0.0535 0.0038 0.0039
∆1 0.0525 0.0038 0.0039
∆3 0.0541 0.0038 0.0039
de vraisemblance est en fait utilis´e ici pour mettre en ´evidence une nouvelle classe d’esti- mateurs, mais ne garantit pas n´ecessairement une am´elioration des performances dans les contextes les plus r´ealistes. Rappelons que les “vrais” estimateurs du maximum de vraisem- blance auraient une complexit´e consid´erable dans le contexte du probl`eme de s´eparation de sources ´etudi´e ici.
Conclusion et perspectives
6.1
R´esum´e des travaux de cette th`ese
Dans cette th`ese, nous nous sommes int´eress´es aux m´ethodes de s´eparation de m´elanges convolutifs de signaux cyclostationnaires, et particuli`erement de signaux issus de syst`emes de communications num´eriques.
Les r´esultats de ces travaux concernent principalement les m´ethodes de s´eparation ba- s´ees sur la minimisation d’un crit`ere du type CMA avec une approche par d´eflation. Dans la premi`ere partie de ce manuscrit nous nous sommes concentr´es sur les m´elanges de sources non-circulaires `a l’ordre 2, notamment des sources BPSK ou CPM d’indice 1/2. Nous avons montr´e que dans le cas o`u les sources ont des caract´eristiques diff´erentes (en terme de d´ebit et de r´esidu de porteuse) la minimisation du crit`ere du module constant coupl´ee avec une approche par d´eflation permet d’extraire les sources du m´elange sans connaˆıtre leurs fr´equences cycliques ni leurs fr´equences cycliques non conjugu´ees. Dans le cas oppos´e, o`u les sources partagent les mˆemes fr´equences cycliques et les mˆemes fr´equences cycliques non conjugu´ees, nous avons prouv´e l’existence de minima locaux non-s´eparants du crit`ere du CMA. Nous avons aussi montr´e que le crit`ere du CMA converge dans un grand nombre de cas vers ces points et que par cons´equent la s´eparation de sources n’est pas toujours r´ealis´ee pour ce type de m´elanges. Nous avons ensuite propos´e un nouveau crit`ere bas´e sur le crit`ere du CMA qui, coupl´e avec une approche par d´eflation, assure l’extraction des sources dans ces situations. Ce nouveau crit`ere ne n´ecessite pas la connaissance des fr´e- quences cycliques des signaux mais n´ecessite quand mˆeme la connaissance des fr´equences cycliques non-conjugu´ees les plus significatives. Nous avons propos´e une m´ethode assez grossi`ere d’estimation de ces fr´equences et nous avons montr´e que, avec les fr´equences cycliques non-conjugu´ees significatives ainsi estim´ees, l’algorithme propos´e fonctionne cor- rectement et qu’il est capable d’extraire les sources des m´elanges pour lesquels le crit`ere du CMA ´echoue.
Dans la deuxi`eme partie de ce manuscript, nous nous sommes int´eress´es aux s´epa- rateurs d´eriv´es du principe du maximum de vraisemblance. Nous avons d’abord ´etudi´e des m´elanges instantan´es des signaux cyclostationnaires et circulaires `a l’ordre 2. Dans ce contexte, nous avons mis en ´evidence des estimateurs bas´es sur le principe du maximum de vraisemblance et nous avons pr´esent´e une m´ethode pour les implanter. Nous avons ensuite ´etudi´e les propri´et´es asymptotiques de ces estimateurs et nous avons montr´e que, dans des conditions id´eales (absence du bruit), ces estimateurs permettent d’am´eliorer les performances du crit`ere du CMA. Toujours dans ces conditions, nous avons montr´e que les
estimateurs d´eriv´es du crit`ere du maximum de vraisemblance permettent dans certains cas d’estimer la source ayant la bande passante la plus petite avec une erreur plus petite que les m´ethodes usuelles. Ces r´esultats ne sont malheureusement plus vrais dans un contexte plus r´ealiste comme en pr´esence de bruit. Nous avons g´en´eralis´e les id´ees d´evelopp´ees dans le cas de m´elanges instantan´es au cas de m´elanges convolutifs mais pour ce type de m´e- langes, nous n’avons pas constat´e d’am´elioration des performances du crit`ere du CMA mˆeme dans le cas non-bruit´e. Bien qu’en pratique cette ´etude n’apporte pas de grandes contributions, elle a n´eanmoins un int´erˆet th´eorique certain.