conclusion

Dans ce chapitre, nous ´etendons largement et de fa¸con tr`es fine la m´ethode d´evelopp´ee dans l’article de Brummelhuis, Cordoba, Quintanilla et Seco [6]. Nous proposons une m´ethode pour substituer la m´ethode Monte-Carlo, lorsqu’il s’agit d’´evaluer le risque des portefeuilles contenant des produits d´eriv´es. Notre m´ethode est assez g´en´erale, car elle marche pour une famille de Distribution de Laplace g´en´eralis´ee DLG<sub>α</sub>. Ainsi pour α donn´e, nous proposons un intervalle dans lequel on choisira la VaR. Pour r´ealiser cette m´ethode, nous avons utilis´e des m´ethodes asymptotiques et d’autres notions math´ematiques assez fines. Aussi, `a la fin de ce chapitre, pour diff´erentes estimations du terme erreur, nous proposons un test num´erique pour illustrer notre m´ethode analytique et notre algorithme. En comparant notre m´ethode avec la m´ethode Monte Carlo, on s’aper¸coit que le temps d’execution de la m´ethode Monte Carlo est

2.7. conclusion

tr`es ´el´ev´ee. Par exemple pour 10000 simulations, le temps d’ex´ecution de la VaR Monte Carlo est plus de 700 fois sup´erieure au temps d’´ex´ecution de notre VaR analytique. En utilisant Matlab, on a aussi eu besoin, dans nos algorithmes, de la m´ethode par dichotomie pour r´esoudre num´eriquement plusieurs ´equations non lin´eaires contenant des fonctions sp´eciales, telles les fonctions Γ-incompl`etes.

Chapitre 3

VaR et ES quadratique d’un

portefeuille d’actions log-elliptique

3.1 Introduction

G´en´eralement dans la litt´erature financi`ere, lorsqu’on veut estimer la VaR d’un portefeuille d’actions en utilisant les rendements logarithmiques, on utilise une approximation lin´eaire du rendement absolu du prix du portefeuille (comme par exemple en (1.66) du Chapitre 1, de la premi`ere partie de cette th`ese.).

Dans ce chapitre, nous ´etendons la notion d’approximation lin´eaire d’un portefeuille ne contenant que des actifs de bases ou actifs sous jacents (exemple : portefeuilles d’actions), en introduisant la notion de portefeuille ”quadratique” par une approximation de Taylor d’ordre 2 des facteurs de risque³² pour une variation de temps et de march´e assez petite. De plus on s’attelle `a ´evaluer la Valeur `a Risque d’un tel portefeuille sous l’hypoth`ese que le vecteur des rendements logarithmiques joints des prix des actions sur [0,t] suit une distribution elliptique not´ee N (µ, Σ, φ), o`u µ, Σ, φ sont respectivement le vecteur esp´erance, la matrice de variance-covariance de la distribution, et la fonction caract´eristique (pour d´etails cf. [13]). Nous montrons aussi que l’estimation de la VaR d’un tel portefeuille n´ecessite une approximation d’int´egrale sur une hypersph`ere (voire une hyperbolo¨ıde lorsque le portefeuille contient par exemple des actions achet´ees `a d´ecouvert), ce qui renforce l’int´erˆet math´ematique d’un tel chapitre. Rappelons ce-pendant que les int´egrales de mˆeme type ont ´et´e abord´es analytiquement pour servir l’estimation de la VaR par Brummelhuis, Cordoba, Quintanilla et Seco dans [6], mais avec l’hypoth`ese que le vecteur des facteurs de risque suivait une distribution gaussienne. Notons que dans [6], l’analyse math´ematique ´etait faite pour servir l’estimation de la VaR d’un type de portefeuille ∆ − Γ − Θ 33, bien connu dans la litt´erature financi`ere. Notons aussi que l’approximation quadratique du rendement absolu des portefeuilles a ´et´e l’objet de plusieurs publications (mais ceux-ci ´etaient faits pour des Portefeuilles contenant des produits d´eriv´es). Pour plus de d´etails, nous renvoyons le lecteur entre autres `a Cadenas al.[9](1997), Albanese, Jackson, Wiberg [1], Glasserman, Hei-delberger et Shahabuddin [21]. Aussi, on se sert d’une approche num´erique extraite de Genz [17] 2003, pour proposer une m´ethode num´erique qui nous permettrait d’estimer la Valeur `a Risque pour des portefeuilles d’actions (mˆeme s’il est clair que certaines m´ethodes et techniques analy-32des exemples des facteurs de risques qui sont souvent utilis´es dans la litt´erature financi`ere sont les rendements logarithmiques des actions, dans le cas ou on travaille avec des actions.

tiques des chapitres 2, 3 et 4 de la deuxi`eme partie de cette th`ese, sont applicables pour estimer la VaR d’un portefeuille quadratique de sous-jacents (i.e actions) tel que nous l’introduisons).

Le reste de ce chapitre est organis´e comme suit : dans la section 2, nous introduisons la notion de portefeuille quadratique d’actions dˆu `a l’approximation de Taylor d’ordre 2, avec l’hypoth`ese que le vecteur des rendements logarithmiques suit une distribution elliptique. Dans la section 3, on montre que le probl`eme de l’estimation de la VaR pour un portefeuille quadratique se r´eduit `

a l’approximation d’une int´egrale sur une hypersph`ere Sn−1, voire sur une hyperbolo¨ıde<sup>34</sup>, qui sont des sous vari´et´es de R<sup>n</sup> de codimension 1. Dans la section 4, on utilise des techniques d’in-t´egration sur une hypersph`ere dues `a Alan Genz [17] (2003), pour donner une approximation de notre int´egrale. Dans la section 5, nous proposons en illustration de notre m´ethode, une ap-plication en choisissant comme exemple de distribution elliptique, la multivari´ee t-Student pour estimer la VaR. On s’aper¸coit que sous l’hypoth`ese de la Student, l’´equation obtenue qui permet de retrouver la VaR, s’exprime avec des fonctions sp´eciales, telle la fonction hyperg´eom´etrique. Pour illustration, on utilise aussi la distribution gaussienne pour estimer la VaR d’un portefeuille quadratique d’actions, tel que nous l’avons introduit.

3.1.1 Approximation quadratique d’un portefeuille d’actions

Un portefeuille contenant n actifs distincts est regard´e comme un vecteur `a n composantes θi repr´esentant le nombre du i-`eme instrument dans le portefeuille. Le prix d’un portefeuille contenant n actifs sous-jacents distincts ³⁵ est donn´e par :

P (S(t), t) =

n

X

i=1

θ_iS_i(t)

avec S(t) = (S1(t), S2(t), · · · , Sn(t)) et le rendement absolu du portefeuille est

P (S(t), t) − P (S(0), 0) = n X i=1 θ_i(S_i(t) − S_i(0)) = n X i=1 Si(0) · θi· (^Si(t) Si(0)^{− 1). (3.1)}

Si on utilise les rendements absolus, ou des rendements relatifs, alors il est clair qu’on obtient un portefeuille lin´eaire. Mais lorsqu’on travaille en temps continu pour des petites variations de temps, il serait n´ecessaire d’utiliser les rendements logarithmiques comme facteurs de risque. Par d´efinition, le rendement logarithme sur un intervalle de temps [0, t] est d´efini comme suit :

log(S_i(t)/S_i(0)) = η_i(t). (3.2)

Si on remplace dans (3.1), Si(t)/Si(0) par sa valeur en (3.2), on obtient : S_i(t) − S_i(0) = S_i(0)(^Si(t)

S_i(0) ^{− 1) = Si(0)(exp(ηi(t)) − 1), (3.3)} 34

lorsqu’on traite un portefeuille d’actions, contenant des actions ach´et´ees `a d´ecouvert.

3.1. Introduction

d’o`u

S(t) = (S₁(0)exp(η₁), . . . , S_n(0)exp(η_n)).

Or pour des variations assez petites du rendement ηi, l’utilisation de l’approximation de Taylor `

a l’ordre 2 de la fonction exp(ηi(t)) appliqu´e en ηi au voisinage de z´ero implique que

exp(η_i(t)) − 1 ≈ η_i(t) +^ηi(t)

2

2 ^{. (3.4)}

Si on remplace 3.4 dans3.3et si on se sert de3.1 on obtient :

P (t, S(t)) − P (0, S(0)) = n X i=1 Si(0).θi.(exp(ηi(t)) − 1) = n X i=1 S_i(0)θ_i(η_i(t) + ^ηi(t) 2 2 ^{). (3.5)}

Sachant que la Valeur `a Risque qu’on notera V aR_α mesure le montant minimum que le porte-feuille peut perdre avec un certain seuil de probabilit´e not´e α, math´ematiquement elle v´erifie l’´equation suivante :

P rob{|P (S(t), t) − P (S(0), 0)| ≤ V aR_α} = α. (3.6) Or dans un monde de perte on a que :

|P (S(t), t) − P (S(0), 0)| = −P (S(t), t) + P (S(0), 0), d’o`u

P rob{P (S(t), t) − P (S(0), 0) ≥ −V aR_α} = α. (3.7) Si on suppose de plus que le vecteur constitu´e des rendements logarithmiques joints η = (η1, η2, . . . , ηn) suit une loi de distribution multivari´ee elliptique admettant pour densit´e h(x). En posant α_i = S_i(0)^θi 2 ≥ 0, on a l’expression suivante : P rob{ n X i=1 S_i(0)θ_i(η_i(t) + ^ηi(t) 2 2 ^{) ≥ −V aRα} = α.} Aussi en utilisant intuitivement la relation suivante :

ηi(t) +^ηi(t) 2 2 ⁼ 1 2^{((ηi(t) + 1)} 2− 1), (3.8) on obtient P rob{ n X i=1 S_i(0).^θi 2^{(ηi(t) + 1)} 2) ≥ −V aR_α+ p X i=1 α_i} = α. (3.9)

Supposons que η = (η₁, η₂, · · · , η_n) suit une loi distribution multivari´ee elliptique admettant comme fonction densit´e h(x). En posant X = (η1+ 1, . . . , ηn+ 1) on a que

n

X

i=1

α_i(η_i(t) + 1)² = X Λ X^t= (X, Λ X),

Aussi une des propri´et´es sur les distributions elliptiques implique que X = (η₁+1, . . . , η_n+1) est une distribution elliptique comme combinaison lin´eaire de η, avec X ∼ N (µ + 1, Σ, φ⁰). Ainsi, La fonction densit´e de la loi de X est h1(x) = h(x − 1) et µ⁰ = (µ1+ 1, · · · , µn+ 1) = µ + 1 est le vecteur esp´erance de X. L’´equation (3.9) s’´ecrit :

P rob{(X, Λ X) ≥ k} = α, (3.10)

o`u k = −V aRα+Pn

i=1αi = ^{P (0)}₂ − V aR_α. Si on suppose que k > 0, alors la valeur `a Risque du portefeuille devra ˆetre inf´erieure `a P (0)/2 pour un horizon fix´e correspondant `a l’intervalle de temps[0, t], ce qui semble raisonnable pour des tr`es petites variations des rendements logarith-miques.

Remarque 3.1.1 Dans ce chapitre, on consid`ere une approximation quadratique des rende-ments logarithmiques, pour introduire la notion de portefeuilles quadratiques ne contenant que des sous-jacents, autrement dit ne contenant pas de produits d´eriv´es. L’utilisation d’un por-tefeuille ne contenant que des actions n’est qu’une illustration, car on pourrait consid´erer un portefeuille contenant d’autres sous-jacents, comme par exemple les taux d’´echanges de diff´ e-rentes devises.

3.1.2 Interˆet d’une approximation quadratique

Dans cette section, on va mettre en exergue deux tableaux, qui nous permettront de com-prendre pourquoi une approximation quadratique pourrait ˆetre pr´ef´er´ee `a une approximation lin´eaire, lorsqu’il s’agira d’estimer la VaR d’un portefeuille d’actifs de bases (i.e actions).

Nous consid´erons un portefeuille contenant des actions, ainsi le prix du portefeuille `a l’instant t, est donn´e par :

Π(t) =

11

X

i=1

θ_iS_i(t).

o`u les θi sont r´eels. Les prix des diff´erents actifs du portefeuille du CAC 40 consid´er´e ci-bas, sont donn´es dans le tableau suivant :

– Portefeuille contenant des actions achet´ees `a d´ecouvert.

Table I11 : Donn´ees de 11 actions distinctes du CAC40.

k Actions S_k(0) volatilit´e θ_k 1 Action-BNPPARIBAS 39.75 42.13 -20 2 Action-BOUYGUES 27.30 41.87 -40 3 Action-CAP GEMINI 24.00 66.36 -70 4 Action-CREDIT AGRICOLE 14.80 37.41 -80 5 Action-DEXIA 9.38 45.42 -90 6 Action-LOREALL 62.90 37.07 40 7 Action-SOCIETEGENERALE 64.00 42.54 30 8 Action-TF1 22.02 44.10 -60 9 Action-THOMSON 17.13 57.96 -80 10 Action-VIVENDI 17.00 57.03 50 11 Action-AGF 19.00 61.92 90