2.4
Conclusion
— Pour les rouleaux transversaux et les rouleaux obliques l’effet stabilisant de l’écoulement parallèle prédomine, la dissipation visqueuse n’a alors pas d’effet appréciable. Le mode le plus instable sélectionné est alors celui des rouleaux longitudinaux stationnaires. — L’étude des valeurs des paramètres adimensionnés a permis de formuler l’hypothèse
simplificatrice d’un nombre de Prandtl infini, qui permet de simplifier le problème de trois à deux variables comme dans le problème classique de Rayleigh-Bénard. Dans ce cas l’intensité de la dissipation visqueuse est pilotée à travers le seul paramètre déstabilisant Λ= P e2Ge. Cette approximation a été validée numériquement par la comparaison avec le
cas sans approximation.
— Pour de faibles valeurs de la dissipation visqueuse le comportement instable est compa- rable à celui du problème de Rayleigh-Bénard. Au delà d’une certaine valeur la dissipation visqueuse a un effet fortement déstabilisant sur les rouleaux longitudinaux, associé à une augmentation du nombre d’onde critique. L’instabilité peut alors se produire même en l’absence de gradient de température imposé, voire en présence d’un gradient de température stabilisant.
— En l’absence de gradient de température imposé l’écoulement est la seule source de déstabilisation, qui peut alors se produire soit par l’instabilité hydrodynamique classique de Tollmien-Schlichting soit par déstabilisation thermique due à la production de chaleur interne induite par la dissipation visqueuse. Dans ce cas là et tant que le nombre de Prandtl est au moins de l’ordre de 102l’instabilité due à la dissipation visqueuse se produit pour des nombres de Reynolds bien plus faibles que pour l’instabilité de Tollmien-Schlichting. — L’étude des lignes de courant, isothermes et l’analyse énergétique nous renseignent sur
les mécanismes physiques mis en œuvre lors de la déstabilisation. Une stratification du champ de température apparaît pour des valeurs assez grandes de la dissipation visqueuse. L’analyse énergétique met en évidence la transition d’une instabilité dominée par le gradient de température imposé à une instabilité dominée par la dissipation visqueuse.
Chapitre
3
Stabilité faiblement non linéaire des
écoulements de RBP et RBC d’un
fluide Newtonien
Dans le chapitre précédent nous avons étudié la stabilité linéaire d’un fluide Newtonien en configuration de RBP ou RBC face à des perturbations d’ordre . Cette analyse de stabilité linéaire nous a permis de déterminer le seuil de la stabilité marginale face à une perturbation infinitésimale. En revanche lorsque l’on s’éloigne du seuil l’amplification des perturbations rend nécessaire la prise en compte des non linéarités. Ces effets non linéaires peuvent avoir une influence non négligeable sur la stabilité du problème, et produire des comportements particuliers lors du développement des instabilités.
Afin de déterminer la nature et l’évolution de l’instabilité nous avons recours à une analyse de stabilité faiblement non linéaire au voisinage du seuil de l’instabilité. Le formalisme utilisé pour décrire la dynamique non linéaire au voisinage du seuil est celle des équations d’amplitude. La méthodologie de l’analyse faiblement non linéaire a été développée en premier lieu par Landau [35]. L’équation générale d’amplitude dite de Ginzburg-Landau a été développée en premier lieu dans le cadre de la supraconductivité [81]. Elle a été développée par analogie purement formelle en mécanique des fluides par Stuart [72],[73] et Watson [83] pour les écoulements parallèles de fluides cisaillés (équation de Stuart-Landau). Dans le cas du problème de Rayleigh-Bénard l’équation de Ginzburg-Landau a été établie par Newell, Whitehead [47], et Segel [71].
Dans ce chapitre on reprend la configuration du second chapitre, on s’intéresse maintenant à l’influence des effets faiblement non linéaires (d’ordre 2) sur la stabilité de l’écoulement, plus
particulièrement sur l’évolution des flux conductifs et convectifs ainsi que sur le nombre de Nusselt N u qui évalue le taux de transfert de chaleur du système. L’analyse linéaire menée au chapitre 2 pour la même configuration ayant montré que les effets de la dissipation visqueuse sont d’autant plus importants que le nombre de Prandtl est grand, on se placera dans ce chapitre dans l’approximation d’un nombre de Prandtl infini.
3.1
Formulation mathématique du problème non linéaire
Les équations gouvernant le problème sont adimensionnées à l’aide des grandeurs sans dimen- sion suivantes : (x, y, z) =(x ∗ , y∗ , z∗ ) h , t = κ h2t ∗ , u= h κu ∗ , P = h 2 µκP ∗ , T =(T ∗− T1)βgh3 νκ
dans lesquelles u∗= (u∗, v∗, w∗), T∗et P∗sont respectivement le vecteur vitesse, la température et la pression sans dimension. κ est la diffusivité thermique, ρ0 est la masse volumique de
référence, ν est la viscosité cinématique, µ est la viscosité dynamique, β est le coefficient de dilatation thermique du fluide et g est le module de l’accélération de la gravitation. Les équations adimensionnées pour la conservation de la masse, de la quantité de mouvement, et de l’énergie peuvent s’écrire [3] : ∇.u = 0 (3.1) ∂u ∂t + (u.∇)u = P r −∇P + T ez+ ∇2u (3.2) ∂T ∂t + u.∇T = ∇ 2T + 2GeD ijDij (3.3)
avec Dij=12(ui,j+ uj,i) le tenseur des contraintes.
Les conditions aux limites pour la température peuvent s’écrire :
T = Ra en z = 0 et T = 0 en z = 1 (3.4)
Les conditions aux limites pour le champ de vitesse pour l’écoulement de Poiseuille sont :
u= 0 en z = 0; 1 (3.5)
et pour l’écoulement de Couette :
u= −P e exen z = 0 et u = P e exen z = 1 (3.6)
Les trois paramètres sans dimension qui apparaissent dans les équations 3.1)-(3.3 sont le nombre de Prandtl, le nombre de Péclet, et le nombre de Gebhart définis respectivement par :
P r =ν κ, P e = U0h κ , Ge = βgh C
où U0est la vitesse maximale adimensionnée du profil de l’écoulement dans la conduite pour
l’écoulement de Poiseuille, et le module de la vitesse dimensionnée des parois mobiles supé- rieures et inférieures pour l’écoulement de couette et C est la chaleur spécifique du fluide. Une solution de base stationnaire du système d’équations 3.1-3.3 pour les champs de vitesse et de température est donnée par :
ub(z) = P e f (z) ex (3.7)
3.1. Formulation mathématique du problème non linéaire 51 avec les fonctions f (z) et g(z) définies par :
f (z) = 4z(1 − z) g(z) =8
3(−z + 3z
2−4z3+ 2z4)
pour l’écoulement de Poiseuille, et
f (z) = 2z − 1 g(z) = 2z (1 − z)
pour l’écoulement de Couette. On notera que d’après l’expression (3.8) la température de base est la résultante de deux contributions : celle due au gradient de température extérieur imposé et celle due à la dissipation visqueuse. Cette dernière disparaît en l’absence d’écoulement (P e = 0). Afin de mener à bien l’étude de stabilité de cet écoulement de base, on lui superpose une perturbation infinitésimale : T = Tb(z) + θ(x, y, z, t) u= ub(z) + U(x, y, z, t) P = Pb(x, z) + p(x, y, z, t) (3.9)
La perturbation du champ de vitesse U a pour composantes cartésiennes (u, v, w). Les perturba- tions sont développées sous forme de modes normaux :
U= Un(z)eikxx+ikyye(σ −iω)t
θ = θn(z)eikxx+ikyye(σ −iω)t
p = pn(z)eikxx+ikyye(σ −iω)t
(3.10)
où k = kxex+ kyeyest le vecteur d’onde, σ est le taux de croissance temporel de la perturbation
et ω est la fréquence d’oscillation.
Les équations générales linéarisées qui régissent le problème s’écrivent donc développées en modes normaux : i kxun+ i kyvn+ Dwn= 0 (3.11) 1 P r−iω un+ wnP e f 0 (z) + i kxP e f (z) un − (D2−k2) un+ i kxpn= 0 (3.12) 1 P r{−iω vn+ i kxP e f (z) vn} −(D 2−k2) v n+ i kypn= 0 (3.13) 1 P r{−iω wn+ i kxP e f (z) wn} −(D 2−k2) w n+ Dpn−θn= 0 (3.14)
−iω θn+i kxP e f (z) θn−Ra wn+Ge P e2g0(z) wn−2Ge P e f0(z) (Dun+i kxwn)−(D2−k2) θn= 0 (3.15)
Ces équations forment un problème aux valeurs propres généralisé dont la résolution a été traitée au chapitre 2. Il a été déterminé que les rouleaux longitudinaux sont le mode sélectionné pour la convection. Dans ce cas les paramètres Λ = P e2Ge et P r sont les seuls paramètres influant
linéaire au voisinage du seuil critique.