Dans ce chapitre, la mod´elisation des syst`emes `a commutations a ´et´e introduite. L’´etude de ces syst`emes concerne une tr`es large gamme de syst`emes physiques (´electrique, m´ecanique, hydraulique, ...). Les principaux concepts et probl´ematiques d’observation et de diagnostic de ces syst`emes ont ´et´e pr´esent´es.
En effet, d’une part pour l’observation, peu d’approches ont cherch´e `a r´esoudre le probl`eme de l’observation de l’´etat continu surtout lorsque l’´etat discret est inconnu et que le syst`eme est soumis `
a une entr´ee inconnue. Dans le deuxi`eme chapitre de cette th`ese, il sera propos´e une approche d’ob-servation des ´etats continu et discret d’un syst`eme soumis `a une entr´ee inconnue dont les modes (ou sous-syst`emes) ne sont pas observables au sens classique. Les techniques des modes glissants seront notamment utilis´ees pour reconstruire le mode actif et l’entr´ee inconnue.
D’autre part, pour le diagnostic, des techniques combinant les approches du continu et du discret ont ´et´e ´enum´er´ees afin de r´esoudre le probl`eme de la d´etection et de l’isolation de fautes d’un syst`eme hybride. N´eanmoins, les conditions classiques d’observabilit´e du syst`eme limitent les proc´edures de diagnostic par synth`ese d’observateurs. ´Egalement, si les conditions de d´ecouplage et de diagnostica-bilit´e des d´efauts ne sont pas v´erifi´ees, alors aucune approche de la litt´erature n’est satisfaisante. Le troisi`eme chapitre de ce m´emoire s’int´eresse premi`erement, `a la d´etection de fautes sur les dynamiques continues et deuxi`emement, au diagnostic de fautes sur l’´etat discret d’un syst`eme `a commutations dont la condition de diagnosticabilit´e n’est pas v´erifi´ee. Un observateur hybride est synth´etis´e afin d’es-timer un vecteur de r´esidus et un diagnostiqueur permet de repr´esenter qualitativement son ´evolution afin de d´etecter une faute continue. ´Egalement, par une approche discr`ete, une machine de Mealy est utilis´ee pour mod´eliser le syst`eme et construire un diagnostiqueur. Un algorithme de diagnostic ac-tif est con¸cu sur la base de la th´eorie du test afin d’assurer la d´etection et l’isolation de fautes discr`etes.
Le convertisseur multicellulaire s´erie est ´egalement pr´esent´e dans ce chapitre. Sa mod´elisation, son fonctionnement et une commande classique en boucle ouverte sont aussi introduits. Il nous permet de consid´erer les diff´erentes probl´ematiques du point de vue d’un syst`eme physique. La mise en œuvre et la validation des techniques propos´ees sont ainsi possibles. Dans le cadre de cette th`ese, un convertisseur multicellulaire a ´et´e con¸cu et r´ealis´e. Une partie de cette th`ese est consacr´ee `a la pr´esentation de la maquette, `a la validation des concepts et algorithmes d´evelopp´es pour l’observation et le diagnostic du convertisseur et `a la synth`ese d’une commande binaire robuste, qui pourra ˆetre utilis´ee comme commande tol´erante aux fautes sur le convertisseur lorsqu’un blocage d’une cellule sera consid´er´e.
Premi`ere partie
Observation et diagnostic d’une classe
de syst`emes dynamiques hybrides
Chapitre 2
Observation d’un syst`eme `a
commutations
Dans ce chapitre, l’observation d’une classe de syst`emes lin´eaires hybrides soumis `a une entr´ee inconnue est abord´ee. En particulier, on s’int´eresse ici aux syst`emes `a commutations, dont l’ensemble des modes de fonctionnement ne v´erifie pas les conditions classiques d’observabilit´e et le signal de commutations est suppos´e inconnu. Apr`es la pr´esentation du probl`eme, une premi`ere partie s’int´eresse `
a l’identification du mode actif. Les techniques d’observation par modes glissants d’ordre deux sont utilis´ees. Une deuxi`eme partie est consacr´ee `a l’estimation de l’´etat continu. Un observateur hybride et un observateur par modes glissants d’ordre sup´erieur sont combin´es et utilisent les informations partielles disponibles de chaque mode pour reconstruire l’´etat continu. Dans une troisi`eme partie, le premier observateur est r´eutilis´e, apr`es injection des signaux observ´es, pour estimer, en temps fini, l’entr´ee inconnue. Enfin, des r´esultats de simulation, sur un exemple acad´emique, montrent le fonctionnement de chaque partie et l’efficacit´e de l’approche.
2.1 Pr´esentation du probl`eme
Consid´erons la classe de syst`emes `a commutations mod´elis´ee de la mani`ere suivante : ˙x(t) = Aσ(t)x(t) + Bσ(t)u(t) + Λw(t)
y(t) = Cx(t) (2.1.1)
o`u x(t) ∈ Rnest l’´etat continu, y(t) ∈ Rp est la sortie, u(t) ∈ Rh est l’entr´ee connue et w(t) ∈ Rm est l’entr´ee inconnue. Le signal de commutations σ : R+7→ {1, . . . , Q} n’est pas suppos´e connu.
L’objectif de ce chapitre est de concevoir un observateur hybride capable d’estimer l’´etat continu x(t) sachant que le mode actif σ est inconnu et que le syst`eme est soumis `a une entr´ee inconnue w(t). L’ensemble des modes de fonctionnement du syst`eme ne v´erifient pas les conditions classiques d’obser-vabilit´e (i.e., les paires (Aσ(t), C) ne sont pas suppos´ees observables au sens classique). ´Egalement, une
46 CHAPITRE 2. OBSERVATION D’UN SYST `EME `A COMMUTATIONS m´ethode est propos´ee afin d’assurer l’estimation de l’´etat discret et de l’entr´ee inconnue du syst`eme (2.1.1).
Dans ces conditions, les observateurs de la litt´erature ne peuvent pas ˆetre appliqu´es pour deux raisons : d’abord, beaucoup d’approches consid`erent que les sous-syst`emes sont observables au sens classique [101, 45, 9, 13] puis, la pr´esence de l’entr´ee inconnue complique la synth`ese de l’observateur du syst`eme d’autant plus que l’´etat discret est ´egalement inconnu. En ce qui concerne l’estimation de l’´etat discret, certaines ´etudes ont choisi de proposer un observateur robuste [14, 100] (qui permet d’estimer l’´etat continu quels que soient le mode actif et l’entr´ee inconnue). N´eanmoins ici, l’´etat discret doit ˆetre ´egalement reconstruit alors que les sous-syst`emes ne sont pas observables au sens classique. Par cons´equent, dans cette ´etude, un d´ecouplage de l’entr´ee inconnue doit ˆetre utilis´e.
Les hypoth`eses, li´ees `a l’observation des ´etats continu et discret et au d´ecouplage du syst`eme sont pr´esent´ees ci-dessous.
Hypoth`ese 2.1 Il est suppos´e que :
– La norme Euclidienne de x est born´ee et inf´erieure `a une constante positive connue.
– Les normes Euclidiennes de u, w et leurs d´eriv´ees sont born´ees et inf´erieures `a des constantes positives connues.
– Le syst`eme (2.1.1) satisfait la propri´et´e du temps minimal de s´ejour (le ph´enom`ene de Z´enon est exclu).
– m ≤ n et m < p
– rang(CΛ) = rang(Λ) = m
La derni`ere hypoth`ese permet de faire le d´ecouplage du syst`eme. En effet, afin de d´ecoupler l’entr´ee inconnue w(t), on r´ealise une projection de l’´etat x(t) et de la sortie y(t) par les matrices non-singuli`eres suivantes [15] : T = " Λ⊥ (CΛ)†C # U = " (CΛ)⊥ (CΛ)† # (2.1.2)
L’´etat transform´e est :
¯ x =hxT 1 xT 2 iT = T x avec x1∈ Rn−m et x2 ∈ Rm. La sortie transform´ee devient :
¯ y =hyT 1 y2T iT = U y avec y1 ∈ Rp−m et y2 ∈ Rm.
2.2. IDENTIFICATION DE L’ ´ETAT DISCRET 47