Conclusions et Perspectives

Dans ce chapitre, nous avons proposé une méthodologie pour calculer une commande optimale par retour d’état pour des systèmes commutés de dimension faible se caractérisant par un régime permanent cyclique.

La méthode consiste à relaxer le domaine de commande à son enveloppe convexe et à considérer les solutions de ce problème étendu. Si les solutions ob-tenues sont bang-bang, elles sont également solutions du problème original. Mais comme il l’a été montré, ce n’est généralement pas le cas en raison de la nature du point de fonctionnement de ces systèmes. Les solutions incorporent alors une partie singulière et leur détermination nécessite l’utilisation de conditions néces-saires d’ordre supérieur. Elles correspondent à des solutions aux sens de Fillipov.

Bien que ces solutions ne soient pas admissibles pour le problème original, on peut les approcher, par mode glissant, d’aussi près que l’on veut comme le prouvent les théorèmes de densité. Dans la pratique, on fixera une vitesse maxi-mum de commutation ou une bande d’hystérésis.

La contribution de ce chapitre montre qu’il est possible de déterminer algé-briquement les surfaces singulières pour des systèmes de dimension faible. Les solutions s’expriment comme les racines d’un ensemble de déterminants et satis-faisants une condition nécessaire d’ordre deux.

L’hypothèse 5 suppose que les solutions rallient le point de fonctionnement

en temps fini (cas d’un critère en temps optimal) ou asymptotiquement (cas d’un critère quadratique). Sous cette hypothèse, la synthèse de trajectoires optimales se fait par l’intégration en temps rétrograde du système Hamiltonien depuis les surfaces singulières menant au point de fonctionnement. La connaissance des conditions aux limites sur ces surface transforme le problème traditionnel aux deux bouts en un simple de problème de valeur initiale.

Nous proposons d’utiliser un réseau de neurones pour interpoler l’ensemble dense sur un pavé de l’espace d’état des solutions générées.

La relation entrée-sortie qui en résulte définie une commande par retour d’état (donc en boucle fermée), facile à implémenter en temps réel. La commande étant à valeurs discrètes, cette relation définie une partition de l’espace d’état sui-vant les valeurs de la commande optimale à appliquer. Les surfaces singulières correspondent à des parties de frontières définissant des surfaces de glissement optimales.

3.7. Conclusions et Perspectives L’erreur d’approximation est faible et se situe sur le tracé des zones frontières de la partition de l’espace en raison du caractère discret de la commande et de l’utilisation d’un seuil. L’exemple du convertisseur buck-boost illustre la méthode.

La méthode développée dans ce chapitre est très utile pour assurer une valeur moyenne en régime permanent et pour régler le régime transitoire vers le point d’équilibre. En revanche, elle ne permet pas de contrôler les oscillations autour du point d’équilibre. Une réponse possible peut être de basculer au voisinage du point d’équilibre vers un correcteur qui réalise une poursuite de trajectoires comme dans le chapitre consacré à la commande prédictive.

L’inconvénient de la méthode est certainement la limite imposée sur la di-mension du système. Cette limite est liée à la possibilité de définir de manière unique les commandes singulières candidates en fonction de x via les conditions algébriques présentées. La méthode n’est donc pas applicable si pour un x donné, les conditions algébriques laissent la commande indéterminée.

Les sauts autonomes n’ont pas été pris en compte dans la formulation du

problème (Voir théorème 28). Pour les convertisseurs statiques, ce type de saut

représente le mode de conduction discontinue. Nous y reviendrons plus tard dans le chapitre 4.

Chapitre 4

Application aux convertisseurs

statiques

Résumé.Ce chapitre met en oeuvre sur la classe des convertisseurs de puissance les méthodes de commandes par retour d’état proposées dans les deux précédents chapitres. Les résultats présentés sont obtenus par simulation et/ou sur maquette suivant le type du convertisseur considéré. Deux convertisseurs sont privilégiés : Le convertisseur buck et le convertisseur multi-niveaux. La robustesse des méthodes est illustrée sur des variations de charge et de source.

Mots clés.commande prédictive, commande optimale, cycle limite.

4.1 Introduction

Comme nous l’avons déjà mentionné dans les chapitres précédents, une classe de systèmes commutés particulièrement importante en termes d’applications est la classe des convertisseurs de puissance. Ces dispositifs sont couramment embar-qués sur les ordinateurs, les moteurs électriques, les téléphones portables et plus généralement tous les appareils comportant une alimentation électrique.

Dans les chapitres précédents nous avons utilisé à titre d’exemple, un

conver-tisseur buck-boost. Étudions son fonctionnement de plus près [Tse00]. Nous

pré-sentons sa structure de nouveau dans la figure 4.1.

A partir d’une source de tension continue E, ce convertisseur donne un

cou-rant adapté au besoin d’une charge, ici représenté par la résistance R₀. Observons

que la capacité et l’inductance stockent de l’énergie lorsque le commutateur u est fermé. Au contraire, cette énergie est libérée lorsque u est ouvert. Ce système n’ayant que deux points d’équilibre suivant la position de u, le pilotage de ce

E ^{L C} D u

Ro

Fig. 4.1 – Convertisseur buck-boost

dispositif s’effectue par l’ouverture et la fermeture à fréquence élevée de cet in-terrupteur. L’objectif de commande est donc de délivrer en valeur moyenne le courant nécessaire au fonctionnement de la charge tout en assurant des transi-toires rapides avec un dépassement limité.

En régime permanent, l’équilibrage en valeur moyenne autour de la référence de courant demandée conduit à un comportement cyclique.

Aujourd’hui, l’augmentation des fonctionnalités sur les objets nomades à ali-menter et leur perfectionnement (intégration de DSP par exemple) conduit à des cahiers des charges assez stricts en termes de performance dynamique et de stabilité. L’utilisation de techniques classiques (PID) ne donne pas une réponse satisfaisante.

L’analyse classique et la recherche de lois de commande reposent typiquement

sur des modèles moyens ou sur des approches de type "petits signaux" [MW73],

[SNL+91], [ILG78]. La technique, à base de modèle moyen, est adaptée lorsque la moyenne est calculée sur une période de temps plus petite que les constantes de temps des différents sous systèmes. Cependant, cette approche est une approche basse fréquence qui ignore complètement l’aspect discontinu des commutations produites par les commutateurs. La forme d’onde résultante peut générer des sous-harmoniques ou des inter-sous-harmoniques non désirés de la fréquence de coupure.

[MB00].

Il existe aussi des approches basées sur des modèles linéaires échantillonnés. A partir du modèle non linéaire échantillonné, on utilise le modèle linéarisé autour

du point de fonctionnement désiré [MVTH90], [HBY91]. Avec ces techniques, la

récurrence non linéaire ne s’obtient pas facilement. Un inconvénient est la possibi-lité de voir apparaître des ondulations élevées entre les instants de commutation. Une voie qui reçoit un écho très favorable dans la communauté des électro-techniciens, est celle qui consiste à commander directement les différents

commu-4.2. Le convertisseur buck