Les modélisations et les simulations sont de plus en plus utilisées de nos jours dans le but de réduire la durée de mise au point d’un procédé de compoundage ou de mise en forme. En effet, la modélisation permet d’obtenir rapidement, à moindre coût comparé à une campagne d’essais, des résultats complets ou locaux sur un procédé avec divers paramètres que l’on peut faire varier sans limite. Les résultats globaux ou locaux peuvent permettre de détecter des pics de température qui peuvent entrainer la dégradation rapide du polymère et affecter la qualité ou l’aspect final du produit. Ils peuvent également servir à comprendre et à adapter localement des zones de mélange afin de mieux disperser ou distribuer des charges. Par exemple, dans le cas du co-malaxeur, étudier l’impact précis des doigts de malaxage sur le mélange dispersif ainsi que sur l’échauffement global du système.
Les simulations fournissent donc une multitude de résultats. Néanmoins, il faut se poser des questions sur la pertinence de ces résultats et comment les analyser.
En effet, les résultats de chaque modélisation et chaque simulation sont dépendants de plusieurs points. En premier lieu, la taille de maille utilisée pour modéliser le système. Il faut garder à l’esprit que la taille de maille choisie impacte fortement le temps de calcul. On pourrait donc être tenté de choisir une taille de maille élevée, mais ceci engendrera des approximations sur le résultat final. Il faudra donc choisir, après avoir trouvé le rapport temps/précision souhaité, la taille de maille voulue et garder à l’esprit les erreurs à la solution qui en découlent. Il faudra également, dans un deuxième temps, considérer les approximations qui ont été faites dans le modèle. Comme nous l’avons vu dans ce cha- pitre, de nombreuses approximations sont réalisées, surtout pour les modélisations 1,5D et 2D. Il faudra donc évaluer l’impact de ces approximations et en tenir compte dans le dépouillement des résultats. Les résultats des simulations dépendent aussi fortement des paramètres choisis. Certains paramètres sont connus ou peuvent facilement être me- surés, comme les débits, les vitesses de rotation, la densité et la viscosité du polymère, mais d’autres paramètres comme le glissement à la paroi ou les coefficient de transfert thermique sont plus difficiles à estimer.
Dans la suite de ce manuscrit, nous présenterons le modèle que nous avons développé pour modéliser les écoulements dans le co-malaxeur. Ce modèle se basera sur les approxi- mations couramment réalisées dans le cas de la modélisation des écoulements dans les extrudeuses monovis (§1.3). Contrairement aux modélisations présentées précédemment (§1.4), notre modèle prendra en compte à la fois les doigts de malaxage et les oscillations de la vis. La résolution de ce modèle s’appuiera sur une méthode éléments finis, qui ap- portera des résultats, localement plus précis que les méthodes de type FAN mise en place précédemment. Nous verrons également les problèmes que peuvent amener la résolution d’équations de transport par éléments finis et proposerons des solutions pour limiter ce phénomène. Grâce à ce modèle et aux résultats que nous obtiendrons des simulations,
nous étudierons également l’impact de chaque spécificité du co-malaxeur sur l’écoulement et quantifierons les qualités de mélange des éléments du co-malaxeur.
Modèle mécanique et résolution
numérique de l’écoulement dans le
co-malaxeur
Sommaire
2.1 Les hypothèses simplificatrices . . . . 58 2.2 Le modèle mécanique . . . . 59 2.3 Implémentation . . . . 66 2.3.1 Formulation faible . . . 66 2.3.2 Conditions aux limites . . . 68 2.3.3 Organigramme du code . . . 70 2.4 Validation du modèle . . . . 72 2.4.1 Écoulement de Poiseuille entre plaques parallèles . . . 72 2.4.2 Ecoulement avec hauteur variant dans le chenal . . . 72 2.4.3 Ecoulement de Poiseuille avec continuité droite-gauche . . . 72 2.4.4 Convergence du code . . . 74 2.4.5 Comparaison 2D-3D au niveau des bagues de restrictions . . . 76 2.5 Prise en compte des oscillations et des doigts de malaxage . 77 2.5.1 La vitesse d’oscillation . . . 77 2.5.2 La prise en compte des doigts de malaxage . . . 89 2.5.3 Influence des doigts de malaxage sur l’écoulement . . . 91 2.5.4 Conclusion . . . 93
Dans ce chapitre, nous présenterons le modèle mécanique développé pour l’écoulement dans le co-malaxeur ainsi que les approximations réalisées et nous tenterons d’évaluer leur pertinence.
2.1
Les hypothèses simplificatrices
Comme nous l’avons vu dans la partie consacrée à la modélisation dans le chapitre Bibliographie, les écoulements dans les systèmes d’extrudeuses, en raison de leur géomé- trie, sont compliqués à modéliser. Pour cela, nous simplifierons également la géométrie du co-malaxeur et la présentons ici. La première simplification est le déroulement du che- nal. La géométrie des chenaux déroulés pour chaque élément étant déjà proposée par le constructeur comme nous l’avons vu précédemment (§1.2.1), nous nous appuyerons sur celle-ci. Dans le cas des extrudeuses monovis classiques, le chenal obtenu est rectangulaire et rectiligne. Cette approximation, qui dépend du rayon utilisé pour dérouler la géométrie, modifie la géométrie du chenal dans le cas où sa hauteur est non négligeable devant le rayon. Dans le cas du co-malaxeur MK30 du projet, la hauteur du chenal est de 5 mm et le rayon externe de 15 mm. Nous choisissons de dérouler la géométrie au niveau du diamètre externe, la géométrie du chenal est donc étirée au niveau du diamètre intérieur. Par exemple, pour un élément de mélange, dérouler le chenal de cette manière conduit à obtenir des chenaux avec de multiples interruptions de filets (Figure 2.1).
Figure 2.1 – Exemple de chenal déroulé pour un élément de mélange
De plus, comme nous l’avons vu (§1.2.1), les angles de filets des éléments peuvent être différents. Il n’est, par conséquent, pas possible d’obtenir un chenal rectiligne en dérou- lant la géométrie du co-malaxeur. Nous faisons donc le choix de considérer la géométrie de la vis telle qu’elle est et de la dérouler en "ouvrant" le cylindre extérieur le long d’une génératrice (Figure 2.2).
Dans notre configuration, le polymère sortant sur le côté gauche du maillage est rentrant sur le côté droit.
Le chenal ayant des angles de filet différents selon le type d’éléments, le repère choisi n’est pas aligné sur les filets de vis. La vitesse du fourreau est donc conservée telle quelle sur le repère ; nous avons donc la vitesse selon l’axe z, qui est la vitesse de rotation,
Figure 2.2 – Géométrie déroulée pour 2 éléments de transport et 2 éléments de mélange constante, et la vitesse selon l’axe x, qui est la vitesse décrivant l’oscillation de la vis. La vitesse relative du fourreau par rapport à la vis est donc :
~
VF = ~VF x+ ~VF z = Aωsin(ωt)~ex+
N
60πD ~ez (2.1)
avec A, l’amplitude de l’oscillation, N, la vitesse de rotation en tr/min, ω, la fréquence,
ω = 2π N/60, t, le temps et D, le diamètre extérieur. Sur le Buss MK30 du projet, A ≈
3,73 mm et D = 30 mm.