Conclusion :

Il est bien connu, et depuis longtemps, que les phénomènes de la physique et de la mécanique sont écrits par des formules mathématiques.

La raison pour laquelle les mathématiques sont indispensables pour l‘étude de problèmes liés au développement des nouvelles technologies et à l‘innovation est que désormais le design de nouveaux produits industriels ou l‘illustration de certains phénomènes pouvant influencé la matière comme le présent contexte est le plus souvent réalisé à l‘aide de la modélisation mathématique et de la simulation numérique et non plus avec la réalisation de prototypes bien plus coûteux, ou tout simplement irréalisables. La simulation se fait à l‘aide d‘ordinateurs qui calculent des solutions approchées des problèmes à résoudre (décrits par des équations mathématiques)

La simulation peut être faite sans trop de rigueur, avec des méthodes de calcul numérique existantes, ou avec l‘utilisation de boîtes noires toute prêtes ; et cela peut donner de bons résultats ;

L‘intérêt de ce chapitre est de connaitre les différentes étapes par ordre chronologique allons de l‘équation de Fick basique sur la diffusion jusqu‘à l‘équation qui régit le phénomène de désorption de l‘hydrogène par ces conditions réelles.

III.2. Analyse probabiliste de la désorption de l’hydrogène par la méthode de Monte Carlo

III.2.1. Introduction

Dans une telle approche, toutes les incertitudes associées au modèle, aux paramètres, aux facteurs humains, etc.... en déduisent des résultats eux-mêmes affectés par des incertitudes. Ainsi, quelle que soit la nature du problème étudié, les résultats sont exprimés sous une forme homogène, à savoir la probabilité d'occurrence de certains événements. L‘objectif principal est que l'acier en question subit une opération de tréfilage après son élaboration et que cette opération consiste à faire une traction. C‘est lors de cette opération que le matériau est le plus vulnérable à la pénétration de l'hydrogène et l'étape suivante consiste à faire un dégazage afin d'évacuer l'hydrogène de cet acier.

Dans le cadre de notre étude on cherche à substituer la regazéification par une libération naturelle d'hydrogène en temps de stockage optimal afin de permettre l'échappement de l'hydrogène. C‘est pour ne pas compromettre l'utilisation de cet acier qu‘intervient la méthode probabiliste en incluant des incertitudes qui interviennent dans l'échappement de l'hydrogène. Cette méthode nous permet d'indiquer un temps de stockage minimal et un coût à estimer. Le présent travail vise à rendre compte des variations de l'hydrogène contenu et la striction du fil machine, avec un temps de stockage optimal et minimal à température ambiante.

Pour permettre le dégazage naturel de l‘hydrogène, de tiges de fil à haute teneur en carbone sont utilisées dans la fabrication de tiges d'acier K. Pour des applications de béton précontraint, des paramètres des matériaux, tel le coefficient de diffusion effectif (De) et la concentration (C∞), sont modélisés par des champs aléatoires pour tenir compte de la variabilité spatiale du matériau dans le but d'obtenir le paramètre de striction désiré Z (Tableau III.2). Ainsi, la méthode Monte-Carlo Simulation (MCS) est utilisée pour calculer la fonction de distribution de probabilité (PDF) de la réponse du système ou la probabilité de défaillance (pf).

La probabilité de rupture d‘un système est généralement calculée à l'aide de la méthode des simulations de Monte-Carlo (Fenton et al. 2005 ; Griffiths et al. 2006 et Al). Cette méthode est très gourmande en temps de calcul, surtout lorsqu'il s'agit de problèmes ayant des probabilités de rupture très faibles de l‘ordre de 10-7_{. D‘après les courbes de}

Maurice Lemaire. Cette méthode a pour objectif d‘effectuer une analyse probabiliste de la diffusion (De) de l‘hydrogène et qui est spatialement variable. Dans cette étude, le champ aléatoire (De) a été discrétisé en un nombre fini de variables aléatoires à l'aide de l‘expansion de Karhunen-Loeve (KL).

En premier lieu une étude portant sur les distances d‘autocorrélation du champ aléatoire par rapport à la probabilité de défaillance ensuite par rapport aux distances d‘autocorrélation horizontale et verticale .En second lieu, l‘étude de la variabilité spatiale et temporelle des distances d'autocorrélation et par la suite l‘étude paramétrique des variables aléatoires et l‘optimisation du temps de calcul-Impact des coefficients de variation (COV) des différentes variables aléatoires sur la fonction de densité de probabilité des réponses du système.

Méthode de simulation directe (Monte Carlo)

Elle consiste à effectuer un grand nombre Ns de simulations (tirages) des variables aléatoires du problème étudié. Pour chaque simulation, la fonction d‘état est calculée et l‘on dénombre les simulations conduisant à la défaillance de la structure Nsf. La probabilité de rupture Pf est alors estimée par le rapport entre le nombre de simulations conduisant à la rupture Nsf et le nombre total de tirages Ns, soit :

̅̅̅̅̅

Eq.III. 32

Où N est le nombre total de simulations. Cet estimateur de la probabilité de rupture peut être écrit aussi comme suit :

Où I[G(x)] est le domaine d‘insécurité (failure), il est égal à 1 dans le domaine de l‘insécurité et est égal à 0 dans le domaine de sécurité.

[ ( )] { 𝑖 ( ) _{𝑖 ( ) }}

 Généralités : Le direct MCS est complètement général, et s'applique à toute distribution des variables aléatoires de base, y compris les variables aléatoires discrètes.

 Précision : Pour l'échantillon de taille N→∞, la probabilité estimée converge vers le résultat exact.

 Efficacité : En règle générale, le temps CPU augmente linéairement avec environ 1/Pf. En règle générale, la taille de l'échantillon nécessaire pour obtenir une estimation de la probabilité d'une bonne confiance est d'environ 100/Pf.

Plusieurs méthodes proposent d‘améliorer la méthode de Monte Carlo, comme la "Méthode de simulation directionnelle". Elle utilise les propriétés de symétrie rotationnelle de l‘espace des variables gaussiennes centrées réduites (standardisées). Dans cet espace, les variables sont représentées par des lois de Gauss centrées en 0 et d‘écart-type :

1. La transformation de Rosenblath est utilisée pour effectuer un changement du repère transformant l‘espace des variables physiques (lois de distributions quelconques) en un espace de variables gaussiennes centrées réduites. Cet espace est ensuite divisé en un certain nombre de directions caractérisées par un vecteur unitaire en partant de l‘origine du repère. La probabilité de défaillance du système est évaluée par un traitement statistique des valeurs des probabilités de défaillance calculées sur les différentes directions. Comme la méthode de Monte Carlo, cette méthode n‘impose aucune propriété particulière de la fonction d‘état limite et permet d‘évaluer sans biais la probabilité de défaillance du composant. Elle offre l‘avantage d‘être plus performante que cette dernière en termes de coûts de calculs.

(Houmadi, 2011).