Résumé
Au cours de ce mémoire, nous avons expliqué les nouvelles méthodes qu’on a développées pour s’attaquer à la recherche de la solution exacte d’une série de modèles sigma invariants conformes. Ces modèles sigma sont caractérisés par une symétrie globale de supergroupe OSp(2S+2|2S) ou GL(N|N) et par l’absence d’une symétrie d’algèbre de courant. De plus, ils admettent une description en tant que limite continue de certains modèles discrets qui, dans des formalismes différents, peuvent être vus soit comme gaz de boucles denses qui s’intersectent soit comme chaînes quantiques. Dans les deux cas, l’algèbre des matrices de transfert du mo-dèle discret admet une interprétation en tant qu’algèbre des invariants du supergroupe correspondant.
La correspondance entre l’algèbre de symétrie du modèle discret et continu est mieux maitrisée techniquement lorsque les conditions de bord sont ouvertes et ne brisent pas la symétrie de supergroupe. L’analyse dé-taillée de l’action de la symétrie globale OSp(2S+2|2S) et de l’algèbre des invariants sur les états de la chaîne quantique, l’analyse harmonique de la supersphère S2S+1|2S et l’analyse numérique du spectre de l’hamil-tonien de la chaîne sur toute la ligne critique nous amènent à conjecturer le spectre exact (3.38) de la théorie conforme avec bord du modèle sigma sur la supersphère S2S+1|2S et de proposer une expression explicite pour sa fonction de partition (3.39, 3.40, 3.43, 3.45).
Dans l’effort de calculer la fonction de partition exacte du mo-dèle sigma sur la supersphère S2S+1|2S une connexion avec les modèles de Gross-Neveu avec symétrie OSp(2S+2|2S) a été découverte. Cette connexion s’exprime par une égalité entre la fonction de partition conjec-turée du modèle sigma S3|2 à couplage fort et la fonction de partition du modèle de Gross-Neveu OSp(4|2)dans la limite de couplage faible. Dans un formalisme différent, cette égalité a été démontrée récemment pour tout S dans [51]. La connexion entre les deux modèles n’est comprise que pour des conditions de bord ouvertes.
On a introduit un modèle de boucles, dont l’algèbre des matrices de transfert est l’algèbre de Brauer avec paroi, pour discrétiser les modèles sigma superprojectifs. On a montré que la représentation la plus simple du modèle de boucles est décrite, dans la limite continue, par la théorie conforme des fermions symplectiques, qui est le premier N =1 représen-tant de la série des modèles sigma superprojectifs CPN−1|N. Le résultat principal est la découverte d’une ligne de points critiques à c = −2 pour le modèle de boucles et une évidence numérique qui suggère fortement que sa limite continue est décrite par les modèles sigma superprojectifs
CPN−1|N. Les études numériques ont montré que les exposants à l-pattes du modèle de boucles se comportent de façon différente dans des condi-tions de bord ouvertes et périodiques.
Perspectives
Au delà de l’intérêt “anecdotique” d’exhiber de nouvelles classes d’uni-versalité - en particulier dans le cas des polymères denses où il y a po-tentiellement des applications physiques intéréssantes - notre approche a permis de mettre en place une façon systématique d’attaquer les symé-tries des modèles sigma invariants conformes à partir de la théorie des représentations des algèbres sur le réseau. Nous espérons qu’à terme, celà conduira à une compréhension complète des symétries à la limite conti-nue. Il est juste de mentionner ici que l’idée d’utiliser les modèles sur réseau pour comprendre les théories logarithmiques est poursuivie dans le contexte des modèles minimaux logarithmiques [39, 53, 62].
Dans l’immédiat, les perspectives de recherche sont les suivantes.
Conditions de bord différentes
Une direction importante à aborder dans la continuation directe de ce travail de thèse est l’étude des modèles discrets pour des conditions de bord différentes et, notamment, périodiques. Il n’est pas du tout clair à ce stade quels sont les deux types d’invariants dans la chaîne quantique de la sec. 3.3.3 qui correspondent aux algèbres chirales à gauche et à droite de la sec. 3.2.2.
Théorie des représentations
Au cours de ce travail de thèse on a vu que l’algèbre des invariants des chaînes quantiques ouvertes considérées admet, dans la limite continue, une interprétation d’algèbre chirale du modèle sigma sur l’anneau. Cette algèbre chirale conserve sa structure sur toute la ligne critique. Elle peut, donc, être élucidée dans la limite de couplage faible. Il est tentant d’espé-rer que le développement de la théorie des représentations de cette algèbre chirale permettra d’intégrer exactement les théories conformes des mo-dèles sigma. Ceci était le cas des momo-dèles sigma de Wess-Zumino-Witten, où la théorie des représentations des algèbres de Kac-Moody joue un rôle essentiel ou, encore, des modèles minimaux, où la connaissance de la théo-rie des représentations de l’algèbre de Virasoro suffit pour calculer toutes les fonctions de corrélations.
On peut commencer la recherche dans cette direction par l’étude de la forme la plus générale des invariants chiraux à gσ → 0, où la limite est définie comme dans la sec. 3.2.2. Ceci permettra de construire un an-satz pour évaluer le développement à tous les ordres du tenseur énergie impulsion dans les champs libres à gσ →0.
Conclusion générale 129
Dualité avec les modèles de Gross-Neveu
On est naturellement intéressé à approfondir la connexion entre les mo-dèles sigma sur les supersphères S2S+1|2S et les modèles de Gross-Neveu avec symétrie OSp(2S+2|2S)au delà des conditions de bord ouvertes et, notamment pour des conditions de bord périodiques. La recherche dans cette direction s’annonce difficile, car le modèle de Gross-Neveu est non-compact, par contraste avec le modèle sigma. En plus, dans des conditions de bord périodiques la symétrie globale du modèle de Gross-Neveu au point libre est chirale, c’est à dire il existe une action globale à gauche et à droite. Cet effort vaut pourtant la peine, car la récompense s’annonce une description du modèle sigma à couplage fort par un modèle de Gross-Neveu à couplage faible et inversement, un exemple de dualité qui peut jouer un role crucial dans la conjecture AdS/CFT [51].
Théories conformes avec instantons
Le cercle a un groupe d’homotopie fondamental non-trivial. La consé-quence est l’existence des instantons dans la théorie conforme du bo-son compact. Dans des termes plus adaptés au bobo-son compact, le spectre contient des opérateurs de vertex avec charge magnétique. La charge ma-gnetique mesure la discontinuité du boson compact engendrée par une rotation dans le plan complexe autour de l’insertion de l’opérateur de ver-tex. Par contraste, le groupe fondamental des supersphères avec S>0 est trivial ! Il est important de comprendre mieux comment les opérateurs ma-gnétiques du boson sous-jacent sont stabilisés malgré tout dans le modèle sigma sur la supersphère.
Les charges instantoniques sont définies dans les modèles sigma sur les espaces projectifs CPn−1par la même logique [75]. Soit z(x)une solution classique de (2.14) pour des conditions de bord telles que limr→∞|z(r, φ)| existe, où r, φ sont les coordonnées polaires du plan complexe. La charge instantonique m de la solution classique est définie par
lim
r→∞z(r, φ) =eimφz0,
où z0 est une constante. Les modèles sigma sur des superespace projectifs CPN−1|N sont des exemples nouveaux de théories conformes avec instan-tons. Le rôle du terme topologique dans ces théories n’est pas encore très bien compris.
Intégrabilité généralisée
Une autre direction de recherche possible est la généralisation des mé-thodes de la théorie des modèles intégrables en deux dimensions aux cas non-unitaires. Pour mettre en évidence le rôle de l’unitarité rappelons quelle est la définition d’une chaîne quantique intégrable définie par une matrice de transfert. Celle-ci est, généralement, une fonction d’un certain nombre de poids. Supposons que l’ensemble des valeurs que les poids peuvent prendre est une variétéW. La chaîne est dite intégrable s’il existe une sous-variétéΛ⊂ W, appelée sous-variété spectrale, telle que les vec-teurs propres de la matrice de transfert restreinte à la sous-variété
spec-trale sont tous constants. On appelle paramètre spectral une paramétrisa-tion de Λ. En d’autres mots, la chaîne quantique est dite intégrable si et seulement si il existe un paramètre spectral tel que les vecteurs propres de la matrice de transfert n’en dépendent pas. Cette définition garantit l’existence d’une infinité de charges conservées dans la limite thermody-namique.
La remarque qu’on voulait faire est la suivante. Si la chaîne quantique est unitaire alors les matrices de transfert sont diagonalisables. La condi-tion d’intégrabilité est alors équivalente à la commutativité des matrices de transfert lorsqu’elles sont restreintes à la sous-variété spectrale. En par-ticulier, tous les systèmes intégrables construits par l’Ansatz de Bethe al-gébrique satisfont ce critère. Evidemment, ce dernier ne s’applique pas à toutes les chaînes intégrables non-unitaires, où les matrices de transfert ne sont pas diagonalisables. Ceci veut dire que l’Ansatz de Bethe algé-brique est une méthode d’intégrabilité trop contraignante pour les sys-tèmes quantiques non-unitaires. Un premier effort dans cette direction de recherche est de répondre à la question si les modèles de boucles avec in-tersections considérées dans cette thèse sont intégrables au sens généralisé qu’on vient de donner.