Le marcheur est un système physique modèle intéressant en grande partie pour ses propriétés statistiques, ses observables moyennes par exemple. Nous avons essayé dans cette partie de construire un modèle statistique simplifié qui prend en compte les ingrédients essentiels de la complexité spatiotemporelle des marcheurs. Ce modèle repose sur une chaîne de sources orientées. Nous avons joué avec cet objet dans deux cas : en potentiel harmonique dans des configurations circulaires et en le piégeant dans une fente. Nous avons mis en évidence des comportements singuliers. Ce modèle statistique n’a pas pour but de décrire la dynamique d’un marcheur. Les marcheurs n’ont été finalement qu’un moyen pour aller jouer avec des concepts et des classes de systèmes jusqu’alors inconnus. La chaîne ondulatoire est un exemple de système modèle possible et prometteur. Comme le marcheur, ce nouvel objet est capable de stocker et de relire de l’information sous forme interférentielle ce qui l’amène à sonder son environnement de manière singulière.
Annexe A
Comment trouver un nombre inconnu de
zéros dans le plan complexe ?
Trouver les zéros de F au chapitre 8 n’est pas chose aisée, car on ne sait même pas combien de zéros il y a à chercher. Une méthode évaluant les zéros de manière asymptotique à faible rayon puis les traçant pas à pas lorsque les paramètres du système changent, avait été mise en place par Oza et al. (83). Cela leur a permis d’utiliser des méthodes itératives de Newton. Nous verrons que les pôles peuvent se croiser (du moins se tangenter) et qu’il n’y a aucune assurance que tous les pôles soient des pôles simples. La méthode employée pour trouver les zéros de F fait l’objet de cette annexe A.
A.1
Principe de la méthode
Supposons une variable complexe s dans un domaine S du plan complexe et F une fonction analytique sur S. On appelle ∂S la frontière de S. On recherche s∗ ∈ S tel que F (s∗) = 0. En principe un tel zéro
peut être recherché comme une limite de l’itération de Newton
si+1= si−
F (si)
F′(s
i)
(A.1)
Cette méthode suppose d’initier la récurrence avec une valeur "pas trop éloignée" de la valeur attendue. Dans le cas où le nombre de zéros à rechercher est inconnu, cette méthode est inadaptée. Or c’est une méthode de la même nature qui est implémentée dans la plupart des logiciels de calculs numériques comme Matlab. Il faut donc ruser un peu et adopter un stratagème plus artisanal mis au point par Delves et Lyness (149) et perfectionné par la suite (150; 151). La méthode se décline comme suit. On se donne un ensemble de zéros {sk}k=1...N dans S (i.e. F (sk) = 0). Leur nombre N est une inconnue
du problème. Supposons un instant que l’on soit en mesure de construire le polynôme de degré N
P (s) =
N
k=1
(s − sk). (A.2)
Le problème de recherche des zéros de F serait alors ramené à la recherche des racines de P , moyennant la connaissance de N . Il existe d’autres méthodes numériques fiables, sans présupposition de valeurs initiales pour rechercher les racines d’un polynôme de degré N ; le problème numérique serait alors résolu. Il reste donc à savoir construire le polynôme P et à déterminer N . La méthode parait étrange au premier abord et on peut se demander comment construire un tel polynôme P . Pour cela on commence
158 Annexe A. Trouver des zéros complexes par développer P (s) = N k=1 (s − sk) = N j=0 AjsN −j. (A.3)
Chacun des coefficients Aj est lié aux polynômes symétriques de Newton Sj =Nk=1s j
k par les identités
de Girard-Newton (152) A0 = 1 A1 = −S1 A2 = − 1 2(S2+ A1S1) A3 = − 1 3(S3+ A1S2+ A2S1) .. . Ak = − 1 k Sk+ k−1 j=1 Ak−jSj (A.4)
Il suffit donc de trouver une méthode numérique pour déterminer chacun des (Sj)j=1...N. Pour cela il
suffit de remarquer que
Sj = 1 2πi ∂S dz zjF ′(z) F (z) (A.5)
Ce résultat découle directement du théorème des résidus. Il assez facile de se convaincre que le degré du polynôme vaut
N = S0. (A.6)
En pratique, il s’agit donc de faire le chemin inverse. On définit un contour pertinent sur lequel on évalue numériquement les intégrales Sj à partir de l’équation A.5. L’ordre du polynôme N = S0 nous donne le
nombre de Sj à calculer. On calcule ensuite les Aj de manière récursive à l’aide des relations A.4. Cela
nous permet de construire le polynôme P (s) (Eq. A.3) et de trouver ses racines {sk}k=1...N.
On se propose d’évaluer la précision cette méthode avec des fonctions dont les zéros sont connus. Nu- mériquement, on sent bien que la précision va dépendre du maillage du contour ∂S. On se donne une fonction f test ayant trois zéros s1 = 1/4(1 + i), s2 = 1/2(1 + i) et s3 = 3/4(1 + i), par exemple
f (s) = (s − s1)(s − s2)(s − s3) et l’on va tester la prédiction de la méthode. Dans la pratique, f peut être
une fonction compliquée et on veut juste estimer avec cet exemple simple la précision de la méthode. On définit le contour comme un carré englobant les trois zéros (Fig. A.1-a).
La figure A.1-b calcule la précision de S0 trouvée numériquement en fonction du nombre de points
maillant le contour. Dans cet exemple, il y a 3 racines, donc on cherche à évaluer |S0− 3| . Ce nombre
trouvé doit être un entier. Un écart significatif entre la valeur trouvée et sa partie entière est le signe qu’un problème numérique serait apparu. En pratique, il peut y avoir deux sources d’erreurs :
• le maillage utilisé n’est pas assez fin. • un des zéros est trop proche du contour.
La figure A.1-c calcule l’erreur commise lors de la recherche numérique des zéros. Dans la suite, nous maillerons les contours avec au moins 2000 points, ce qui garantit une erreur relative de l’ordre de 10−4.
Annexe A. Trouver des zéros complexes 159
Figure A.1 – Test de la précision de méthode de Delves et Lyness sur une fonction test f . (a) Nous définissons le contour qui englobe les 3 zéros
recherchés. (b) Précision de la méthode pour trouver le nombre de zéro : le calcul de l’intégrale de countour S0 fournit le nombre de
zéros avec une précision dépendant du nombre de points utilisés pour mailler le contour. (c) Précision de la méthode pour trouver la position de chaque zéro en fonction du nombre de points utilisés pour mailler le contour. 2000 points pour mailler le contour s’avère amplement suffisament pour la suite. Cela fournit une idée de la précision et donc de la limite de la méthode.