Conclusion

P⁻¹Ax = P−1b

P⁻¹A ≈ I (2.69)

L’application d’un pr´econditionneur laisse selon Shewchuk (1994) la solution du syst`eme initiale inchang´ee quelle que soit la matrice inversible P utilis´ee. L’application d’un pr´econditionneur bien choisi permet de diminuer le nombre d’it´erations n´ecessaire `a la convergence du syst`eme. En revanche, il est n´ecessaire de calculer la matrice P<sup>−</sup>1, ce qui correspond `a un surcoˆut dans la simulation. Le meilleur pr´econditionneur serait l’inverse de la matrice A, pour lequel le r´esultat serait obtenu `a la premi`ere it´eration du solveur choisit, mais son coˆut de construction rendrait inutile les gains g´en´er´es. Il existe un nombre important de pr´econditionneurs et choisir le meilleur d´epend du rapport entre la qualit´e de l’approximation et son coˆut d’utilisation. Le Jacobi, par exemple, prend seulement la diagonale de la matrice, mais un pr´econditionneur aussi simple requiert un nombre encore important d’it´erations. D’autres pr´econditionneurs sont plus pr´ecis, comme la factorisa-tion incompl`ete de Cholesky. En ignorant les plus faibles valeurs, il est possible d’acc´el´erer la factorisation et de garder une bonne approximation.

2.5 Conclusion

Dans ce chapitre, les fondements th´eoriques relatifs aux solides d´eformables ont ´et´e pr´esent´es. Ces th´eories viennent de la description de la m´ecanique des milieux continus. Ensuite, il a ´et´e question de l’int´egration num´erique du comportement des solides via la m´ethode des ´el´ements finis. Enfin, nous avons abord´e la question de l’´evolution d’un mod`ele num´erique au travers le temps. `A partir de cela, il est possible d’animer virtuelle-ment des objets de telle mani`ere `a ce que leur comportevirtuelle-ment soit similaire `a celui d’une exp´erimentation.

Les diff´erentes applications envisag´ees pour les probl`emes fluide-structure nous am`enent `a privil´egier les options suivantes :

– Des lois de comportements lin´eaires puisque les d´eformations induites par le fluide sont principalement de faible amplitude.

– Les tissus et organes `a mod´eliser sont complexes, h´et´erog`enes et anisotropes, ainsi des ´el´ements finis volumiques sont plus adapt´es que des ´el´ements surfaciques. – Le choix d’un mod`ele dynamique ou statique se fait sur la base de l’utilisation de la

simulation, dans le cadre de l’apprentissage, il convient de faire interagir en temps r´eel l’´etudiant avec le simulateur, ainsi un mod`ele dynamique est privil´egi´e, tandis que dans le cas de la planification un mod`ele statique peut ˆetre suffisant si l’int´erˆet du chirurgien se limite `a l’aspect final de l’op´eration.

– Dans le cadre d’une simulation dynamique, nous choisirons un mod`ele d’int´egration implicite qui, quoique plus lourd `a calculer, permet d’utiliser des pas de temps plus grands qu’une int´egration explicite. Cette approche permet ´egalement d’assurer une meilleure stabilit´e de la simulation.

La principale contrainte que nous avons pour effectuer le couplage entre fluide et so-lide est l’obtention de la matrice de compliance (inverse de la matrice de rigidit´e K). Cette matrice permet de d´efinir les relations de contacts entre les forces appliqu´ees et les d´eplacements du solide.

Chapitre

3

Simulation de fluides

3.1 Introduction . . . . 43 3.2 M´ecanique des fluides . . . . 43 3.2.1 Loi de comportement . . . . 44 Taux de d´eformation . . . . 44 Contraintes dans un fluide compressible . . . . 45 Contraintes dans un fluide incompressible . . . . 45 3.2.2 Equation de Navier-Stokes . . . .^´ 46 Adaptation de mod`eles . . . . 47 3.3 Simulation de fluide . . . . 48 3.3.1 Les fluides lagrangiens . . . . 48 3.3.2 Les fluides eul´eriens . . . . 50 3.3.3 Les fluides 2.5D ou quasi-3D . . . . 52 3.4 Mod`ele de fluide . . . . 52 3.4.1 Choix du mod`ele de fluide . . . . 53 Staggered-Grid . . . . 53 Topologies Arbitraires . . . . 54 3.4.2 Projection . . . . 55 3.4.3 D´ecomposition d’op´erateur . . . . 58 Op´erateur des forces . . . . 59 Op´erateur d’advection . . . . 59 Op´erateur de diffusion . . . . 61 3.5 Conclusion . . . . 62

3.1 Introduction

Ce chapitre est d´edi´e `a la simulation de fluide. Tout comme les solides d´eformables, les fluides sont soumis aux lois d´efinies par la m´ecanique des milieux continus. Une des premi`eres diff´erences qui existe entre les fluides et les solides est que ces derniers sont compos´es de mol´ecules qui sont ordonn´ees alors que les mol´ecules du fluide vont ˆetre libres de mouvement. De ce fait, une portion du solide va `a chaque instant ˆetre en contact avec les mˆemes autres portions du solide contrairement au fluide pour lequel le voisinage changera.

La formulation du comportement du fluide sera diff´erente de celui du solide, mˆeme s’il existe quelques similitudes. Dans ce chapitre, nous d´etaillerons les lois qui r´egissent le fluide. Puis il sera question des choix que nous avons effectu´es lors de l’int´egration du fluide dans la simulation.

Dans cette th`ese, nous cherchons `a mod´eliser un fluide de faible ´epaisseur compris entre deux surfaces. Ce fluide est un liquide plus ou moins visqueux dont les interactions avec les solides ont de l’importance. De plus, comme l’on cherche `a obtenir une simulation interactive, le choix du mod`ele sera restreint. La premi`ere simplification qui y est apport´ee est la nature incompressible du fluide qui permet de garantir la non-perte de volume au cours du temps. La seconde simplification concernera la topologie. Puis enfin, nous aborderons le choix num´erique qui permet la r´esolution du syst`eme d’´equations du fluide.