Les exp´eriences sur les ´echelles de spins mettent en ´evidence des comportements riches en fonction des conditions exp´erimentales (temp´erature, pression, substitution en Ca) avec la pr´esence d’un gap de spin, d’onde de densit´e de charge et de supraconductivit´e non conven-tionnelle. La structure et les propri´et´es du compos´e supraconducteur Sr14−xCaxCu24O41+δ en font un cousin des conducteurs organiques ainsi que des cuprates. Il permet ainsi une approche compl´ementaire des questions plus g´en´erales sur les syst`emes fortement corr´el´es tant du point de vue exp´erimental que th´eorique. Cependant, la plupart des questions im-portantes comme le dopage effectif en trous, l’existence d’un gap de spin, la dimensionnalit´e, l’effet du d´esordre et la sym´etrie de l’appariement dans la phase supraconductrice ne font pas l’objet d’un consensus, en raison de la complexit´e du syst`eme et du d´efi technique que sont les exp´eriences sous forte pression. La perspective de nouveaux compos´es `a ´echelles de spins, notamment supraconducteur `a pression ambiante, pourrait permettre d’aborder cette probl´ematique sous un nouvel angle.
Notions sur la physique des syst` emes quantiques unidimensionnels
1 Vers un hamiltonien effectif : la bosonisation
Nous abordons dans cette partie la m´ethode de bosonisation qui permet une descrip-tion g´en´erale de particules en interacdescrip-tion confin´ees sur un r´eseau unidimensionnel ou quasi-unidimensionnel. Dans la premi`ere partie, on pr´esente la description de basse ´energie condui-sant `a un hamiltonien effectif. Cela introduit `a la notion de liquide Luttinger qui est le pendant du liquide de Fermi `a une dimension et dont on verra les sp´ecificit´es. On pr´esente ensuite les instabilit´es de ce liquide de Luttinger en mettant en ´evidence le rˆole des com-mensurabilit´es. Enfin, on rapporte les r´esultats de cette m´ethode aux cas des chaˆınes de fermions coupl´ees, c’est-`a-dire les ´echelles. Ce chapitre introduit des notions et des r´esultats essentiels, r´eguli`erement utilis´es par la suite. Les formules de bosonisations pouvant utiliser des conventions diff´erentes suivant les auteurs, il est utile de pr´eciser que l’on a choisi celles du livre de Giamarchi [6] si bien que certains r´esultats peuvent prendre une forme diff´erente de celle des articles originaux. Cette pr´esentation est tr`es largement inspir´ee de certaines des nombreuses r´ef´erences sur le sujet [6, 131–133] `a commencer par le livre de Giamarchi ; l’objectif ´etant de donner un support indispensable aux discussions des chapitres suivant.
1.1 Le Liquide de Luttinger
1.1.1 Introduction des champs φ(x) et θ(x)
En suivant l’approche g´en´erale et ph´enom´enologique propos´ee par Haldane [6, 131, 134], on relie l’op´erateur de cr´eation d’une particule ψ†(x) aux fluctuations de densit´e dans la limite d’une description continue. ´Ecrivons en effet cet op´erateur sous la forme
ψ†(x) =p
ρ(x)e−iθ(x) (II.1)
o`u l’on a introduit les op´erateurs de phase θ(x) et de densit´e locale ρ(x). Parce qu’on est `a une dimension, ρ(x) peut ˆetre param´etr´ee de fa¸con univoque par une fonction continue et croissante ϕ(x) telle que ϕ(xi) = 2πn avec n entier si la ie particule se trouve en xi. Cette fonction est donc une mesure directe du nombre de particules `a gauche de x. Autrement dit, il s’agit d’une description en termes de solitons dans laquelle la fonction ϕ(x) a un «kink »
de 2π au passage de chaque particule. On en d´eduit1 Si la densit´e moyenne de particules estρ0 = 1/a(a´etant la distance typique entre particules), le champφd´efini par 2φ(x) = 2πρ0x−ϕ(x) caract´erisera les fluctuations autour de la position
« d’´equilibre » ϕ(x) = 2πρ0x. On obtient alors la d´ecomposition de Fourier de l’op´erateur densit´e suivante
dans laquelle −π1∇φ(x) correspond aux fluctuations de densit´e de grandes longueur d’onde tandis que les harmoniques m correspondent `a des fluctuations aux distances de l’ordre de a. Revenons `a l’op´erateur de cr´eation d’une particule ψ†(x). Il faut maintenant pr´eciser la nature des particules que l’on d´ecrit. On ne consid`ere pour l’instant que le cas de particules sans degr´e de libert´e interne. Le cas des ´electrons sera discut´e plus tard. Suivant qu’on a des bosons (qui commutent) ou des fermions (qui anti-commutent), on trouve [134] des expressions assez similaires en fonction des deux champs φ(x) et θ(x) :
ψ†B(x) = avec comme relations de commutation pour les champs,
[θ(x′),∇φ(x)] = iπδ(x−x′) (II.6)
[φ(x′),∇θ(x)] = iπδ(x−x′) (II.7)
[φ(x), θ(x′)] = iπ
2Sign(x−x′). (II.8)
La seule diff´erence entre bosons et fermions est le facteur eiφ(x) suppl´ementaire pour les fermions qui permet d’obtenir un signe moins entre ψ†(x′)ψ†(x) et ψ†(x)ψ†(x′) puisque le champφprend un«kink»deπau passage d’une particule. En revanche, l’op´erateur densit´e et les relations de commutation des champs θ etφ sont les mˆemes quelque soit la statistique des particules. La nature des particules se manifestera dans les fonctions de corr´elations comme on le verra. 1π∇φ(x) et θ(x) sont donc des champs conjugu´es, de mˆeme que π1∇θ(x) et φ(x). On introduit d’ailleurs souvent le champ conjugu´e de φ(x) avec la notation
Π(x) = 1
π∇θ(x). (II.9)
1d’apr`es les relations sur les distributions et la formule de sommation de Poisson
+∞
On peut pr´eciser ici quelques propri´et´es topologiques de ces champs lorsque lesN particules sont confin´ees sur un une chaˆıne L avec conditions aux bords p´eriodiques. Comme on doit avoirN particules entrexetx+L, on a imm´ediatementφ(x+L) =φ(x)+πN. La p´eriodicit´e de la fonction d’onde ψ(x+L) =ψ(x) donnera pour des bosonsθ(x+L) =θ(x) +πJ (avec J un entier pair) et pour des fermions θ(x+L) = θ(x) +π(J+N) (avec N +J pair cette fois). Le nombre quantique N est simplement le nombre de particules tandis que J est lui reli´e `a la quantification de l’impulsion totale autour de l’anneau et `a la possibilit´e d’avoir des courants permanents [131].
1.1.2 Hamiltonien
Pour d´ecrire la dynamique du syst`eme dans la limite continue, on cherche l’hamilto-nien effectif le plus simple en fonction des champs θ(x) et φ(x) et de leur d´eriv´ees aux ordres les plus bas autoris´es par les sym´etries. La sym´etrie la plus g´en´erale `a consid´e-rer est de dire que le syst`eme est invariant si x → −x, i.e. on se place dans le r´ef´eren-tiel o`u il est au repos. L’invariance du premier terme de la densit´e entraˆıne notamment
∇φ(x) = ∇φ(−x) et donc φ(x) = −φ(−x). La densit´e de courant local de particules j(x) =i[ψ†(x)∇ψ(x)− ∇ψ†(x)ψ(x)] donne `a l’ordre le plus bas j(x) ∼ ∇θ(x). Ce courant v´erifiant j(x) =−j(−x), on en d´eduit2 ∇θ(x) =−∇θ(−x). En regardant les d´ecompositions des op´erateurs de cr´eation et d’annihilation (II.4) et (II.5), on voit qu’on peut s’attendre `a la fois `a des termes du type polynˆome en ∇φ(x) et ∇θ(x) (mais pas en φ(x) et θ(x)) ainsi que des termes du type cos(aφ(x)), cos(aθ(x)), etc. . . On oublie ces derniers pour l’instant, ils seront discut´es plus en d´etails dans la section1.3. D’apr`es l’argument ci-dessus, les termes en ∇θ et ∇θ∇φ ne sont pas autoris´es par sym´etrie. Pour θ(x), le terme le plus bas est donc (∇θ(x))2 = (πΠ(x))2 avec (II.9). Ce terme a en fait une interpr´etation physique tr`es simple : en premi`ere approximation un boson s’´ecrit ψ†(x) ≃ ρ1/20 e−iθ(x) et un terme cin´e-tique R
dx∇ψ†∇ψ donne une contribution de ce type. Les fermions contiendront ´egalement ce terme. Pour le champ φ(x), un terme en ∇φ, comme par exemple le terme de poten-tiel chimique−µR
dxρ(x), se couple `a la densit´e et peut ˆetre r´eabsorb´e dans la d´efinition du champφ donc on l’oubliera ici. Reste les termes en (∇φ(x))2 qui ont une origine intuitive : ils proviennent d’une interaction locale de type densit´e-densit´e R
dxρ(x)2. Ainsi, l’hamiltonien g´en´erique qui contient les termes ´el´ementaires d’´energie cin´etique et d’´energie d’interaction, prend la forme d’un hamiltonien quadratique
H = Z dx
2π
huK(πΠ(x))2+ u
K(∇φ(x))2i
. (II.10)
Cet hamiltonien effectif, puisque ind´ependant d’une description microscopique, est param´e-tr´e par le jeu de constantes (u, K) appel´ees param`etres de Luttinger. Le param`etre u a la dimension d’une vitesse et K est sans dimension. Pour des fermions libres,u=vF la vitesse de Fermi et K = 1. Pour des bosons libres, u est la vitesse du son et K = ∞, signifiant simplement que le terme (∇φ)2 est absent. En revanche, pour des bosons de cœur dur dont on ne peut en avoir deux au mˆeme site, on a aura K = 1 : le terme (∇φ)2 assurant alors cette contrainte similaire au principe de Pauli. On verra comment d´eterminer ces param`etres
2Pour les bosons, l’invariance de la fonction d’onde implique plus directementθ(x) =θ(−x) puis∇θ(x) =
−∇θ(−x).
de fa¸con sp´ecifique par la suite. `A l’instar de la th´eorie du liquide de Fermi, la th´eorie du liquide de Luttinger repose donc sur des hypoth`eses tr`es g´en´erale et permet des pr´edictions simples enti`erement param´etr´ees par deux constantes. Le paradigme du liquide de Luttinger propos´e par Haldane [134] est que tout syst`eme unidimensionnel ayant un mode avec une relation de dispersion lin´eaire `a basse ´energie sera d´ecrit de mani`ere effective par l’hamilto-nien (II.10). Tout comme pour le liquide de Fermi, des interactions fortes peuvent entraˆıner des instabilit´es vers d’autres phases : ces cas seront abord´es `a la section 1.3.
1.1.3 Propri´et´es physiques et d´etermination des param`etres de Luttinger u et K.
Avec un hamiltonien quadratique tel que (II.10), de nombreux r´esultats analytiques sont `a disposition. Si l’on souhaite calculer des valeurs moyennes d’observables (param`etres d’ordre, corr´elations), on pourra utiliser les r´esultats
h[φ(r)−φ(0)]2i = KF1(r) (II.11)
comportent un param`etre de coupure (cutoff) α qui est typiquement la distance a. Cela entraˆıne notamment pour des conditions aux bords p´eriodiques
hY
jbj = 0 pour avoir une contribution non nulle. `A temps ´egaux et pour x ≫ α, on a F1(x) ∼ln(x/α) de sorte que, de mani`ere g´en´erique, les corr´elations statiques suivront des lois alg´ebriques dont les exposants ne seront param´etr´es que par K. Dans cette limite, il est plus simple de retenir le r´esultat suivant
hAm,n(x)A−m,−n(0)i ∝hα
en omettant le facteur de phase, et en notant
Am,n(x, τ) = eimθ(x,τ)einφ(x,τ). (II.19)
Prenons un exemple simple pour appliquer ce r´esultat en calculant la fonction de Green `a temps ´egaux de fermions en approximant (II.5) parψF†(x)∼eikFxe−i(φ(x)−θ(x))(aveckF =ρ0π le vecteur d’onde de Fermi) :
hψF(x)ψF†(0)i ∼ eikFxhei(φ(x)−θ(x))e−i(φ(0)−θ(0))i+. . . (II.20)
k n(k)
0 kF
Fermi Liquid
k n(k)
0 kF
Luttinger Liquid
Fig. II.1:Facteur d’occupation des ´etatsn(k) `a temp´erature nulle dans les liquides de Fermi et de Luttinger : `a la diff´erence de liquide Fermi, celui de Luttinger n’a pas de discontinuit´e au niveau de Fermi mais une singularit´e.
Ainsi, on peut en d´eduire le facteur d’occupation n(k) =R
dxe−ikxhψF(x)ψF†(0)i de l’´etatk en prenant la transform´ee de Fourier. Celui-ci pr´esente une singularit´e au niveau de Fermi de la forme
n(k)−n(kF)∝Sign(kF −k)|kF −k|K+K2−1−1. (II.22) Pour des fermions libres, on aurait une discontinuit´e au niveau de Fermi donc dans ce cas K = 1. En pr´esence d’interactions, cette discontinuit´e se transforme en singularit´e (voir figure II.1). L’effet des interactions `a une dimension est donc beaucoup plus important que dans un liquide de Fermi pour lequel la discontinuit´e survit aux interactions. Notons que le calcul pour des bosons avec le mˆeme hamiltonien effectif donne un r´esultat diff´erent,
hψB(x)ψ†B(0)i ∼ he−iθ(x)eiθ(0)i ∼α x
2K1
. (II.23)
Les corr´elations ne font donc intervenir que le param`etre K. Un moyen d’acc´eder `a la vitesse u est de perturber le syst`eme. Par exemple, en ajoutant des particules au syst`eme, on va sonder sa compressibilit´e
κ= ∂ρ
∂µ. (II.24)
Le potentiel chimiqueµse couple au syst`eme par un terme−µR
dxρ(x). La perturbation de la densit´eδρinduite par ce terme seraδρ=−π1∇φd’apr`es (II.3), soit un terme µπR
dx∇φ dans l’hamiltonien. La transformation φ → φ+µKux permet de retrouver l’hamiltonien quadra-tique. On a donc perturb´e la densit´e dehδρi=−π1h∇φi=µuπK si bien que la compressibilit´e vaut
κ= K uπ = vF
u Kκ0. (II.25)
La derni`ere relation compare la compressibilit´e obtenue avec celle du syst`eme libre κ0. Tout comme dans la th´eorie du liquide de Fermi, certaines observables sont simplement renorma-lis´ees par les interactions et ce, au travers des param`etres de l’hamiltonien effectif.
De fa¸con similaire, le poids de Drude du liquide de Luttinger peut ˆetre d´etermin´e en fonction des seuls param`etres de Luttinger. Le poids de Drude est la contribution `a fr´equence
nulle de la conductivit´e optique. Il est aussi ´egal `a la raideur de charge du syst`eme. Cette derni`ere caract´erise la r´eponse du syst`eme, pris avec des conditions aux bords p´eriodiques, lorsqu’on introduit un petit flux magn´etique `a travers l’anneau (voir figureIII.1). Ce flux va induire un courant qui lui est proportionnel. Le poids de Drude sera simplement ce coefficient de proportionnalit´e. Le champ magn´etique associ´e au potentiel vecteur A(x, t) va se coupler au syst`eme par un terme du type −R
dxj(x, t)A(x, t). L’´equation de continuit´e pour la charge ∂tρ+∇j = 0 permet de relier le courant au champ φ selon j = 1π∂tφ. En notant que la dynamique du champ φ est coupl´ee `a son op´erateur conjugu´e en raison de ∂tφ =i[H, φ], on obtient que le courant est reli´e `a l’op´erateur impulsion Π
j(x, t) = uK
π (πΠ(x, t)) (II.26)
Comme pour la compressibilit´e, le terme−R
dx uKΠ(x)A(avecAuniforme et constant) peut ˆetre r´eabsorb´e par la transformation πΠ → πΠ−A. La densit´e de courant diamagn´etique est donc j =−uKπ A et le poids de Drude D=−∂j/∂Avaut donc simplement
D= uK
π . (II.27)
La compressibilit´e (II.25) et le poids de Drude (II.27) peuvent ˆetre calcul´es num´eriquement soit `a travers les ´equations de l’ansatz de Bethe pour un syst`eme int´egrable, soit par des m´ethodes num´eriques qui seront pr´esent´ees dans le chapitre III, section 1.4. On aura donc dans l’´energie du syst`eme deux contributions 12κN2 et 12DJ2 qui sont directement reli´ees aux nombres quantiques topologiques N et J. Tandis que l’hamiltonien (II.10) d´ecrit les fluctuations, ces termes correspondent `a des excitations topologiques [131].
1.1.4 Effets de taille finie et th´eories conformes
Un des avantages des syst`emes quantiques unidimensionnels est la possibilit´e d’utiliser les r´esultats des th´eories conformes [131, 135]. Pour un hamiltonien qui a des corr´elations critiques comme (II.10), on appelle dimension de l’op´erateurOl’exposantν intervenant dans le changement d’´echelle r→b−1r. Le corr´elateur
hO1(r′)O2(r)i=b−ν1b−ν2hO1(b−1r′)O2(b−1r)i (II.28) fait apparaˆıtre les dimensions des deux op´erateursO1 etO2. Pour une fonction de corr´elation (O1 = O2), la dimension de l’op´erateur sera simplement la moiti´e de l’exposant de la d´e-croissance alg´ebrique. Si on consid`ere la variable z = (x, uτ) comme une variable complexe, on peut utiliser la grande famille des transformations conformes `a deux dimensions pour calculer les effets de taille finie. En particulier, un premier r´esultat int´eressant [136] est le comportement des corrections de taille finie `a l’´energie par site e(L) d’un syst`eme de taille L `a temp´erature nulle
e(L) = e∞− cπu 6L2 +O
1 L2
. (II.29)
Ces corrections ne font intervenir que la vitesse de Luttinger u et une constante c appel´ee charge centrale. Elle est reli´ee qualitativement au nombre de modes bosoniques pr´esents
1 10 100
Fig. II.2:A gauche : effets de taille finie pr´edits par les th´eories conformes pour un syst`eme` avec conditions aux bords ferm´ees (PBC) ou ouvertes (OBC) avec, dans ce dernier cas, x′ fix´e `a L/2. C’est r´esultats permettent d’am´eliorer l’interpr´etation des don-n´ees num´eriques. `A droite : oscillations de Friedel de la densit´e ´electronique pr`es du bord d’une ´echelle dop´ee avec conditions aux bords ouvertes. Les deux types de symboles repr´esentent les donn´ees num´eriques et l’ajustement par les lois de th´eorie conforme. D’apr`es White et al. [137].
dans la th´eorie effective de basse ´energie. Cette constante vaut c= 1 pour l’hamiltonien de Luttinger (II.10) etc= 2 pour un liquide de Luttinger avec mode de spin et de charge, mais peut aussi ˆetre une fraction rationnelle : on verra un cas avec c = 3/2 dans le chapitre IV.
C’est un r´esultat remarquable que ces corrections soient universelles dans la mesure o`u elles ne d´ependent que de uet c.
Grˆace aux th´eories conformes, les fonctions de corr´elation vues pr´ec´edemment dans la limite thermodynamique peuvent ´egalement ˆetre ´evalu´ees `a temp´erature nulle sur un syst`eme de taille finie. En effet, on peut utiliser la transformation qui am`ene un syst`eme infini sur un cylindre de p´erim`etre Lestz′ = exp(2πz/L) et de hauteur infinie (l’axe du temps imaginaire uτ). Le comportement alg´ebrique discut´e jusqu’ici pour L→ ∞ va d´ependre des conditions aux limites. Si ces derni`eres sont p´eriodiques, les corr´elations ne d´ependent que de la distance relative x−x′ et on peut montrer qu’on a alors
`a un facteur de phase pr`es, avec cnm une constante d´ependant du mod`ele. Ce r´esultat n’est en toute rigueur valable que pour |x′−x| ≫α. On a introduit la distance conforme
d(x|L) = L
qui tend versxdans la limite thermodynamique. L’effet du sinus est de renforcer les corr´ela-tions lorsque x′−x=L/2 par rapport `a une pure d´ecroissance alg´ebrique (voir figure II.2).
Les corr´elations sont ´egalement sym´etriques par rapport `a ce point et sont par cons´equent redondantes au-del`a. Au contraire, lorsque les conditions aux bords sont ouvertes, les corr´e-lations d´ependent `a la fois de x et de x′ du fait qu’il n’y a plus invariance par translation.
Dans ce cas, on montre [131] qu’on n’a plus n´ecessairementm′ =−mmais toujoursn′ =−n, un exemple de ces effets de taille finie sur la figure II.2 qui montre un d´ecrochement de la fonction de corr´elation lorsque x atteint les bords du syst`eme. Un peut ´egalement prendre x′ plus pr`es d’un bord que l’autre ce qui permet d’acc´eder `a des distances x−x′ > L/2 plus grandes que pour des conditions p´eriodiques. Notez enfin que ces effets vont d´ependre des valeurs de K m etn. D’autre part, un point remarquable de l’utilisation des conditions aux bords ouvertes est que certains op´erateurs ne vont plus avoir de valeur moyenne constante.
Ainsi, on montre que
On peut appliquer ce r´esultat `a l’op´erateur densit´e de l’´equation (II.3) qui va voir ses fluc-tuations accroch´ees par les conditions aux bords ouvertes :
hρ(x)iobc =ρ0
avec c2m et ϕ2m des constantes. Ce r´esultat sur la densit´e est ind´ependant de la statistique des particules. Physiquement, ces oscillations de la densit´e qui d´ecroissent des bords vers le milieu du syst`eme ne sont rien d’autre que des oscillations de Friedel dont un exemple dans les ´echelles dop´ees est donn´e sur la figure II.2. Les harmoniques d´ecroissent d’autant plus vite que m est grand.
De la mˆeme mani`ere, `a temp´erature finie sur un syst`eme infini, l’effet de la temp´erature sera d’entraˆıner une p´eriodicit´e β = 1/T le long de l’axe temporel et on pourra utiliser des r´esultats similaires en faisant la transposition iL → uβ. Enfin, dans certains cas, on peut connaˆıtre les fonctions d’´echelle de certaines observables ce qui permet une extraction des ex-posants par collapse des donn´ees. En revanche, pour les mod`eles quantiques bidimensionnels, les effets de taille finie ne b´en´eficient pas de r´esultats aussi g´en´eraux.
1.2 Bosonisation
Nous avons suivi jusqu’ici une approche ph´enom´enologique des liquides de Luttinger qui ne d´epend pas d’un mod`ele microscopique en particulier. En pratique, lorsqu’on veut ´etu-dier un mod`ele microscopique comme le mod`ele de Hubbard ou de Heisenberg et d´eriver
kF
-kF
R L
ε
k
Fig. II.3:Lin´earisation de la relation de dispersion au niveau de Fermi dans la m´ethode de bosonisation.
son hamiltonien effectif, il faut trouver un proc´edure qui relie les op´erateurs de cr´eation et d’annihilation sur r´eseau ciσ, c†i,σ aux champs φ(x) et θ(x) de la description continue. On verra que ce lien se fait par l’utilisation des op´erateurs densit´es ´equivalents `a des bosons. On commence par discuter la bosonisation des fermions sans spin3, ce qui permet de discuter le cas des spin 1/2 avant de parler des fermions avec spins.
1.2.1 Fermions sans spins
On part de l’hamiltonien du syst`eme sans interaction `a une dimension qui se diagonalise par transform´ee de Fourier pour donner une relation de dispersion E(k) = −2tcosk (voir figure II.3). Si le potentiel chimique se trouve vers le milieu de la bande, il est raisonnable de lin´eariser la dispersion autour des deux points de Fermi kF,−kF ce qui donne pour l’hamiltonien
H = X
k,r=R,L
vF(ǫrk−kF)c†r,kcr,k (II.35)
avec la vitesse de Fermi vF = 2tsinkF et kF =πn. On a introduit les fermions qui se
avec la vitesse de Fermi vF = 2tsinkF et kF =πn. On a introduit les fermions qui se