Dans ce chapitre ont ´et´e pr´esent´ees les principales m´ethodes d´edi´ees aux probl`emes de vibrations et (ou) d’acoustique. Des strat´egies sp´ecifiques sont d´evelopp´ees selon le domaine fr´equentiel trait´e. Ainsi, pour les basses fr´equences les deux principales m´ethodes sont la FEM et la BEM. La premi`ere s’appuie sur un affaiblissement de l’´equation d’´equilibre local, et la deuxi`eme sur une forme int´egrale de l’´equation d’´equilibre qui repr´esente une solution particuli`ere du probl`eme. Elles s’appuient toutes deux sur un maillage, mais dans la BEM seul le bord est discr´etis´e. Si ces m´ethodes sont robustes et fiables dans le domaine des BF, leur extension aux moyennes fr´equences pose de s´erieuses difficult´es. La FEM se heurte `a l’ef-fet de pollution qui n´ecessite un raffinement du maillage tr`es important quand la fr´equence augmente. C’est pourquoi certaines techniques, comme la stabilisation de la forme bilin´eaire de la formulation variationnelle, ont ´et´e propos´ees. Ces m´ethodes restent toutefois tr`es coˆ u-teuses. Pour la BEM, la principale difficult´e est plus d’ordre num´erique, elle conduit `a des mod`eles num´eriques plus petits que la FEM, mais les int´egrations num´eriques qu’elle fait intervenir sont beaucoup plus coˆuteuses. La BEM est ´egalement sujette `a l’effet de pollution, et doit donc elle aussi utiliser un maillage de fronti`ere de plus en plus fin quand la fr´equence augmente.
A l’oppos´e, la communaut´e des hautes fr´equences s’int´eresse `a des mod`eles bas´es sur des consid´erations ´energ´etiques souvent globales, telle la SEA. Sauf dans le cadre d’hypoth`eses simplificatrices et restrictives, ces m´ethodes sont g´en´eralement non-pr´edictives. De plus, elles font parfois intervenir des coefficients qu’il faut identifier par l’exp´erience ou qui n´ecessitent des calculs tr`es coˆuteux. Leur extension au MF est donc souvent peu efficace.
Enfin, entre ces deux communaut´es existe une communaut´e MF qui d´eveloppe des ap-proches que nous pouvons qualifier d’ondulatoires. Ces m´ethodes utilisent toutes une base de fonctions qui sont des solutions exactes de l’´equation d’´equilibre, ie des ondes planes ou encore des fonctions de Bessel. Ces fonctions sont utilis´ees soit par l’enrichissement d’un
espace fonctionnel classique (par exemple les fonctions EF) comme la PUM, la EFGM, la DEM , ou encore la WBEM, soit en tant que fonctions de forme `a part enti`ere pour les m´ethodes de Trefftz ou encore la DGM. Toutes ces m´ethodes se distinguent les unes des autres par le traitement sp´ecifique des autres ´equations du probl`eme de r´ef´erence. Ici, nous avons distingu´e les approches de type p et de typeh. Les approches de type p fournissent `a nombre de ddls ´egal des r´esultats plus pr´ecis.
La TVRC est une de ces m´ethodes. Elle utilise une base d’ondes planes propagatives (et ´evanescentes dans le cadre des vibrations structurales). Elle pr´ef`ere toutefois une vi-sion int´egrale des directions de propagation, l’id´ee ´etant de prendre toutes les directions en compte. Elle se distingue ´egalement par une formulation variationnelle originale qui permet l’ind´ependance a priori des approximations entre chaque sous-structure, car les conditions de transmission entre sous-structures y sont incorpor´ees de fa¸con naturelle et automatique.
Cet ´etat de l’art montre aussi que toutes ces m´ethodes ont en commun le mauvais condi-tionnement des syst`emes alg´ebriques auxquels elles aboutissent. Ce probl`eme est souvent attribu´e au fait que ces m´ethodes utilisent des fonctions d´efinies sur la (sous-)structure en-ti`ere, et qu’elles sont tr`es peu orthogonales. L’utilisation des s´eries de Fourier (dans le cas 2D) ou des s´eries de Laplace (dans le cas 3D), et les propri´et´es d’orthogonalit´e qui les ac-compagnent permettent d’am´eliorer ce dernier point.
Enfin, la plupart de ces m´ethodes sont limit´ees `a des g´eom´etries simples, nous verrons au cours des prochains chapitres que la TVRC n’a pas de telles limitations.
3 La Th´ Variationnelle des eorie Rayons Complexes
L
’objet de ce chapitre est la pr´esentation de la TVRC appliqu´ee aux probl`emes de couplage vibro-acoustique, et le rappel des principales propri´et´es de la TVRC. Dans un premier temps, la formulation initialement propos´ee dans [Ladev`eze, 1996] est adapt´ee pour ce type de probl`eme. Cette formulation variationnelle mixte du probl`eme de r´ef´erence o`u les conditions sur les fronti`eres sont v´erifi´ees au sens faible est un point-cl´e de la m´ethode, car elle autorise l’ind´ependance a priori des approximations faites sur chaque sous-syst`eme.La continuit´e des champs au niveau des interfaces entre sous-syst`emes est directement in-corpor´ee dans la formulation variationnelle, contrairement `a d’autres approches qui doivent l’assurer par des multiplicateurs de Lagrange ou par l’emploi d’une technique de p´enalisa-tion. Ensuite, l’approximation utilis´ee dans la TVRC est pr´esent´ee. Cette approximation est construite sur une base de fonctions qui v´erifient exactement l’´equation d’´equilibre en tout point d’un (sous-)syst`eme. La partie homog`ene de la solution utilise une base d’ondes planes se propageant dans toutes les directions. Les fonctions de forme issues de cette approxima-tion sont appel´ees rayons de vibraapproxima-tion et comportent deux ´echelles. L’´echelle rapide caract´e-risant le ph´enom`ene vibratoire est prise en compte analytiquement, tandis que l’´echelle lente est calcul´ee num´eriquement. Cette ´echelle lente est constitu´ee par le portrait d’amplitudes complexes des rayons de vibration. Enfin, on illustrera sur un exemple les performances de convergence de la m´ethode. En effet l’inconnue du probl`eme est le portrait d’amplitude qui n´ecessite une discr´etisation relativement grossi`ere en comparaison de la discr´etisation n´eces-saire pour d´ecrire correctement le champ de pression. Ce qui permet d’obtenir des solutions de qualit´e avec un faible nombre d’inconnues.
Sommaire
3.1 R´e´ecriture du probl`eme de r´ef´erence . . . 35 3.1.1 Formulation variationnelle . . . 35
des plaques . . . 39 3.2.1.1 Espace des vecteurs d’ondes admissibles en acoustique lin´eaire 39 3.2.1.2 Espace des vecteurs d’ondes admissibles en vibrations des
plaques . . . 40 3.2.2 Solution particuli`ere de la partie inhomog`ene des ´equations de
Helm-holtz et de Kirchhoff . . . 41 3.2.3 Discr´etisation classique du probl`eme . . . 41 3.3 Convergence de la TVRC . . . 43 3.3.1 h- etp-convergence : cas d’une onde plane . . . 43 3.4 Conclusion . . . 45