Conclusions sur les méthodes paramétrées

A

fin de permettre, en vue d’un calcul de fiabilité, de faire une succession de calculs pour des jeux de paramètres différents, mais proches les uns des autres, des méthodes originales de calculs non-linéaires paramétrés ont été introduites.

L’algorithme de calcul non-linéaire utilisé est de type Newton-Raphson avec un pilotage des incréments de déplacement et de chargement par longueur d’arc. La mé-thode paramétrée M.P. est basée sur la réutilisation des décompositions des matrices tangentes sauvegardées du problème de référence. Dans un calcul de fiabilité, le pro-blème de référence est souvent choisi pour les valeurs médianes des paramètres. Lors d’un calcul modifié, aucune inversion de système n’est effectuée, en contrepartie le nombre d’itérations pour converger vers l’équilibre est plus grand. La taille du fichier de sauvegarde des décompositions des matrices tangentes est parfois importante, cela peut être une limite d’utilisation de la méthode.

La méthode a été enrichie par la possibilité de passer de la courbe de référence à une courbe modifiée par une étape de correction M.P.C.. Lors de cette étape, les quantités sont calculées en Lagrangien total sur la configuration non-déformée aux paramètres modifiés. Cela permet de débuter le calcul modifié au voisinage du point limite et de gagner ainsi du temps de calcul. Cette étape de correction n’est cependant pas possible dans le domaine plastique du matériau, car le chemin non-linéaire dépend de l’histoire du chargement. Il faut qu’elle ait lieu dans le domaine élastique. Dans le cas d’un point limite situé dans le domaine élastique, on peut utiliser une stratégie de calcul parallèle pour effectuer plusieurs étapes de correction en même temps. Le temps de calcul pour trouver le point limite modifié est alors réduit au temps de calcul d’un pas non-linéaire.

Plusieurs stratégies sont envisageables pour trouver le point limite modifié. Elles sont mises en place sur plusieurs exemples. Les exemples sont choisis de façon à tester la méthode sur plusieurs points :

élément fini : axisymétrique COMU, tridimensionnel de coque DKT (section 3.7.1), tridimensionnel massif pour les coques SHB8PS

comportement matériau : élastique, élastoplastique

paramètres modifiés : géométriques, matériaux, amplitudes des défauts

Ces idées ne sont pas applicables si les réponses des structures de référence et modifiée sont très différentes, notamment dans le cas où il y a changement de la forme du mode de flambage prépondérant entre les calculs de référence et modifié. Il suffit alors de changer de calcul de référence.

Les méthodes et leurs différentes utilisations possibles se montrent efficaces sur les exemples proposés. Suivant les cas, le gain en temps de calcul varie d’un facteur 2 à plus de 10. Cependant, dans les cas fortement plastique, la méthode M.P. n’est pas avantageuse car les itérations de plasticité demande beaucoup de temps de calcul.

L’implantation de la M.P. et de la M.P.C. est relativement aisée dans un code élé-ments finis. Par rapport aux autres méthodes proposées dans la littérature (section 2.2),

les méthodes développées ici sont plus polyvalentes et nécessitent moins de dévelop-pement de programmation.

Les méthodes M.P. et M.P.C. semblent être adaptées au problème de fiabilité car elles répondent aux attentes d’un tel problème : calculer rapidement et précisement la réponse non-linéaire d’une structure aux paramètres modifiés.

Applications à la fiabilité

Sommaire

3.1 Le problème de fiabilité . . . 100 3.1.1 Probabilité de défaillance . . . 100 3.1.2 Calcul de la probabilité de défaillance par approximation . . 101 3.2 Méthodes couramment utilisées . . . 103 3.2.1 Algorithme de Rackwitz-Fiessler . . . 103 3.2.2 Les surfaces de réponse . . . 104 3.3 Application au flambage non-linéaire . . . 105 3.4 Application des algorithmes d’évolution à la fiabilité . . . 105 3.5 Stratégie de calculs distribués . . . 107 3.6 Utilisation de Matlab pour la fiabilité . . . 107 3.7 Exemples de calculs fiabilistes . . . 108

3.7.1 Recherche du champ d’épaisseur le plus critique d’un cy-lindre en pression externe . . . 108 3.7.2 Fiabilité d’un cylindre raidi . . . 111 3.7.3 Application des algorithmes d’évolution à la fiabilité d’un

cylindre raidi . . . 114 3.7.3.1 Deux variables aléatoires . . . 114 3.7.3.2 Quatre variables aléatoires . . . 116 3.7.3.3 L’apport des algorithmes d’évolution à la fiabilité 116 3.7.4 Fiabilité d’une structure représentative d’un sous-marin . . . 117 3.8 Conclusions sur l’étude de fiabilité . . . 119

3.1 Le problème de fiabilité

3.1.1 Probabilité de défaillance

Le modèle fiabiliste d’une structure est défini par deux points : les variables aléa-toires et les scénarios de défaillance. Ce problème est introduit par exemple par LE

-MAIREdans [75] et dans [72].

n variables aléatoires X_i, contenues dans le vecteur X, issues du modèle méca-nique dont on a estimé les densités marginales f_xi



x_i et les corrélations éven-tuelles, ou mieux, la densité conjointe de probabilité :

f_X1

 Xn  x₁  x_n  f_X  X

un ou plusieurs scénarios de défaillance. A chaque scénario est associée une fonction de performance G



X . Le domaine de X défini par G



X



0 est appelé domaine de sûreté.

En posant

P

, l’espace des réalisations physiquement possibles pour X, on peut définir les trois domaines suivants :

domaine de sûreté : X

P

G  X  0

surface d’état limite :

X

P

G  X  0
domaine de défaillance : X

P

G  X 0

Dans le cas général, on peut écrire G



X comme la différence de la ressource dispo-nible R



X et de la sollicitation S



X (eq. 3.1). Dans le cas d’un couplage mécanique-fiabiliste pour lequel ces fonctions sont complexes, elles sont évaluées par un calcul numérique. G  X  R  X  S  X (3.1)

La probabilité de défaillance est donnée par : P_f    X P G X
0 f_X  X dx₁dx₂   dx_n

L’évaluation directe de cette intégrale ne peut s’effectuer que dans des cas très simples. On peut envisager de faire une simulation de Monte-Carlo, mais elle requiert un nombre excessif d’appels au calcul mécanique car la probabilité de défaillance recherchée est en général très petite (de l’ordre de 10 3à 10 6). Si Pf est de l’ordre de 10 n, alors il faut entre 10^{n 2}et 10^{n 3}tirages pour avoir un résultat correct.

L’utilisation d’approximations est dans la plupart des cas, le seul moyen raison-nable d’évaluer P_f. Ces techniques sont développées en section 3.1.2.

Dans un tel problème, la difficulté réside dans le choix de la densité de proba-bilité f_Xi



x_i de chacune des variables, ainsi que dans l’évaluation des corrélations éventuelles. La banque internationale de données sur les défauts géométriques mise en place par ARBOCZ [7] regroupe des observations expérimentales des défauts sui-vant le mode de fabrication utilisé. Elle concerne plus particulièrement les structures minces cylindriques. Le but est de donner au concepteur des outils simples lui permet-tant d’élaborer des structures avec le niveau de fiabilité requis. Par exemple dans [5], on trouve une formule donnant la pression maximale admissible en fonction du niveau de fiabilité demandé : Pa  λa F S Pc

avec P_apression maximale admissible,λafacteur de réduction de charge, F

S

coeffi-cient de sécurité, P_cpression critique de flambage de la structure parfaite.

Des travaux plus récents proposent une analyse plus fine. Le but est de rendreλa dé-pendant de la probabilité de défaillance désirée et du type de défaut susceptible d’être présent dans la structure. Les travaux de ARBOCZdécrits dans [28] [29] [98] effectuent des mesures expérimentales des défauts afin de faire une analyse de fiabilité correspon-dant aux défauts rencontrés. Les travaux de GAYTON[50] proposent d’introduire et de justifier le coefficient de sécurité en le calculant à partir d’une analyse numérique du phénomène mécanique. Ce coefficient est ensuite choisi par le concepteur en fonction d’une probabilité de défaillance cible.

Une approche possible est d’intégrer à la formulation éléments finis les variables aléatoires comme un champ stochastique. Les éléments finis stochastiques permettent de donner la réponse stochastique de la structure [67] [51] [104]. Ces méthodes sont encore en développement et ne présentent pour l’instant qu’un intérêt limité pour l’ana-lyse de fiabilité.

3.1.2 Calcul de la probabilité de défaillance par approximation

Le calcul de la probabilité de défaillance par approximation se fait dans un espace de variables gaussiennes, normées, centrées, d’écart type unitaire, et décorrélées. Cet espace a été introduit par Hasofer et Lind [56]. Dans cet espace, les variables aléatoires sont notées U



U₁U₂   

U_n . La figure 3.1 montre une représentation du domaine fiable, du domaine non fiable, et de l’état limite dans l’espace normé pour deux va-riables aléatoires U₁et U₂.

On note T la transformation qui permet de passer de l’espace physique à l’espace normé :

u_i T



x_i

La fonction de performance physique G



X est transformée en la fonction H



U




















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 


















 u u

iso−densité de probabilité Gaussienne multinormale

β Domaine de défaillance G(X) H(U) U X physique ESPACE H(U)=0 quadratique: SORM Approximation linéaire: FORM

iso−valeur de charge critique minimale acceptable:

2 1 P* : Point de conception O normé de sureté Domaine

FIG. 3.1 – Représentation du problème de fiabilité dans l’espace normé pour deux variables

entre l’origine de l’espace normé et le domaine de défaillance H

 U 0 : β min  U H U
0  UT U
(3.2)

Sur le graphique de la figure 3.1, βest donné par la distance OP . P est appelé point de conception. Connaissant le point de conception, on peut évaluer la probabilité de défaillance :

soit par une approximation FORM du premier ordre [40] : P_f  Φ

 β

oùΦest la fonction de répartition de la gaussienne centrée réduite de l’espace normé,

soit par une approximation SORM du second ordre qui prend en compte les courbures principales de la fonction de performance en P .

Dans cette démarche, la seule inconnue est l’indice de fiabilité β, c’est-à-dire le point de conception. C’est un problème d’optimisation sous contrainte : trouver le point P associé au jeu de paramètres U tel que H



U

 0, qui minimise la distance OP . Plusieurs algorithmes d’optimisation sont mis en place en section 3.2.

Dans le document Une méthode de calcul efficace pour l’étude paramétrique du flambage non-linéaire de structures tridimensionnelles : application à la fiabilité (Page 112-118)