Nous avons proposé dans cette thèse une nouvelle capacité pour la transmission d’in- formation classique à travers les canaux quantiques. La capacité à zéro-erreur quantique (CZEQ) a été définie comme étant le supremum des taux dans lesquels l’information clas- sique peut être transmise à travers un canal quantique bruyant avec probabilité d’erreur égale à zéro. La CZEQ est une généralisation de la capactié à zéro-erreur de Shanonn [12].
Les principales contributions de cette thèse ont été :
1. nous avons proposé une nouvelle capacité pour les canaux quantiques ; – la capacité à zéro-erreur a été généralisée pour des canaux quantiques ; – un code en bloc à zéro-erreur quantique a été formellement défini ;
2. la capacité à zéro-erreur quantique a été définie en utilisant des éléments de la théorie des graphes ;
3. nous avons défini le concept de graphe k-cloné ; les résultats obtenus peuvent être utiles à l’obtention des capacités à zéro-erreur classique et quantique ;
4. en relation aux états quantique qui atteignent la CZEQ
– nous avons montré que la CZEQ peut toujours être atteinte par un ensemble d’états quantiques purs ;
5. en relation aux mesures qui atteignent la CZEQ
– nous avons démontré que les mesures de von Neumann (projectives) collectives sont nécessaires et suffisantes pour atteindre la CZEQ ;
6. la capacité à zéro-erreur quantique des canaux classique-quantique a été étudiée ; nous avons montré que nous pouvons toujours l’atteindre en utilisant une base orthonormale ;
7. quelques exemples du calcul de la capacité à zéro-erreur quantique ont été montré – nous avons présenté un canal c-q pour lequel l’ensemble S qui atteint la capacité
occasionne le pentagone comme graphe caractéristique. La CZEQ du canal a pu ainsi être calculée ;
– nous avons montré un exemple d’un canal quantique pour lequel un pentagone est obtenu à partir d’un ensemble S d’états non-orthogonaux ;
8. nous avons conjecturé (basé dans l’exemple ci-dessus) que la CZEQ est une généra- lisation non-triviale de la capacité à zéro-erreur de Shannon ;
9. finalement, nous avons montré que la CZEQ est bornée supérieurement par la ca- pacité HSW.
Nous listons ci-dessous quelques propositions pour les travaux futurs : 1. généralisation de la fonction de Lovász pour le cas quantique ;
2. variations du protocole de communication − la présence d’un canal de réalimentation classique entre l’émetteur et le récepteur, la disponibilité d’une quantité arbitraire d’intrication partagée entre l’émetteur et le récepteur, le cas ayant des multiples émetteurs et récepteurs ;
3. investigation des liaisons entre la CZEQ et la théorie des sous-espaces libres de décohérence et les sous-systèmes sans bruit ;
Introduction
2.1
Classical information over quantum channels
One of the main issues in quantum information theory is the concept of quantum channel capacity [1, 2]. In a more fundamental way, the capacity of a channel is defined as the least upper bound of rates at which information can be transmitted through the channel with arbitrarily high reliability.
Quantum mechanics provides many features allowing of several ways to define quan- tum channel capacity [1, 2]. For a given quantum channel, the capacity may assume different values depending on: (a) the kind of information to be carried − although chan- nel signalling is always performed using quantum states, one may wish to use a quantum channel to transmit classical messages or quantum systems, e.g., quantum states gener- ated by a quantum source; (b) external resources, like entanglement of a feedback classical channel from the receiver (Bob) to the sender (Alice); and (c) the communication proto- col. The communication protocol determines how information should be encoded at the transmitter and decoded at the receiver end.
In this work we focus on the capacity of memoryless quantum channels to carry clas- sical information. Several such capacities have already been defined. According to the communication protocol, quantum channel capacities can be grouped into three categories: 1. codewords are restricted to tensor products of input quantum states and measure-
ments are performed individually at the channel output [3, 4, 5, 6];
2. codewords are restricted to tensor products of input quantum states, whereas en- tangled measurements between several channel outputs are allowed [7, 8, 9, 10]; 3. entanglement between several channel inputs is allowed, as well as collective mea-
surements at the channel output [11]. 23
Examples of capacities employing the protocol 1 are the one-shot capacity [3, 4, 5] and the Shor’s adaptive capacity [6]. Suppose that Alice prepares states ρi with probability
pi and gives a prepared state to Bob. Accessible information is the maximum amount of
information about the prepared state that Bob can extract from the received states by performing only individual measurements. The one-shot capacity is defined as the maxi- mum over all input ensembles {pi, ρi} of the accessible information of the corresponding
output ensemble. Shor’s protocol is similar to the above, except that Bob can perform partial measurements on one signal which only partially reduces the quantum state, use the outcome of this measurement to determine which measurements to make on different signals, return to redefine the measurement on the first state, and so forth. It was showed that the adaptive capacity is always greater than or equal to the one-shot capacity.
The main example of quantum channel capacity making use of protocol 2 is the Holevo-Schumacher-Westmoreland (HSW) capacity [7, 8]. The HSW capacity, denoted by C1,∞(E), is also known as the classical capacity of quantum channels. The HSW ca- pacity is the generalisation of the Shannon’s ordinary capacity [13], in the sense that the Shannon coding theorem can be derived from the HSW coding theorem [25, 23]. The quantum channel coding theorem asserts that for each rate R ≤ C1,∞ there exists a se-
quence of codes for which the error probability goes asymptotically to zero as the code length goes to infinity. Conversely, every achievable rate R must be less than or equal to the capacity C1,∞.
Capacities employing protocol 3 are directly connected with one of the most impor- tant open issues in quantum information theory, the additivity conjecture of the Holevo information [7]. The conjecture asserts that entanglement between several channel inputs does not increase the HSW capacity of memoryless quantum channels. However, it is known that entangled codewords may increase the HSW capacity of quantum channels with memory [11].