VII-1) PREMIÈRES CONCLUSIONS Les savoir-faire usuels
Traditionnellement, dans les problèmes de prévision on ne possède qu’une série chronologique. Cette situation, relativement pauvre en données a amené les chercheurs à considérer la série chronologique comme une réalisation d’un processus. Ce processus joue le rôle du modèle. Dans cette lignée là, la méthode de Box et Jenkins fait actuellement référence pour les séries chronologiques longues. Le lissage exponentiel simple étant habituellement préféré pour les séries courtes.
L’essentiel de notre méthode de prévision
Notre méthode de prévision est basée sur la connaissance d’une famille de séries chronologiques. En enrichissant ainsi les données nous avons pu utiliser la décomposition de Karhunen et Loeve. Le processus étudié a pu ainsi être décomposés en un nombre restreint de processus élémentaires. La prévision se ramenant au prolongement de ces processus élémentaires.
L’efficacité de la description d’un processus à l’aide de l’analyse harmonique a été confirmée et enrichie pour devenir un outil de prévision global d’un processus.
L’avantage de cette méthode provient de l’utilisation de l’information sur l’espace individu/temps alors que les autres méthodes ne s’appuient que sur l’information donnée par une seule réalisation. Sur le plan technique on peut remarquer que le nombre de composantes temporelles significatives est généralement restreint par rapport aux nombre de trajectoires fournies. C’est pour cette raison que nous recommandons l’analyse harmonique lorsque les données comportent un nombre de trajectoires importantes.
Pour traiter les différents exemples nous avons mis au point un programme qui est à la disposition de tout lecteur qui en ferait la demande.
La limite de la méthode proposée pour analyser les processus à l’aide de l’analyse harmonique se trouve dans la nature des données. Si les données se résument à quelques trajectoires cette méthode est tout à fait à proscrire et le recours à un modèle semble indispensable. ( on peut imaginer cependant des méthodes mixtes que nous n’avons pas développées).
Le champ d’investigation du rapport entre l’analyse Harmonique et la prévision des séries chronologiques étant très important nous n’avons pas exploré tous les domaines. Nous proposons dans les paragraphes suivants quelques pistes possibles.
VII-2) AUTRES PERSPECTIVES LIÉES À L’ANALYSE HARMONIQUE:
VII-2-a) Composantes temporelles et données manquantes
Les données manquantes sont des valeurs d’une série qui ne sont pas connues pour des raisons matérielles ou humaines. Cette situation se rencontre assez fréquemment dans le domaine médical. Par exemple le processus évalue une variable sur des malades et ses valeurs sont au temps t les résultats d’une analyse médicale depuis le début de la maladie. Si le malade n’est pas venu en consultation régulièrement, le laboratoire dispose des données incomplètes qui rendent le diagnostic difficile. La reconstitution des données manquantes est alors une priorité.
Voici une démarche que nous proposons pour compléter les données manquante d’une série chronologique:
Nous suggérons de « plonger » les données de la série X(t) dans un processus Y(,t) de données similaires et complètes.
Plus précisément si les données de la série à compléter se présentent sous la forme: X(t i) avec i compris entre 1 et n dates et si les valeurs de cette séries sont connues sauf pour les
dates de t a à t b on recherche un processus Y(,t i) pour i compris entre 1 et n et . On
plonge les données de la série dans celles du processus, c’est à dire: on pose Y’(o,t i) = X(t i)
et ‘ = { o} . La probabilité sur chaque élément de ‘ est définie naturellement par
1/(p+1) si p désigne le nombre d’éléments de .
Nous pouvons définir un nouveau processus Y’ défini sur ‘ par Y’(,t i)= Y(,t i)
si et Y’(o,t i) = X(t i). Ce processus est alors à données incomplètes.
Pour simplifier les écritures nous noterons T’ les nombres de 1 à t a-1 (resp. T’’ de
t a à t b et T’’’ de t b +1 à n ) et par abus de langage Y désignera aussi sa restriction sur chacun
des intervalles T’,T’’,T’’’. Alors une question se pose :
Le processus Y’ est-il un prolongement acceptable de Y ?
Pour répondre à cette question nous proposons de faire l’analyse harmonique de Y et projeter les données de X(t i) sur les vecteurs propres associés à cette analyse sur l’intervalle T’ puis sur
On obtient ainsi deux séries de nombres, une sur T’ et une sur T’’ . Il faudrait pouvoir les comparer ( sur quel critère ?)afin de déterminer si le processus Y’ est un prolongement satisfaisant de Y. En cas de réponse négative on serait amené à remettre en cause le choix de Y. Par contre, si le prolongement de Y par Y’ était acceptable, il est alors raisonnable de reconstituer les données en utilisant le formule:
X(t) = C1f1(t) + C2f2(t) + C3f3(t) + C4f4(t)+...
Avec t élément de T’’ et Ci le coefficient de projection de la fonction X(t) soit sur les fonctions
propres de Y sur T’ soit sur celles de T’’ (coefficients qui devraient être proches).
Cette proposition qui n’a pas été testée demande une analyse plus approfondie avant toute mise en oeuvre.
VII-2-b) Utilisation des vecteurs propres lors d’une ACP:
Lors d’une ACP lorsque on a calculé l’ensemble des vecteurs propres et des valeurs propres de la matrice de covariance on étudie essentiellement le comportement des valeurs propres sous forme de pourcentage d’inertie. Nous proposons en annexe une utilisation des vecteurs propres pour séparer les variables entre elles. Cette proposition peut apporter quelques commodités lors d’une analyse de questionnaires par exemple
VII-2-c) Nécessité de généraliser l’analyse harmonique en « analyse des besoins » et en stratégie « qualité » :
La gestion des ressources humaines utilise de plus en plus de questionnaires. L’évolution dans le temps de ces questionnaires représente une information précieuse mais difficile à utiliser sans un traitement approprié. L’enregistrement des réponses sur chaque question peut être interprétée comme un processus aléatoire. L’analyse de l’évolution de chaque question au cours du temps est insuffisante. Un cadre plus général que l’analyse harmonique semble faire défaut. On pourra trouver quelques éléments de réponse dans G.Saporta [ 26 ]page 78 au chapitre analyse factorielle d’un processus vectoriel.
La mise en place d’un outil d’analyse des données multi-variables évoluant dans le temps représente un besoin; elle permettrait le rapprochement et la mise en commun des savoir- faire de l’analyse des données et des techniques de management (analyse des besoins, techniques d’audit...). Si de telles procédures étaient utilisées nous avons la conviction qu’il serait possible d’optimiser les investissements et les subventions aussi bien dans les secteurs publics que privés. Les plus grosses difficultés résideront certainement dans la résistance des mentalités.