Conclusion

Dans ce premier chapitre, diérentes notions de stabilité ont été présentées. Premièrement,

la notion de stabilité la plus classique, celle au sens de Lyapunov, a été rappelée. Nous avons

également déni la stabilité asymptotique et la stabilité exponentielle. Ensuite, plusieurs résultats

concernant ces diérents types de stabilité ont été exposés en se basant sur la dénition d'une

fonction de Lyapunov. Principalement, nous avons rappelé que la caractérisation de la stabilité de

Lyapunov d'un système linéaire invariant peut se mettre sous forme d'un problème d'optimisation

sous contraintes LMIs.

Dans un deuxième temps, nous avons introduit la notion de stabilité pratique et le concept

de stabilité en temps ni. Nous avons présenté diérentes dénitions liées à ce dernier concept,

telles la stabilité en temps ni et la bornitude en temps ni. Ensuite, nous avons exposé

dié-rents résultats garantissant la stabilié en temps ni ou la bornitude en temps ni d'un système

dynamique. Nous avons mis l'accent sur des résultats exprimés sous forme LMIs garantissant la

stabilité en temps ni, la stabilisation en temps ni et la bornitude en temps ni des systèmes

linéaires invariants.

Le second chapitre sera consacré à la présentation des nouveaux résultats concernant la

bor-nitude en temps ni et la stabilisation en temps ni des systèmes linéaires continus et invariants.

Chapitre 2

Commande en temps ni des systèmes

linéaires invariants

Sommaire

2.1 Introduction . . . 28 2.2 Préliminaires sur l'analyse de la stabilité en temps ni . . . 29 2.3 Approche descripteur pour la stabilisation en temps ni . . . 32 2.3.1 Approche descripteur pour l'analyse de la bornitude en temps ni . . . 32 2.3.2 Synthèse d'un correcteur FTB par retour de sortie dynamique . . . 35 2.3.3 Exemples numériques . . . 41 2.4 Commande H∞ en temps ni . . . 42

2.4.1 CommandeH∞en temps ni par retour de sortie dynamique : approche classique . . . 43 2.4.2 CommandeH∞en temps ni par retour de sortie dynamique : approche

descripteur . . . 48 2.4.3 Exemple numérique . . . 52 2.5 CommandeH∞en temps ni basée sur un observateurH∞en temps

ni . . . 54 2.5.1 Synthèse d'une commande H∞ en temps ni basée sur un observateur

H∞en temps ni . . . 54 2.5.2 Synthèse d'une commande H∞ en temps ni basée sur un observateur

H∞en temps ni sous la contrainte KDyw= 0 . . . 56 2.5.3 Synthèse d'une commande H∞ en temps ni basée sur un observateur

H∞en temps ni sans la contrainte KDyw= 0 . . . 62 2.5.4 Exemple numérique . . . 69 2.6 Conclusion . . . 70

Chapitre 2. Commande en temps ni des systèmes linéaires invariants

2.1 Introduction

Dans le chapitre 1, nous avons vu la notion de stabilité en temps ni (FTS), ainsi que son

extension aux systèmes perturbés, appelée bornitude en temps ni (FTB) [WI67, AAAD99b].

Rappelons qu'un système est dit borné en temps ni lorsque, pour tous les états initiaux

com-mençant dans un domaine donné et borné, et pour toutes les perturbations admissibles, l'état du

système reste dans un autre domaine donné et borné (contenant le domaine des états initiaux),

pour un intervalle de temps xe et ni. Par conséquent, un système borné en temps ni est un

système stable en temps ni en présence de perturbations exogènes bornées. Le concept de la

stabilité en temps ni a été appliqué aux systèmes tels que les réseaux ATM [ACAA02], des

systèmes aéronautiques [WI67], une suspension de voiture [KBI15]...

Le problème du contrôle en temps ni consiste en la conception d'un correcteur qui assure

la FTS ou la FTB du système en boucle fermée. Pour le contrôle en temps ni, les premières

méthodes étaient prohibitives du point de vue du calcul (voir [Dor06] et les références qui y

gurent). À partir de la n des années 80, l'évolution des méthodes de résolution des inégalités

matricielles linéaires (LMI) ont stimulé une nouvelle approche pour la synthèse des conditions

assurant la stabilisation en temps ni (voir [ElB12] et les références qui y gurent). Ainsi de

nombreux travaux ont été consacrés au cas des systèmes linéaires : dans [AAD01], Amato et al.

ont étudié le contrôle en temps ni par un retour d'état statique. Ensuite, dans [MS09], Meng et

al. ont synthétisé un correcteur par retour d'état statique qui assure à la fois la FTB du système

en boucle fermée et le critère H∞.

Dans le cas où les variables d'état d'un système dynamique ne sont pas toutes accessibles,

les chercheurs ont recours à la synthèse d'un correcteur par retour de sortie dynamique.

Plu-sieurs articles ont été consacrés à la commande en temps ni par retour de sortie dynamique

des systèmes linéaires. Dans [AAAD99a], les auteurs ont examiné le problème de synthèse d'un

correcteur par retour de sortie dynamique pour le cas des systèmes linéaires invariants dans le

temps avec des incertitudes paramétriques. Les conditions d'existence de ce correcteur ont été

exprimées en termes d'inégalités matricielles bilinéaires (BMI). Or, la résolution d'un problème

d'optimisation BMI ne conduit pas en général à une solution optimale. De plus, du point de vue

complexité de calcul, les problèmes BMI sont des problèmes non-polynomiaux (N-P) et donc

coûteux [VB00]. En 2006, Amato et al. [AAC06b] ont proposé la conception d'un correcteur

en temps ni à sortie dynamique. Leur méthode consiste en la résolution d'un problème

d'op-timisation sous contraintes LMIs. Les inconvénients de cette approche sont que la procédure

de synthèse du correcteur est eectuée en deux étapes : la première étape est la synthèse d'un

correcteur par retour d'état statique assurant la FTS du système linéaire invariant consideré, la

deuxième étape est la conception d'un observateur de type Luenberger en temps ni qui conserve

les mêmes propriétés établies par le correcteur par retour d'état statique. Un autre inconvénient

est l'utilisation dans cette deuxième phase d'une matrice diagonale de Lyapunov. Ce qui ne

per-met pas de considérer l'eet de termes croisés entre les variables d'état et celles du correcteur.

Pour surmonter la restriction à une matrice de Lyapunov diagonale, Borges et al. [BIRR12] ont

utilisé un lemme de N. Aronszajn pour les matrices positives hermitiennes [TF70]. Ils ont proposé

des conditions susantes pour la synthèse d'un correcteur FTB par retour de sortie dynamique.

La fonction de Lyapunov considerée pour la démonstration a une forme générale non restrictive.

Dans ce chapitre, le premier but est de fournir des conditions moins coûteuses en calcul (moins

que les conditions BMIs) pour la synthèse d'un correcteur FTB par retour de sortie dynamique

et de réduire le conservatisme des conditions LMIs présentées dans la littérature. Pour cela,

nous utilisons une approche de système descripteur [FS02], originale dans un contexte de FTS.

Cela permet de choisir une structure générale pour la matrice de Lyapunov, et d'exploiter les

2.2. Préliminaires sur l'analyse de la stabilité en temps ni