Ce travail de thèse a porté sur la résolution d’un problème inverse de détection à partir d’une mesure dans le cas d’un objet immergé dans un fluide. Ce problème a été étudié à l’aide de deux méthodes d’optimisation de forme : l’optimisation géométrique et l’optimisation topologique. Nous avons en particulier étudié sa stabilité en démontrant qu’il est sévèrement mal posé à l’aide d’une analyse d’ordre deux de la sensibilité par rapport à la forme.
Nous avons étudié le cas d’un (ou plusieurs) objet(s)ωimmergé(s) dans un fluide visqueux, incom-pressible et stationnaire s’écoulant dans un domaine plus grand Ω. La mesure permettant la détection a alors été supposée effectuée sur une partieOdu bord extérieur∂Ω. Le mouvement du fluide a princi-palement été supposé régi par les équations de Stokes avec des conditions de Dirichlet homogènes sur le bord de l’objet∂ω. Cependant, dans le cadre de l’optimisation géométrique de forme, nous avons également analysé les conditions de Neumann en soulignant les difficultés engendrées par celles-ci ainsi que le problème non linéaire de Navier-Stokes stationnaire.
Ce problème inverse a été ici étudié comme un problème de minimisation de fonctionnelle de forme. Nous nous sommes intéressés à deux types de fonctionnelles : une de type moindre carrés et une de type Kohn-Vogelius. Cette minimisation s’est effectuée à l’aide de deux différents algorithmes d’optimisation de descente selon la méthode adoptée : un algorithme de gradient de forme et un de gradient topologique.
Concernant l’approche d’Hadamard utilisant le gradient de forme, nous avons, dans un premier temps, montré l’existence des dérivées de forme d’ordre un et deux par rapport à l’objetω. Nous avons alors établi un cadre mathématique rigoureux permettant de démontrer l’idée intuitive que, dans ce type de problème de détection, la régularité du bord extérieur ∂Ω n’a pas d’importance (il peut être supposé seulement Lipschitz). Nous avons également souligné les modifications des démonstrations entrainées par les conditions de Neumann sur le bord de l’objet∂ω.
Pour analyser ce problème de détection, nous avons ensuite démontré un résultat d’identifiabilité permettant d’assurer que notre problème de minimisation est bien posé au sens où il admet un unique minimum. Nous avons ensuite caractérisé le gradient de forme des deux types de fonctionnelles consi-dérées en montrant les différences entre elles. En particulier, nous soulignons là encore les difficultés significatives engendrées si des conditions de Neumann sont imposées sur le bord intérieur∂ω. Nous avons ensuite effectué une analyse d’ordre deux et caractérisé la Hessienne de forme de ces fonction-nelles. Nous avons alors montré à l’aide de résultats de régularité locale des solutions que ce problème est sévèrement mal posé : la fonctionnelle est dégénérée pour certaines directions de déformation du domaine, à savoir leshautes fréquences. Nous avons finalement illustré cette dégénérescence en calcu-lant explicitement la Hessienne de forme dans le cas de deux cercles concentriques après avoir résolu les équations de Stokes dans cet anneau.
Ces résultats théoriques ont motivés nos simulations numériques. En effet, nous avons dû tenir compte de notre résultat d’instabilité nous indiquant que le gradient de forme n’a pas une sensibi-lité uniforme par rapport aux directions de perturbation. Ainsi, afin de résoudre numériquement ce problème inverse, nous avons adopté une méthode de régularisation par paramétrisation permettant d’écarter leshautes fréquences. Nous avons alors proposé uneméthode adaptativepermettant de recons-truire des objets non réguliers, nécessitant l’utilisation de ces fréquences et obtenu ainsi des résultats satisfaisants. Cette méthode consiste à augmenter progressivement le nombre de paramètres utilisés dans la paramétrisation de l’objet. Nous avons alors évité l’apparition d’oscillations du bord dûes aux hautes fréquences. Nous avons finalement reconstruit plusieurs objets à l’aide de cette méthode.
Cependant, afin de localiser plusieurs objets avec la méthode d’optimisation géométrique de forme, le nombre d’obstacles présents doit être connu. En effet, cette méthode ne permet pas de modifier la topologie des domaines. Nous avons alors changé de point de vue pour outrepasser cette limite en utilisant une méthode d’optimisation topologique de forme : sous des hypothèses de petitesse des inclusions, nous avons démontré un développement asymptotique de la solution des problèmes de Stokes considérés lorsque l’on ajoute un petit obstacle à l’intérieur. Nous en avons alors déduit une caractérisation de la dérivée topologique de la fonctionnelle de Kohn-Vogelius considérée. Nous avons ici étudié le cas de conditions de Dirichlet sur le bord intérieur∂ωet des conditions mixtes sur le bord extérieur∂Ω du fait de notre approche de type Kohn-Vogelius.
L’utilisation de cette notion de gradient topologique a ainsi permis de déterminer le nombre d’objets présents et leur position approximative. En utilisant un algorithme de type gradient topologique, nous avons détecté de petits objets immergés dans un fluide à partir de la mesure effectuée sur la partieO
du bord extérieur. Des résultats satisfaisants ont été obtenus mais nous avons également souligné les limites de cette méthode dans le cadre de notre étude. En particulier, il s’avère très difficile de détecter des inclusions éloignées du domaine sur lequel nous effectuons la mesure. Une intuition pour expliquer ce manque de sensibilité par rapport aux objets éloignés du domaine de mesure a été le contexte physique statique (ici stationnaire) de notre étude. En effet, cette sensibilité est meilleure dans un contexte dynamique ou ondulatoire.
Perspectives
Nous avons vu que nos deux méthodes diffèrent dans leur aspect pratique. En effet, nos simulations numériques ont montré que l’approche à l’aide du gradient de forme permet de reconstruire des objets volumineux alors que l’approche concernant le gradient topologique est efficace pour la détection de petites inclusions (situées très près du bord). Cependant, un contexte physique dynamique ou ondulatoire devrait relaxer ces limites. Ainsi, il serait intéressant de coupler ces deux méthodes dans le cadre des équations de Helmholtz par exemple. Le gradient topologique permettrait donc de détecter le nombre d’objets et leur position approximative et nous pourrions alors utiliser un algorithme de gradient de forme (avec la méthode adaptative proposée dans cette thèse) afin d’affiner la détection (en particulier la forme de l’objet). Cela fournirait ainsi un algorithme complet et précis de détection d’objets avec une initialisation de la méthode de gradient de forme à l’aide du résultat donné par l’algorithme de gradient topologique.
Dans cette thèse, nous avons démontré que le problème inverse d’un objet immergé dans un fluide est instable. Une perspective intéressante est d’étudier la stabilité d’un autre problème, à savoir la minimisation de la trainée (dans le cas de Stokes, de Navier-Stokes, dans un domaine borné, dans un domaine extérieur, etc.). Plus précisément, nous pourrons étudier la minimisation de la fonctionnelle de forme J(ω) :=1 2 Z Ω\ω ν∇u+t∇u 2 ,
oùω et Ω sont deux ouverts tels queω⊂⊂Ω et où (u, p) est, par exemple, solution de −ν∆u+∇p = 0 dans Ω\ω divu = 0 dans Ω\ω u = g sur ∂Ω u = 0 sur ∂ω.
Un résultat de stabilité est intuitivement attendu mais il faudra s’attendre à des difficultés de non-équivalence des normes rentrant en jeu comme dans le papier [45] de Dambrine. En effet, la coercivité que nous allons sans doute démontrer aura lieu dans la normek·kH1/2 qui est plus faible que la norme de différentiabilité k·kW3,∞. Ainsi, les outils basiques classiques n’assureront pas que la coercivité entraine qu’un point critique est un minimum local strict de la fonctionnelle de formeJ considérée. L’existence d’un minimum local strict pourra alors être montré à l’aide d’une borne supérieure précise des variations de la dérivée seconde de forme par rapport aux normes de coercivité et de différentiabilité (voir [45, Théorème 1]).
L’étude menée dans cette thèse ouvre également la porte à des analyses de problème plus complexes. La plus naturelle est sans doute le cas instationnaire d’un objet mobile. Dans ce cas, les équations étudiées seront par exemple
∂tu−ν∆u+ (u· ∇)u+∇p = 0 dans Ω\ω(t)×(0, T) divu = 0 dans Ω\ω(t)×(0, T) u = g sur ∂Ω×(0, T) u = h0(t) +r(t) (x−h(t))⊥ sur ∂ω(t)×(0, T) u(0) = u0 dans Ω\ω(t),
où h(t) est la position du centre de gravité de l’objet ω(t), où r(t) est sa vitesse angulaire et où
x⊥:=
x2
−x1
pour tout vecteurx=
x1 x2
deR2(voir [95, 96] par exemple). Le premier résultat à démontrer, avant même l’existence des dérivées de forme, sera un résultat d’identifiabilité. Nous pourrons alors, dans un premier temps, simplifier le problème en étudiant le cas quasi-stationnaire, c’est-à-dire le cas d’un objet mobile dans un fluide stationnaire (voir par exemple le récent papier [43] de Concaet al.). En effet, ce résultat semble difficile à obtenir même si le casr= 0 (i.e.le cas d’une translation) simplifie le problème.
Nos pourrons également envisager de prendre en compte la rugosité du matériau à l’aide de condi-tions au bord non standard, comme par exemple des condicondi-tions de glissement de Navier (voir par exemple [29, 30]) :
u·n = uS·n sur ∂ω
[σ(u, p)n]tan+βu = βuS sur ∂ω,
où uS est le champ eulérien du solide et β est le coefficient de friction de la paroi ∂ω. Ici aussi, il faudra dans un premier temps étudier le résultat d’identifiabilité. Une autre difficulté pourra concerner la dérivation par rapport à la forme de ces conditions de bord sur l’objet. En effet, nous avons vu que les conditions de type Neumann conduisent à des complications majeures et nous pouvons donc nous attendre à de sévères difficultés pour celles-ci.
Enfin, nos pourrons compléter le problème en cherchant non seulement la position et la forme de l’objet mais aussi sa température. Il faudra alors considérer des équations de type Boussinesq données
par : −ν∆u+ (u· ∇)u+∇p = θg dans Ω\ω divu = 0 dans Ω\ω −η∆θ+u· ∇θ = 0 dans Ω\ω u = g sur∂Ω u = 0 sur∂ω θ = b sur∂Ω θ = c sur∂ω,
oùθreprésente la température. Là encore, le résultat d’identifiabilité n’est pas trivial et nous ne pour-rons en particulier pas nous appuyer sur le résultat de continuation unique de Fabreet al.(voir [55]). Il faudra ainsi commencer par démontrer ce même résultat dans le cas des équations de Boussinesq à l’aide d’estimations de Carleman. Des premiers résultats allant dans ce sens ont été obtenus par Doubovaet al. dans [49, 50].