Les maillages sont le support structurel des simulations numériques par éléments finis. D'une part, des éléments trop grands peuvent dégrader la précision des résultats, ou complexifient les conditions de convergence d'interaction entre plusieurs éléments. Mais, d'autre part, la diminution de la taille des éléments du maillage entraine une augmentation du nombre d'éléments utilisés par la simulation. Cela influence directement la durée et les ressources informatiques nécessaires. Ainsi, un choix inapproprié entre la précision et le nombre d'éléments induit des erreurs ou des temps de convergence importants.
L’étude de l’effet mécanique de la vascularisation sur le foie au travers des simulations numériques requiert un maillage du foie qui contient la géométrie de la vascularisation, ainsi qu’un nombre d’éléments aussi faible que possible. Même si les géométries du foie et de la vascularisation sont à l’échelle macroscopique, la différence de taille entre l’organe complet et sa sous-structure anatomique rend difficile la génération d'un maillage commun permettant de traiter numériquement ces interactions. L’utilisation de la BFA permet d’atteindre une géométrie ayant la précision de la vascularisation pour un maillage dépassant les 5 millions d’éléments, ce qui est trop important pour que le temps de résolution reste faible.
Pour cela nous avons développé un algorithme qui optimise le nombre d'éléments générés tout en garantissant la précision des géométries à fusionner. Il s’appuie sur une application successive de raffinements locaux.
Validé sur des cas de test simples avec des indicateurs prédéfinis, le procédé présente un gain important en terme de nombre d’éléments pour des géométries diffuses. Appliqué à 20 géométries de foies avec leurs vaisseaux hépatiques, l’algorithme crée en trois itérations un maillage simple, ayant la précision géométrique de la vascularisation et un nombre d’éléments réduit. Il permet ainsi de produire un maillage présentant la précision de la BFA, mais avec une moyenne de 300.000 éléments au lieu de 5 millions.
La construction d’un maillage adapté aux simulations en éléments finis pour l’étude de l’effet mécanique de la vascularisation peut ainsi être automatisée. Bien que fastidieuse, la création d’un maillage approprié est essentielle à la réalisation d’analyses numériques. Le présent algorithme permet ainsi de construire un support précis et léger pour les analyses à venir, à partir de géométries de vascularisation et de foie distinctes.
Introduction
Contexte
Rappelons que le foie est un organe complexe constitué de plusieurs parties qui interagissent entre elles. Le flux sanguin provenant du gros intestin par la veine porte traverse la paroi vasculaire pour stocker les nutriments issus de la digestion [204], [205]. Le comportement poreux du tissu hépatique lui permet d'absorber le sang et les nutriments provenant de la veine porte puis de les transmettre via les veines sous-hépatiques vers le tronc principal de la veine cave. Ce mécanisme de filtre se fait en parallèle d’un approvisionnement en sang riche en oxygène provenant de l’artère hépatique correspondant à un tiers de l’apport total du sang dans le foie (Figure 47).
Figure 47 : Anatomie du foie incluant les lobes droit et gauche séparés par le ligament falciforme extrait de [206].
Les modèles numériques du foie développés actuellement [108], [182], [206] pour certaines applications chirurgicales ont pour objectif de permettre une mise à jour en temps réel de la position des nœuds du maillage, soit plus de 25 fois par seconde. Ils s'appuient pour
cela sur des méthodes de simplification [90], [109], [112], [182]. Afin d’obtenir une solution suffisamment rapidement, ils intègrent des propriétés de matériaux homogènes, isotropes et linéaire-élastiques.
Les propriétés mécaniques du tissu hépatique, qui constitue la majeure partie du foie, ont été initialement étudiées par Carter et al. en 2001 [147] via des indentations effectuées au cours d’opérations de chirurgie mini-invasives. Une grande variabilité inter-patients, en fonction de leur santé, de leur âge ou de leur sexe a été rapidement observée. À cela s’ajoute une variabilité intra-patient plus faible, observable pour différentes localisations, profondeurs, et vitesses d'indentation. La modélisation de la viscosité et de l'hyperélasticité du foie (cf.
Chapitre III - I.4.2) a permis de simuler numériquement la variation de rigidité observée pour les changements de vitesse et de profondeur d’indentation. Mais la variation des propriétés en fonction de la localisation n’est actuellement pas prise en compte dans les modèles numériques.
Figure 48 : Reconstructions 3D après une phase de segmentation des trois arbres vasculaires (a) de l’artère hépatique (b), de la veine porte (c) et de la veine cave (d) produites par Debbaut et al. L’image (a) représente tous les vaisseaux sanguins qui permettent d’obtenir le modèle anatomique utilisé dans [176].
Depuis ces premiers travaux, des modèles plus complexes [166] ont été développés pour simuler le comportement du foie, bien qu’ils soient rarement intégrés en tant que tels dans des simulateurs temps-réels en raison de l'augmentation du temps de calcul qu’ils induisent.
La structure hépatique intègre trois vascularisations qui vont d’une échelle macroscopique à une échelle microscopique. La Figure 48 représente les trois arbres vasculaires d’un foie : l'artère hépatique, la veine porte, et les veines hépatiques. Par des divisions successives de l’arbre vasculaire, les rayons des vaisseaux diminuent progressivement. De cette manière, les vaisseaux finissent par atteindre toutes les différentes régions du foie. Lorsque les vaisseaux atteignent des tailles microscopiques, leur effet mécanique devient partie prenante du comportement tissulaire hépatique, ce qui est pris en compte à travers la loi de comportement.
Kerdok et al. [129] abordent l'importance de l'irrigation sanguine dans l'étude mécanique des tissus hépatiques. En effet, le flux interne, tout comme les cellules constitutives du sang, rendent les microcapilaires plus rigides. Comme la densité tissulaire de ces derniers est très importante, ils influencent la rigidité globale et donc le comportement mécanique du tissu hépatique. De plus, comme l’apport en sang est principalement veineux, il présente une variation faible et la quantité de sang entrant et sortant de l’organe dans un intervalle de temps donné est identique. Ainsi, le fluide dans l’organe peut être considéré dans un état stationnaire. Ainsi, les tests in-vivo de caractérisation des tissus intègrent directement la rigidité induite par le sang.
Pour pouvoir effectuer une telle homogénéisation, c’est-à-dire pour prendre en compte une hétérogénéité par ses effets à une échelle plus macroscopique, il est nécessaire que l’élément source de l’hétérogénéité soit suffisamment petit pour être inclus dans l’élément considéré. Seul l’effet des micro-vaisseaux est pris naturellement en compte dans la loi de comportement mécanique. L’effet des vaisseaux macroscopiques reste quant à lui inconnu, et des études spécifiques doivent être menées pour déterminer leur effet sur le comportement mécanique global du foie.
Umale et al [133] ont mené la première étude permettant de déterminer l’effet de l’hétérogénéité induit par les veines hépatiques. Ils effectuent des tests de tractions uni-axiales sur les parois de vaisseaux sanguins pour en extraire leurs propriétés mécaniques. Ils obtiennent des modules d’élasticité de 0,62 ± 0,41 MPa, tandis que ceux mesurés par L.
Huwart et al. [144] se situent entre 2,24 ± 0,23 kPa pour les foies sains et 4,68 ± 1,61 kPa pour des foies cirrhosés in-vivo.
Cet écart de rigidité entre les parois des vaisseaux sanguins et le tissu hépatique est confirmé par Chatelin et al. [142] qui effectuent des mesures in vivo et non invasives par élastographie transitoire. Ils confirment l’existence d’une hétérogénéité tissulaire forte au sein de l’organe à l'échelle macroscopique, dont l’effet mécanique sur la rigidité d’ensemble reste inconnu.
Analyse de l’effet mécanique des structures hépatiques
Afin d'identifier l'effet mécanique exact de ces hétérogénéités, nous réalisons ici plusieurs études sur un modèle numérique de foie humain. Le maillage nécessaire à la création du modèle éléments finis (FE) correspond au foie 02 de la base de données publique de l’IRCAD [203] représenté avec son environnement (pancréas, veine cave, veine porte, tumeur, peau) dans la Figure 49. La géométrie utilisée est obtenue à partir de la segmentation d’une image scanner 3D d’un patient à l‘aide des algorithmes semi-automatiques développés par Soler et al. [207]. Ces algorithmes permettent de construire des maillages indépendants des structures hépatiques et veineuses. Celles-ci sont réunies dans un unique maillage à l’aide de l’algorithme de fusion développé au Chapitre II. Le résultat final permet un calcul de simulations fluides- structures.
Figure 49: Illustration anatomique du foie et de son environnement, servant de référence pour les études à venir
Afin de déterminer l’effet macroscopique de la vascularisation, nous allons intégrer celle-ci dans le modèle numérique du foie. La prise en compte de la paroi vasculaire en plus du fluide à l’intérieur complexifie la constitution du modèle. En effet, la paroi est une structure anisotrope, dont l’épaisseur et les propriétés mécaniques varient. Nous ne disposons pas aujourd’hui des informations physiologiques nécessaires à sa modélisation complète. Les études suivantes se placeront donc dans l’une des deux hypothèses suivantes :
• La paroi vasculaire est la source principale de la rigidité induite par le système vasculaire. Dans ce cas, les vaisseaux sanguins sont simulés comme une structure de section pleine de propriété équivalente à la paroi de la vascularisation. Ces conditions forment une borne supérieure de la rigidité que peut induire la vascularisation.
• L’épaisseur de la paroi vasculaire est faible, et la pression interne du fluide s’applique sur le tissu hépatique. Numériquement, nous simulerons ce cas par une paroi d’épaisseur nulle. Cela maximise l’effet de la pression veineuse sur le tissu hépatique, et à nouveau fournit une autre borne supérieure, plus fine, liée à l’effet de l’écoulement sanguin.
Nous allons premièrement traiter la vascularisation comme une structure de section pleine de rigidité égale à celle des parois. Nous étudierons la réponse numérique du modèle structure résultant lorsque soumis à des indentations. Les courbes force-déplacement extraites en pointes d’indenteurs seront comparées à des courbes issues d’expérimentations de la littérature [135]. Dans un second temps, une étude de modélisation du fluide sanguin nous permettra d’affiner les informations obtenues par l’étude de structure.