graphe 4.2.2). Chaque sous-dictionnaire associ´e `a une raie d’une largeur donn´ee est une matrice de Toeplitz (dont on a enlev´e des colonnes pour les raies les plus larges, voir le tableau 4.1). Les calculs associ´es peuvent donc ˆetre r´ealis´es par des algo-rithmes FFT [Golub et Van Loan, 1996]. Pour le sous-dictionnaire d’´echelons Dsteps, le produitDT
stepsv n’est rien d’autre que la somme cumul´ee des ´el´ements de v. Enfin, le sous-dictionnaire Dcos compos´e de sinuso¨ıdes ´etant de petite taille, les produits DT
cosv sont calcul´es directement.
Ce travail a donn´e lieu `a une publication `a la conf´erence du Gretsi en 2013 [Picaud et
Bourguignon, 2013]. Nous reproduisons en figure 4.4.2 un exemple de r´esultat obtenu sur
un cube simul´e par les astrophysiciens du projet MUSE, de 41×41 pixels et 3 600 longueurs
d’onde. La FSF a un ´etalement spatial correspondant `a 13× 13 pixels, et la LSF occupe
11 canaux spectraux. L’algorithme OMP est arrˆet´e lorsque le r´esidu d’estimation est
statistiquement comparable au bruit. Au final, la solution poss`ede seulement 309 atomes,
ce qui repr´esentait (en 2012) un temps de calcul de trois heures.
Les donn´ees contiennent en particulier deux sources quasi-monochromatiques (aux
longueurs d’onde respectives de 721 nm et 866 nm), mais d’intensit´e faible : dans les
deux cas, l’observation seule de l’image `a la longueur d’onde associ´ee et du spectre au pixel associ´e ne permet pas de d´etecter la source. Pour chacune des sources, en revanche, la reconstruction spatiale-spectrale fournit un atome mod´elisant tr`es convenablement les spectres, `a la position spatiale correcte. Les deux sources sont bien d´etectables et c’est
bien la prise en compte de l’´etalement spatial et spectral qui a permis de concentrer
l’information utile.
4.5 Conclusions
Dans ces travaux, l’analyse d’images hyperspectrales astrophysiques a ´et´e abord´ee
sous l’angle de la restauration d’un cube id´eal ayant subi des d´egradations dues au dispositif de mesure (prise en compte d’une fonction d’´etalement spatiale et spectrale) et au bruit. Nous avons adopt´e l’hypoth`ese d’une repr´esentation parcimonieuse, approch´ee, des spectres recherch´es `a l’aide d’un dictionnaire de formes synth´etiques, construit `a
partir de connaissances en spectroscopie astronomique. Cette hypoth`ese repr´esente une
contrainte tr`es forte, puisqu’ on ne trouve que ce que l’on cherche , limitant de fait les capacit´es de d´ecouverte de ph´enom`enes inconnus, qui est aussi un objectif d’un instrument comme MUSE (Multi-Unit Spectroscopic Explorer). Cependant, elle permet de pallier le d´eficit d’information dans le cas d’observations tr`es bruit´ees, o`u il s’av`ere d´ej`a difficile
de d´etecter des formes connues ! Par opposition `a des repr´esentations parcimonieuses
g´en´eriques, souvent utilis´ees pour d´ebruiter les donn´ees, ce mod`ele permet ´egalement d’associer `a chaque atome pr´esent dans la d´ecomposition une information d’int´erˆet pour l’astrophysicien (raie en ´emission ou en absorption, cassure de Lyman).
Cette approche permet d’envisager la d´etection de composantes dans des spectres `a tr`es faible rapport signal sur bruit, par la prise en compte de formes appropri´ees dans le dic-tionnaire. L’exploitation d’un mod`ele d’observation spatial-spectral est ´evidemment plus ambitieuse, permettant d’envisager la d´etection de sources encore plus faibles en prenant en compte l’´etalement spatial subi lors de l’acquisition des donn´ees. Pour g´erer la
com-plexit´e calculatoire, une approche gloutonne de type OMP me semble r´etrospectivement
pr´ef´erable `a l’optimisation en norme `1, car plus simple `a mettre en œuvre. Afin de r´eduire davantage le coˆut calculatoire et / ou d’aborder des probl`emes plus gros, il serait ´
egalement possible de coupler les deux approches propos´ees au § 4.4, `a savoir d’ex´ecuter
Chapitre 4. Donn´ees hyperspectrales en Astrophysique 4.5 Conclusions Source 1 : images `a 721 nm 10 20 30 40 5 10 15 20 25 30 35 40 10 20 30 40 5 10 15 20 25 30 35 40 10 20 30 40 5 10 15 20 25 30 35 40
Source 1 : spectres au pixel (17,11)
500 600 700 800 900 0 1 2 λ (nm) 716 718 720 722 724 726 0 1 2 λ (nm) 500 600 700 800 900 −20 0 20 λ (nm) 716 718 720 722 724 726 −5 0 5 λ (nm) 500 600 700 800 900 0 2 4 λ (nm) 716 718 720 722 724 726 0 2 4 λ (nm) Source 2 : images `a 866 nm 10 20 30 40 5 10 15 20 25 30 35 40 10 20 30 40 5 10 15 20 25 30 35 40 10 20 30 40 5 10 15 20 25 30 35 40
Source 2 : spectres au pixel (23,28)
500 600 700 800 900 0 0.5 1 λ (nm) 860 862 864 866 868 870 872 0 0.5 1 λ (nm) 500 600 700 800 900 −20 0 20 λ (nm) 860 862 864 866 868 870 872 −10 0 10 λ (nm) 500 600 700 800 900 0 1 2 λ (nm) 860 862 864 866 868 870 872 0 1 2 λ (nm)
Figure 4.9 – Restauration spatiale-spectrale obtenue sur un cube simul´e de 41× 41 pixels × 3 600 longueurs d’onde : donn´ees et r´esultats correspondant `a deux sources d’int´erˆet. `A gauche, donn´ees convolu´ees non bruit´ees. Au centre, donn´ees bruit´ees. `A droite, reconstruction apr`es estimation parcimonieuse par algorithme OMP. Pour chaque source, sont repr´esent´es l’image `a sa longueur d’onde centrale et le spectre `a sa position spatiale (rep´er´ee par un cercle sur les images). Les amplitudes dans les images sont en ´echelle logarithmique, les pixels n´egatifs ´etant ramen´es `a 0. Pour chaque source, l’int´egralit´e du spectre et un zoom autour de la longueur d’onde d’int´erˆet sont repr´esent´es. Figures reprises de [Picaud et Bourguignon, 2013].
4.6 R´ef´erences BIBLIOGRAPHIE
un algorithme glouton sur un mod`ele dont on a pr´ealablement r´eduit la dimension. Il me
semble cependant important de garder `a l’esprit que pour des projets instrumentaux de
grande envergure, o`u l’acquisition des donn´ees requiert la mise en commun de plusieurs
nuits d’observation [Bacon et al., 2006], il est l´egitime d’envisager des m´ethodes d’analyse de complexit´e adapt´ee, quand bien mˆeme le temps de calcul associ´e prendrait, lui aussi, plusieurs jours.
Sur le plan algorithmique, nous avons construit un sch´ema d’optimisation de crit`eres des moindres carr´es p´enalis´es par la norme `1, qui s’est r´ev´el´e tr`es performant dans le cas de dictionnaires corr´el´es, rendant possible le calcul de chaque d´ecomposition en quelques
secondes. Partant d’un sch´ema de type Iterative Coordinate Descent, nous avons con¸cu
des r`egles de balayage et des acc´el´erations particuli`erement efficaces. L’exploitation de ces acc´el´erations dans d’autres structures d’algorithmes en norme `1m´eriterait de ce fait d’ˆetre ´
etudi´ee. Enfin, au-del`a du probl`eme applicatif ayant motiv´e ces travaux, cet algorithme pourrait avantageusement ˆetre utilis´e dans d’autres probl`emes d’optimisation en norme `1, dans le cas de dictionnaires corr´el´es et ne permettant pas l’exploitation de transform´ees rapides. Des perspective de recherche pus g´en´erales concernant l’imagerie hyperspectrale en astronomie ainsi que le d´em´elange spectral seront abord´ees au Chapitre 7.
4.6 R´ef´erences
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BIBLIOGRAPHIE BIBLIOGRAPHIE
Chapitre 5
D´econvolution et reconstruction
d’images pour le contrˆole non
destructif ultrasonore
Le contrˆole non destructif (CND) ultrasonore repose sur l’´emission d’une onde acous-tique par un transducteur positionn´e `a distance ou `a la surface du mat´eriau inspect´e [Kraut-kramer et Kraut[Kraut-kramer, 1990]. La r´eception de l’onde apr`es propagation dans le mat´eriau permet alors d’obtenir des informations sur le milieu travers´e. L’objectif le plus fr´equent est alors de d´etecter et caract´eriser des d´efauts ou des h´et´erog´en´eit´es dans des pi`eces manufactur´ees au moment de leur fabrication, ou encore de contrˆoler l’usure de pi`eces
soumises `a des conditions de fonctionnement agressives. Par rapport `a d’autres
moda-lit´es de CND (rayons X, courants de Foucault, RADAR, . . .), les mesures ultrasonores
pr´esentent l’avantage d’un faible coˆut et d’une grande simplicit´e et portabilit´e du dispo-sitif de mesure, permettant son d´eploiement dans des environnements difficiles d’acc`es. Souvent, en revanche, les donn´ees recueillies ne d´elivrent pas directement l’information utile pour l’inspection et l’examen visuel des traces ultrasonores s’av`ere d’efficacit´e li-mit´ee : les donn´ees sont `a bande passante relativement ´etroite (typiquement de quelques
MHz dans les longueurs d’onde ultrasonores de 20 kHz `a 1 GHz), limitant la r´esolution
des signaux et des images bruts. En particulier, les signatures ultrasonores g´en´er´ees par d’´eventuels d´efauts peuvent se m´elanger dans les signaux re¸cus. Par ailleurs, le bruit entachant les mesures peut ˆetre particuli`erement fort lors de l’inspection de mat´eriaux
complexes ou requ´erant une longues distances de propagation, le signal acoustique utile
´
etant alors fortement att´enu´e.
Les travaux que j’ai men´es en CND ultrasonore se centrent avant tout sur la
construc-tion de mod`eles pr´ecis des signaux ultrasonores et le d´eveloppement d’algorithmes d’es-timation associ´es, dans le cadre des probl`emes inverses r´egularis´es. Nous d´etaillons tout
d’abord en Section 5.1 le principe g´en´eral d’une mesure de CND acoustique, dans le cas
d’une acquisition r´ealis´ee en r´eflexion avec un seul capteur. Un probl`eme inverse est alors formul´e, s’apparentant `a un probl`eme de d´econvolution parcimonieuse. Les sections sui-vantes pr´esentent plusieurs travaux visant `a raffiner le mod`ele convolutif classique, en proposant des solutions algorithmiques d´edi´ees.
Une premi`ere contribution, pr´esent´ee en Section 5.2, a port´e sur la d´econvolution dite `a haute r´esolution . La d´econvolution est souvent abord´ee sous la forme d’un probl`eme purement num´erique, o`u les donn´ees r´esultent de la convolution discr`ete d’une s´equence num´erique par un filtre de r´eponse impulsionnelle finie. Or, dans la plupart des probl`emes
5.1 Formulation d’un probl`eme inverse Chapitre 5. CND ultrasonore
inverses mettant en jeu une op´eration de filtrage (c’est le cas pour le CND ultrasonore), le mod`ele physique sous-jacent est d´efini par une ´equation int´egrale, `a temps continu. Sa discr´etisation `a la p´eriode d’´echantillonnage des donn´ees formule alors un mod`ele de convolution discr`ete, mais introduit des erreurs de mod`ele. Nous avons ´etudi´e l’apport d’une discr´etisation plus pr´ecise de l’´equation int´egrale, en montrant notamment que le mod`ele r´esultant peut s’interpr´eter comme celui d’un syst`eme MISO (Multiple Inputs, Single Output) ; nous avons alors g´en´eralis´e des algorithmes classiques de d´econvolution parcimonieuse `a ce cadre.
Nous pr´esentons ensuite des travaux portant sur la mod´elisation de la propagation
acoustique. En raison de ph´enom`enes d’absorption et de diffusion de l’onde acoustique
se propageant dans le mat´eriau, celle-ci va subir des d´eformations, se traduisant par un filtrage passe-bas d’effet cumulatif avec la distance de propagation, correspondant aux ph´enom`enes d’att´enuation et de dispersion fr´equentielles. Leur prise en compte dans un mod`ele de donn´ees lin´eaire (qui n’est alors plus un mod`ele convolutif au sens strict), la validation de ce dernier pour diff´erents types de mat´eriaux et son exploitation dans des algorithmes d’estimation parcimonieuse font l’objet de la Section 5.3.
Dans la Section 5.4, nous nous int´eressons au cas particulier de la mesure ultrasonore de l’´epaisseur de pi`eces accessibles d’un seul cˆot´e. C’est une probl´ematique rencontr´ee dans diff´erents domaines industriels, par exemple pour le contrˆole de l’´epaisseur de revˆetements ou de couches de peinture, ou encore pour suivre l’´etat de d´egradation de tuyaux soumis `a de fortes corrosions. Dans ce contexte, la s´equence de r´eflectivit´e peut ˆetre mod´elis´ee sous une forme plus contrainte, correspondant `a des ´echos r´eguli`erement espac´es traduisant les multiples trajets aller-retour de l’onde r´efl´echie `a chaque interface entre le mat´eriau et le milieu ext´erieur. Lorsque l’´epaisseur est fine devant la longueur d’onde, les ´echos
se chevauchent et rendent l’interpr´etation visuelle impossible. Nous avons propos´e un
mod`ele adapt´e pour la s´equence de r´eflectivit´e recherch´ee, ainsi qu’une param´etrisation de la forme des ´echos, dont les param`etres sont estim´es conjointement dans une d´emarche
de d´econvolution myope.
Si l’ensemble des contributions pr´ec´edentes concerne l’exploitation de signaux monodi-mensionnels, les modalit´es d’inspection ultrasonore ´evoluent d´esormais vers l’utilisation de sondes multi-´el´ements, mettant en œuvre quelques dizaines `a quelques centaines de
trans-ducteurs fonctionnant conjointement et permettant d’envisager l’imagerie des mat´eriaux,
sur le principe de l’´echographie m´edicale. Les modalit´es d’inspection sont cependant
diff´erentes, reposant en g´en´eral sur l’acquisition de l’ensemble des r´eponses de chaque transducteur `a l’onde ´emise successivement par chacun d’entre eux (donn´ees dites Full
Matrix Capture ou FMC). Je me suis donc naturellement orient´e vers ces probl´ematiques
o`u, dans la continuit´e des travaux pr´ec´edents, la reconstruction d’une carte spatiale de la r´eflectivit´e ultrasonore en tout point du mat´eriau est abord´ee sous l’angle des probl`emes inverses. Ces travaux seront expos´es en Section 5.5.
La Section 5.6 conclut ce chapitre en proposant plusieurs axes de travail pour des recherches `a venir.
5.1 Principe de mesure et formulation d’un probl`eme inverse
Expliquons tout d’abord le principe d’une mesure ultrasonore. Dans le cas de signaux
mono-dimensionnels, on distingue les mesures en r´eflexion (le mˆeme transducteur jouant
le rˆole d’´emetteur et de r´ecepteur) des mesures en transmission (o`u deux capteurs sont utilis´es, g´en´eralement dispos´es de part et d’autre de la pi`ece inspect´ee). Le sch´ema de la
Chapitre 5. CND ultrasonore 5.1 Formulation d’un probl`eme inverse
figure 5.1 illustre ces deux modalit´es. Sans perte de g´en´eralit´e, nous consid´erons ici des
Émetteur
Récepteur
Pièce Pièce
Émetteur Récepteur
Figure 5.1 – Principe de mesures ultrasonores pour le CND. `A gauche, mesure en r´eflexion. `A droite, mesure en transmission. Figure reproduite de [Carcreff, 2014a].
mesures en r´eflexion, souvent pr´ef´er´ees pour leur simplicit´e : un seul capteur est n´ecessaire, et la mesure ne requiert pas d’acc`es `a la face arri`ere de la pi`ece inspect´ee. Lorsque l’onde rencontre une discontinuit´e d’imp´edance acoustique, due par exemple `a la pr´esence d’un
d´efaut dans le mat´eriau ou `a un changement de milieu de propagation, une partie de
l’onde est r´efl´echie et l’autre partie est transmise `a travers l’interface [Saniie et Nagle, 1989]. Dans le cas d’un r´eflecteur ponctuel situ´e `a une distance z du capteur, le signal re¸cu peut se mod´eliser sous la forme :
yecho(t) = b(z) hi(t− τ(z)), (5.1)
o`u l’amplitude b(z) est fonction de la distance de propagation et du coefficient de r´eflexion `
a l’interface, hi(t) est la forme d’onde correspondant `a l’impulsion acoustique g´en´er´ee et re¸cue par le transducteur et le retard τ (z) = 2z/c correspond au temps de trajet aller-retour de l’onde, `a la vitesse c, entre le capteur et l’interface. En consid´erant maintenant un ensemble de K discontinuit´es situ´ees `a des distances zk, k = 1, . . . , K et sous l’hy-poth`ese de lin´earit´e de la r´eponse du mat´eriau et d’invariance temporelle, le principe de superposition permet alors de d´ecrire le signal re¸cu par :
y(t) =
K
X
k=1
b(zk)hi(t− τ(zk)),
i.e., le produit de convolution de la r´eponse instrumentale hi(t) par une fonction parci-monieuse : y(t) = (hi∗ hr)(t), o`u hr(t) = K X k=1 b(zk)δ(t− τ(zk)) (5.2)
est la s´equence de r´eflectivit´e, repr´esentant la signature acoustique du mat´eriau travers´e. Les donn´ees ´echantillonn´ees `a la p´eriode Te s’´ecrivent alors :
yn= y(nTe) = Z u∈R hi(u)hr(nTe− u)du = Z u∈R hi(nTe− u)hr(u)du, (5.3)
o`u hr(t) est mod´elis´ee par l’´equation (5.2), dans laquelle le nombre K de discontinuit´es, les amplitudes b(zk) et les temps d’arriv´ee τ (zk) (i.e., les positions zk avec τ (zk) = 2zk/c) sont inconnus. La figure 5.2 illustre le principe de formation des donn´ees.