long de la mèche et propose un modèle analytique pour expliquer l’allure de la courbe obtenue. Dans ce modèle, la déflexion causée par une force appliquée en un endroit donné de la mèche est la somme de deux contributions : l’enfoncement du crin (dépendant de la tension et de la longueur de la mèche) et la flexion de la baguette (dépendant de ses propriétés mécaniques et géométriques). Ce modèle s’accorde avec l’expérience dans les deux tiers inférieurs de l’archet, mais s’avère insuffisant à proximité de la pointe. De plus, il n’explique pas la non-linéarité de la réponse statique constatée expérimentalement. Bien que ces observations laissent entrevoir un comportement statique non trivial, celui-ci n’a pas été analysé plus en profondeur.
1.5 Conclusion
L’évolution historique de l’archet a été examinée. Elle suggère que l’archet moderne, dont la géométrie et le bois constitutif privilégié sont restés inchangés depuis deux cents ans, est un compromis abouti. Néanmoins, l’analyse du discours des archetiers révèle que le choix du bois et la fabrication d’une baguette laissent une latitude de réglage, dont dépendent les qualités de jeu et sonores a posteriori. En dépit des outils d’aide à la facture existants à ce jour, le réglage d’un archet dans cette optique requiert toujours autant d’expérience de la part de l’archetier, comme en témoignent ces propos de Charles Espey [37] :
« (...) A bow during its construction cannot be played and a maker must have the techniques and sensitivity to evaluate the stick as he is working it down. (...) By trial and error the maker learns to sense the things the player needs from a completely different frame of reference. »
Cet aspect, bien qu’il soit mentionné dans plusieurs études scientifiques, n’a pas encore fait l’objet d’une analyse spécifique. La précontrainte, conférant à l’archet un comporte-ment non-linéaire sensible à la géométrie initiale, suggère le recours à une modélisation appropriée pour mieux comprendre le travail de l’archetier. Cette thèse essaye d’œuvrer dans ce sens, en vue de proposer, à terme, de nouveaux outils d’aide à la facture.
Chapitre 2
Modèle statique 2D
Ce chapitre, rédigé en langue anglaise, est un article à paraître dans le Journal of the Acoustical Society of America [4]. Il présente un travail de modélisation visant à rendre compte du comportement statique non-linéaire de l’archet dans le plan. Le mo-dèle numérique développé ici est basé sur des éléments finis de poutre 2D en formulation corotationnelle, afin de prendre en compte les non-linéarités géométriques. Les détails de cette formulation sont présentés dans l’annexe B. Si la prise en compte d’une géo-métrie de baguette quelconque justifie sa discrétisation en éléments finis, la description de la mèche, en revanche, peut se faire analytiquement dans le cadre des hypothèses retenues (notamment, l’approximation par un crin équivalent ayant une raideur longi-tudinale uniquement). Ainsi, l’interaction entre la baguette et la mèche est exprimée de façon explicite dans la résolution du problème. À cette fin, il est nécessaire d’appliquer à la baguette une force suiveuse et dont l’amplitude varie avec les déplacements. Les développements correspondants sont détaillés dans les sections B.6 et B.7, respective-ment. Les simulations effectuées portent sur un archet « standard », dont les propriétés mécaniques et géométriques sont définies à partir de la littérature. Les caractéristiques générales du comportement de l’archet sont examinées, puis l’attention est portée sur les réglages du cambre et de la tension. On montre notamment que la quantité de cambre a une forte incidence sur la souplesse de l’archet sous tension. Des compléments à l’ar-ticle, rassemblés en fin de chapitre, visent à mieux identifier l’origine des non-linéarités observées.
34 2 Modèle statique 2D
STATIC MODEL OF A VIOLIN BOW: INFLUENCE OF CAMBER
AND HAIR TENSION ON MECHANICAL BEHAVIOR
F. Ablitzer, J.P. Dalmont, N. Dauchez
Abstract: Experienced bow makers empirically know the influence of wood,
tapering, and camber on the playing and tonal qualities of a bow. However, the way each parameter affects the bow mechanical behavior is not clearly established. An in-plane finite element model is developed to highlight the link between the adjustable design parameters and the mechanical behavior of a bow. This model takes into account geometric nonlinearity as well as compliance of the hair. Its validity is discussed from measurements on a bow. Results from simulations are compared to experimental results from previous studies. The consequences of adjusting hair tension and camber are then investigated.
2.1 Introduction
In spite of an extensive scientific literature about the violin [30, 64], few studies are exclusively devoted to the bow. However, experienced players attach almost as much importance to the choice of a bow as to the choice of a violin. They generally asses the quality of a bow in terms of playing and tonal qualities. Playing qualities refer to the control of bow in playing, tonal qualities to the influence on the tone. The question of a link between physical properties and quality of bows was addressed by several authors [97, 77, 13, 14, 26, 33, 83, 58]. Static properties such as total mass, mass distribution, and bending stiffness have generally been assumed to affect the playing qualities, while dynamic properties such as hair and stick modes would relate to the tonal qualities [13, 14, 59]. In most studies, some static and dynamic properties were measured on different bows with various degrees of quality. Despite the seeming simplicity of the bow compared to the violin, these studies showed that it is not yet possible to predict the quality of a bow by measuring a set of physical properties. However, some authors pointed out the plausible existence of an acceptable range for certain characteristics, out of which the bow would be considered as not suitable for playing [77, 14].
When manufacturing a bow stick, the bow maker works with three main parameters: wood, tapering, and camber [89]. Regarding wood, high quality modern bows are made of pernambuco (Caesalpinia Echinata), a Brazilian wood with high specific Young’s mod-ulus and low damping. However, this species has become rare and expensive. Tapering denotes the gradually decreasing thickness along the stick. In general, the maker adjusts the taper of the bow to reach the desired total mass for a given wood density. Camber is the concave curvature of the stick without hair tension. It is adjusted by heating a short portion of the stick over a flame and bending it until it cools down. Once a bow is finished, the only possible adjustment by the player is the hair tension.
This paper aims at highlighting the link between the adjustable design parameters and the mechanical behavior of a bow. Emphasis is put on camber and hair tension because both can be adjusted on a finished bow. For this purpose, an in-plane finite