Dans la première partie de ce chapitre, nous avons brièvement présenté les différents modes d’instabilités de pentes. Quelques méthodes classiques et courantes pour analyser la stabilité des pentes ont également été rappelées.
Concernant les méthodes classiques, qui sont représentées ici par les méthodes conven-tionnelles, plusieurs difficultés et limites se présentent. Elles ne permettent parfois ni de reproduire les phénomènes réels, ni de comprendre les mécanismes de rupture. De plus, toutes les méthodes classiques envisagent la rupture par rapport à un certain critère de plasticité, et non pas à un critère d’instabilité.
En ce qui concerne les méthodes courantes, qui sont représentées ici par la méthode de calculs par éléments finis incorporant les modèles de comportement constitutif, malgré beaucoup de développements, la question du critère de rupture, notamment la rupture globale, et sa définition opératoire reste toujours sans réponse satisfaisante. L’application de la théorie de plasticité et de localisation ne nous permet ni de détecter, ni de décrire certains modes de rupture comme le mode diffus qui peut se manifester strictement à l’intérieur du critère de rupture.
Dans ce contexte, le critère de stabilité de Hill s’appuyant sur le travail du second ordre nous semble un bon critère pour analyser les problèmes de stabilité des pentes.
Dans la deuxième partie, une introduction générale des modèles de comportement a été effectuée. Notre attention est orientée vers les modèles élastoplastiques à simple potentiel et le modèle incrémentalement non linéaire du second ordre (Darve, 1982, 1987 [32; 33]) que nous utiliserons dans la suite de cette thèse.
La question de la stabilité et de l’unicité de la solution de problèmes aux limites formulés en vitesse a été abordée sous une approche globale puis locale dans la dernière partie. Nous avons montré que, dans le cadre des modèles incrémentalement linéaires et pour les matériaux non associés, la perte de positivité du travail du second ordre ne traduit pas nécessairement un radoucissement du comportement et peut se produire strictement à l’intérieur de la condition limite de plasticité pendant la phase d’écrouissage positif ainsi qu’avant le critère de localisation. Ces critères coïncident uniquement pour des modèles d’écoulement associés.
Partant de ces différentes observations, nous allons étudier la condition de Hill portant sur le signe du travail du second ordre comme une condition suffisante de stabilité au niveau global (échelle du milieu) ainsi que local (échelle du point matériel). Le chapitre suivant est dédié aux premières analyses de problèmes d’instabilités et de bifurcations en déformation plane.
31
CHAPITRE
3
Instabilités et Bifurcations en déformation plane
Dans un premier temps nous rappellerons brièvement quelques résultats expérimentaux classiques mais spécifiques pour lesquels il est possible d’observer un mode diffus de rup-ture des échantillons de sol pour plusieurs types de chemins de sollicitation. La capacité du critère de stabilité de Hill dans la détection et la description de ce mode de rupture, qui se produit à l’intérieur strict du critère de Mohr-Coulomb, sera présentée.
La deuxième partie concernera une étude systématique des instabilités et bifurcations maté-rielles (au sens de Hill) pour des sables dans deux états : lâche et dense par l’intermédiaire de chemins de sollicitations proportionnels en déformations planes. Cette étude sera ef-fectuée en utilisant le modèle incrémental octolinéaire et non linéaire (Darve, 1982, 1987
3.1 Introduction
En géomécanique, l’expérience montre que les mécanismes et les modes de rupture ne sont pas uniques : ruptures localisées, ruptures diffuses, ruptures par instabilités géométriques, ... coexistent dans les milieux naturels. L’existence de ces différents modes de rupture est reconnu depuis peu et il s’est avéré que certains modes de rupture pouvaient apparaître avant d’autres en fonction des propriétés mécaniques évolutives des matériaux naturels (tremblement de terre, influence d’une très forte pluie, diminution des propriétés méca-niques du sol par vieillissement, etc.) et naturellement en fonction des conditions aux limites également variables (influence d’une construction, modification de la géométrie d’un massif, etc.). Il faut donc mettre en oeuvre ces différents critères à l’intérieur de modèles adaptés si l’on veut pouvoir estimer et prédire les risques de manière réaliste et quantifiée. Il est clair que le choix à priori d’un mode de rupture particulier pour l’ana-lyse peut induire des conclusions arbitrairement pessimistes ou optimistes en termes de sécurité. Il est donc nécessaire de disposer d’un cadre d’analyse exhaustif en terme de mécanismes.
L’étude de la rupture localisée repose sur le critère de localisation de Rice, 1976 [137] lié à l’annulation du déterminant du tenseur acoustique, tandis que la rupture diffuse est décrite par le critère de stabilité de Hill, 1958 [83] lié à l’annulation du travail du second ordre et par conséquent, à l’annulation du déterminant de la partie symétrique du tenseur constitutif (dans le cas des matériaux incrémentalement linéaires). Rappelons que pour des matériaux “non associés” (au sens de la théorie élastoplastique, la surface de limite élastique est distincte de la règle d’écoulement) tels que les sols, le tenseur constitutif n’est pas symétrique et le déterminant de sa partie symétrique va effectivement s’annuler avant que le critère de plasticité ne soit atteint, ce qui correspond à l’annulation du déterminant du tenseur lui-même. En fait, Bigoni et Hueckel, 1991 [7] ; Nova, 1994
[129] ; Rizzi et al., 1996 [139] ont montré que, quand l’état de contrainte s’éloigne de la
droite hydrostatique, la condition de Hill est toujours rencontrée avant (par rapport à un paramètre de chargement croissant) la condition limite de plasticité et la condition de localisation.
La première partie de ce chapitre, consacrée à une étude bibliographique des phénomènes d’instabilité et de bifurcation du point de vue des expérimentations, ne fait pas la revue complète des travaux des différents auteurs tant ils sont nombreux. Nous allons simplement exposer quelques chemins de sollicitation avec une attention particulière sur le phénomène d’instabilité matérielle vue comme un problème de bifurcation, appliquée à des sables. La deuxième partie de ce chapitre concerne une étude systématique des instabilités ma-térielles (au sens de Hill) des sables dans leurs états dense comme lâche, en condition de déformations planes avec le modèle incrémental octolinéaire et non linéaire de Darve.