phase entre les deux composantes. Dans le cas bivari´e, ces situations n’existent pas vraiment puisqu’un d´ecalage de phase entre les deux composantes peut ˆetre assimil´e `a une rotation du signal accompagn´ee d’une translation temporelle, et que les algorithmes bivari´es sont asymp-totiquement covariants par rapport `a ces deux transformations quand le nombre de directions utilis´e et la dur´ee du signal tendent vers l’infini.
On observe de plus un d´eplacement de la fronti`ere quand le nombre d’it´erations de tamisage augmente. La fronti`ere, initialement coll´ee aux courbes a|f| = 1 et af sin(3πf/2) = 1, se d´eplace avec les it´erations en direction de la courbe af2 = 1. Cette ´evolution a ´et´e ´egalement observ´ee dans le cas des sommes de sinuso¨ıdes mais la fronti`ere se d´epla¸cait moins rapidement parce qu’elle ´etait « retenue » par les rapports de fr´equences particuliers ´evoqu´es pr´ec´edemment. Conclusions De ces r´esultats, on peut finalement tirer deux conclusions :
– les deux algorithmes semblent avoir des comportements tr`es similaires sur les sommes d’ex-ponentielles complexes, la diff´erence principale entre les deux ´etant la pr´ecision sup´erieure de l’algorithme Algo. 5. On verra en2.3que leurs comportements peuvent ˆetre plus ´eloign´es dans d’autres situations. Dans le cas de sommes d’exponentielles complexes, leur comportement est aussi tr`es proche du comportement de l’EMD classique sur les sommes de sinuso¨ıdes, sauf dans la r´egion af2 > 1 o`u, `a l’exception d’une bande de rapports de fr´equences, le signal est toujours consid´er´e comme un seul IMF bivari´e, l`a o`u l’EMD classique rajoutait dans beaucoup de cas une composante d´eriv´ee de la composante HF par repliement.
– le mod`ele d´evelopp´e ne mod´elise pas correctement les r´esultats de l’algorithmeAlgo. 4 dans la partie af2> 1. Mˆeme si la mod´elisation semble correcte dans la partie af < 1, aux impr´ecisions dues `a l’´echantillonnage pr`es, on peut l´egitimement douter de la capacit´e du mod`ele `a s’adapter `
a des situations autres que les sommes d’exponentielles complexes.
1.5 Conclusions sur l’EMD de sommes de composantes d´eterministes « simples »
Dans cette partie concernant l’analyse des performances de l’EMD sur les sommes de sinuso¨ıdes, et plus g´en´eralement de signaux faiblement non lin´eaires p´eriodiques, on a d’une part caract´eris´e le comportement de l’EMD `a l’aide de simulations num´eriques, et d’autre part d´evelopp´e un mod`ele permettant de retrouver les r´esultats observ´es dans un grand nombre de situations, du moins dans la limite continue o`u les effets li´es `a l’´echantillonnage peuvent ˆetre n´eglig´es.
Concernant l’aspect caract´erisation, l’´etude a ´et´e guid´ee par les trois questions propos´ees en1.1.2
et rappel´ees ici :
1. Dans quelles conditions l’EMD s´epare-t-elle les deux composantes sinuso¨ıdales ?
2. Dans quelles conditions l’EMD consid`ere-t-elle le signal comme une seule composante modul´ee en amplitude et en fr´equence ?
3. Dans quelles conditions l’EMD d´ecompose-t-elle le signal en plusieurs composantes qui ne sont pas simplement des combinaisons lin´eaires des deux composantes initiales ?
Les r´eponses de l’EMD `a ces trois questions sont repr´esent´ees de mani`ere sch´ematique dans la colonne de gauche Fig. ?? pour les trois situations ´etudi´ees.
Pour r´esumer les r´esultats de l’analyse des performances de l’EMD on a tout d’abord observ´e que les positions et la densit´e des extrema avaient un rˆole d´eterminant. Le premier IMF a en effet dans une tr`es grande majorit´e des cas autant d’extrema que le signal, l’exception correspondant aux cas similaires `a ceux abord´es en1.1.6.1 o`u des inflexions importantes peuvent se transformer en extrema apr`es quelques it´erations de tamisage. Dans les trois situations ´etudi´ees, on a ainsi pu montrer que le plan (a, f ) des rapports d’amplitude et de fr´equence se divisait en trois grandes r´egions (cinq dans le cas complexe) : dans les deux r´egions extrˆemes o`u le rapport d’amplitudes a tend vers 0
sin 1 2 2 1.5 3 f comportement de l’EMD sin 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ad´equation avec le mod`ele
sin 1 3 f NL 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Non test´e NL 1 2 2 2 2 1.5 1.5 3 log10a f exp −2 −1 0 1 2 −1 −0.5 0 0.5 1 log10a exp −2 −1 0 1 2
Figure 2.38 – R´ecapitulatif sch´ematique des performances de l’EMD (colonne de gauche) et du mod`ele (colonne de droite) dans les trois situations : (sin) sommes de sinuso¨ıdes, (NL) sommes de composantes faiblement non lin´eaires, (exp) sommes d’exponentielles complexes (algorithmeAlgo. 5). Les couleurs et ´etiquettes de la colonne de gauche correspondent aux trois questions pos´ees initia-lement en 1.1.2 : (1) correspond aux cas o`u les deux composantes sont correctement s´epar´ees ; (2) aux cas o`u l’EMD consid`ere le signal comme une seule composante ; (1.5) aux situations interm´e-diaires entre (1) et (2) ; (3) aux cas o`u l’EMD produit des composantes qui ne sont pas simplement des combinaisons lin´eaires des composantes de d´epart. Les fl`eches indiquent sch´ematiquement les d´eplacements des fronti`eres quand le nombre d’it´erations augmente (les sch´emas correspondent `a 10 it´erations). Les zones noires de la colonne de droite correspondent aux cas o`u les pr´evisions du mod`ele s’´ecartent de plus de 0.1 fois la norme de la composante de plus faible amplitude.
1.5. Conclusions sur l’EMD de sommes de composantes d´eterministes « simples » 163 ou l’infini, les extrema du signal correspondent approximativement `a ceux de la composante de plus gande amplitude ; dans la r´egion interm´ediaire, les extrema peuvent provenir de mani`ere g´en´erale des deux composantes voire de simples inflexions de ces derni`eres. Pour cette raison, le comportement de l’EMD dans cette zone transitoire devient nettement plus compliqu´e `a d´ecrire, mˆeme si on observe qu’il se ram`ene parfois `a celui observ´e dans l’une ou l’autre r´egion extrˆeme apr`es quelques it´erations de tamisage. Cet aspect est notamment important dans le cas de sommes de composantes faiblement non lin´eaires dans la mesure o`u la zone transitoire peut alors ˆetre bien plus large et o`u les composantes sont susceptibles de contenir des inflexions pouvant donner lieu `a des extrema dans la somme qui s’ajoutent `a ceux provenant directement des extrema des deux composantes.
Concernant maintenant les zones extrˆemes o`u les extrema sont approximativement aux mˆemes positions que ceux de la composante de plus grande amplitude, on observe des comportements tr`es diff´erents suivant que ce soit la composante BF ou HF qui domine.
Lorsque la composante HF domine (cˆot´e a tend vers 0), on a observ´e que l’effet d’une it´eration de tamisage sur des sommes de sinuso¨ıdes s’apparentait fortement `a celui d’un filtre lin´eaire passe-haut ne d´ependant que de la fr´equence de la composante HF. De l`a, le comportement de l’EMD compl`ete est dans ce cas ´egalement tr`es proche d’un filtre lin´eaire correspondant simplement `a l’it´eration du filtre correspondant `a une it´eration. Par cons´equent, la s´eparation ou non des deux composantes sinuso¨ıdales par l’EMD d´epend uniquement du rapport de leurs fr´equences et du nombre d’it´erations de tamisage avec une transition progressive entre les deux r´egimes. Cette mod´elisation simpliste s’av`ere tr`es bonne lorsque a tend vers 0 mais se d´egrade lorsque a se rapproche de 1. Elle reste cependant une approximation correcte du comportement de l’EMD mˆeme pour a = 1, avec une marge d’erreur typiquement de 15% dans le pire des cas.
Lorsque l’on consid`ere des sommes de composantes faiblement non lin´eaires en lieu et place des sinuso¨ıdes, la description se complique. En pratique, on observe que si la composante BF des harmo-niques jusqu’`a l’ordre p, l’EMD est capable de s´eparer totalement les deux composantes uniquement lorsque le rapport de fr´equences est inf´erieur `a p fois le rapport de fr´equences n´ecessaire `a s´eparer deux composantes sinuso¨ıdales de mˆemes fr´equences. De plus, lorsque le rapport de fr´equences est sup´erieur `a 1/p, on observe que les IMFs contiennent des fr´equences suppl´ementaires par rapport `a celles pr´esentes initialement dans les deux composantes. De fait, il n’est plus possible dans ce cas de d´ecrire le comportement de l’EMD uniquement en termes de filtrage lin´eaire. Il faut alors faire intervenir une autre caract´eristique importante du processus de tamisage qui est l’´echantillonnage. En effet, le fait de contruire les enveloppes `a partir des extrema du signal fait implicitement intervenir une op´eration d’´echantillonnage (par les extrema) qui s’accompagne parfois d’effets de repliement. Ces effets sont n´egligeables pour les sommes de sinuso¨ıdes mais ne le sont plus d`es lors que la com-posante BF n’est pas simplement sinuso¨ıdale du fait que ses harmoniques peuvent subir des effets de repliement. En ajoutant ces effets de repliement au mod`ele de filtrage lin´eaire pr´ec´edent, on aboutit `
a un mod`ele plus complet de l’EMD qui permet de rendre compte aussi efficacement son comporte-ment sur les sommes de signaux faiblecomporte-ment non lin´eaires que le simple mod`ele de filtrage lin´eaire le permettait sur les sommes de sinuso¨ıdes.
Une autre situation o`u les effets de repliement dus `a l’´echantillonnage sont importants est le cas o`u la composante BF domine (cˆot´e a tend vers l’infini). On observe en effet pour les sommes de sinuso¨ıdes que le comportement de l’EMD se divise essentiellement en deux r´egimes suivant le rapport de fr´equences : soit elle consid`ere les deux sinuso¨ıdes comme une seule composante modul´ee en amplitude et en fr´equence, soit elle introduit une nouvelle composante sinuso¨ıdale qui ne peut ˆetre expliqu´ee autrement que par des effets de repliement. L`a encore, le mod`ele comprenant ´echantillonnage et filtrage lin´eaire permet de rendre compte efficacement du comportement de l’EMD.
Le cas correspondant des sommes de composantes faiblement non lin´eaires n’a pas ´et´e abord´e dans cette ´etude mais il est probable que le mod`ele permette l`a aussi de rendre compte du comportement de l’EMD. Il n’y aurait alors pas ou que tr`es peu de rapports de fr´equences pour lesquels l’EMD
consid´ererait la somme de signaux comme une seule composante. En revanche, il y aurait davantage de nouvelles fr´equences susceptibles d’ˆetre introduites dans la d´ecomposition : une par harmonique de la composante HF.
En conclusion, le mod`ele propos´e permet dans de nombreux cas de pr´evoir le comportement de l’EMD d`es lors que le signal est compos´e de deux composantes p´eriodiques faiblement non lin´eaires. De plus, l’EMD agissant de mani`ere locale, on a ´egalement observ´e que le mod`ele pouvait dans une certaine mesure fournir une bonne indication du comportement de l’EMD lorsque les composantes sont modul´ees en amplitude et en fr´equence. Par extension, on peut supposer que le mod`ele peut s’av´erer utile dans des situations plus g´en´erales d`es lors que localement les extrema du signal sont approximativement uniform´ement espac´es. En particulier, il est sans doute possible de l’appliquer lo-calement dans certains cas se pr´esentant dans les zones de transition du mod`ele `a deux composantes ´etudi´e dans ces pages. En revanche, l’ad´equation entre les pr´evisions du mod`ele et le comportement r´eel de l’EMD n’est bonne que si les extrema sont effectivement pratiquement uniform´ement espac´es. S’ils ne le sont qu’approximativement, les pr´evisions du mod`ele sont g´en´eralement ´egalement approxi-matives. Enfin, on s’est born´e `a ´etudier les performances du mod`ele pour des nombres d’it´erations de tamisage inf´erieurs `a 10. Il semble probable que pour des nombres d’it´erations nettement sup´erieurs, la qualit´e de la mod´elisation soit ´egalement r´eduite.
2 Cadre stochastique : d´ecomposition d’un bruit large bande
En principe, l’EMD a ´et´e construite dans la perspective de d´ecomposer des signaux qu’on peut mettre sous la forme de sommes de composantes oscillantes. Cependant, mˆeme si l’´evolution d’une grandeur physique peut ˆetre d´ecrite ainsi, sa mesure comporte in´evitablement une certaine incertitude qu’on mod´elise bien souvent par un bruit large bande. D`es lors, le comportement de l’EMD peut ˆetre tr`es diff´erent de celui attendu intuitivement.
Dans le but de clarifier ce comportement, on s’int´eresse dans ce chapitre aux caract´eristiques de la d´ecomposition propos´ee par l’EMD quand on lui soumet en entr´ee un bruit large bande. On ´etudiera dans un premier temps les cas de bruits blancs de densit´es diff´erentes, puis on s’int´eressera de plus pr`es au cas de bruits gaussiens fractionnaires qui constituent un bon mod`ele de processus pr´esentant un comportement de loi d’´echelle. Une troisi`eme partie est ensuite consacr´ee `a une ´etude des mˆemes types de propri´et´es pour les EMD bivari´ees introduites auchapitre 1en6.5.2. Enfin, on termine cette ´etude du comportement de l’EMD sur les bruits large bande par un rapprochement avec le mod`ele d´evelopp´e dans la partie pr´ec´edente qui permet de retrouver un certain nombre des caract´eristiques observ´ees.