CHAPITRE 4 : ANALYSE DE STABILITÉ
4.8 CONCLUSION – CRITÈRE DE STABILITÉ
L’analyse de stabilité linéaire spatiale décrite dans ce chapitre montre que l’apparition de l’instabilité dépend de façon complexe de deux paramètres principaux
Vg et Pe. Nous avons observé que, pour les paramètres analysés ici, le panache est
toujours convectivement instable, car le taux de croissance du mode le plus instable –ki max est strictement positif dans tous les cas où Cinj > 0.
Comme mentionné dans les sections précédent, on pourra dire à la rigueur que l’écoulement est "apparemment stable", lorsque le taux de croissance spatial est trop faible pour faire apparaître des ondes, visibles à l’œil nu, avant l’extrémité de la cellule de Hele-Shaw.
Nous avons analysé l’influence de chaque paramètre, les deux autres étant fixés. Comme précisé plus haut, il est clair que cette procédure ne nous a éclairé que sur une petite partie de l’espace des paramètres, mais elle a permis de tirer des conclusions intéressantes et de mettre a jour des comportements assez proches, qualitativement, de ceux observés dans les expériences et les simulations.
Nous avons tout d’abord écrit les équations de la perturbation dans le cas d’un tenseur de dispersion isotrope. La résolution de ces équations permet d’obtenir le taux de croissance et la longueur d’onde des perturbations, et montre que dans ce cas les ondes sont non-dispersives. La longueur d’onde du mode le plus instable prédite par ce modèle est en général très inférieure à celle obtenue dans nos expériences.
-kimax kr
max
Pe
Afin de tenir compte de la dispersion de Taylor, nous avons généralisé cette étude, toujours linéaire, au cas d’un tenseur anisotrope. Nous avons observé que l’anisotropie avait une forte influence sur le taux de croissance, le nombre d’onde, et la vitesse de phase des ondes. Le mode le plus instable a un taux de croissance plus faible, et une longueur d’onde plus grande (et plus proche des résultats expérimentaux), que dans le cas isotrope. In fine, notons que les ondes deviennent dispersives, alors qu’elles ne le sont jamais dans le cas isotrope. Aucune instabilité absolue n’a été remarquée pour les valeurs des paramètres considérées.
En restant dans le cas d’un tenseur de diffusion/dispersion anisotrope, nous avons également analysé l’effet séparé de la concentration d’injection, du débit d’injection, et de la vitesse zonale, sur la stabilité. La concentration a clairement un effet déstabilisant (figure 4.7), alors que l’augmentation du débit est pratiquement sans effet sur le taux de croissance des perturbations, ainsi que sur leur longueur
d’onde. Toutefois, pour nos plus faibles vitesses zonales (Pe ≈ 7), nous avons
constaté théoriquement et expérimentalement que l’augmentation du débit avait un effet stabilisant. Enfin, l’augmentation de la vitesse zonale, pour un débit et un contraste de densité fixés, a un effet stabilisant. Tous ces résultats sont en accord avec les observations expérimentales.
Critère de stabilité. Comme signalé dans l’introduction de ce chapitre, il existe dans la littérature divers critères de stabilité pour ce problème. Le seul critère rigoureux que l’on pourrait proposer suite à notre étude théorique serait que le panache est toujours convectivement instable. Cependant, si le taux de croissance spatial est trop faible pour que les ondes soient suffisamment grandes (donc visibles) avant l’extrémité de la cellule de Hele-Shaw, le panache sera qualifié, comme nous l’avons dit, «d’apparemment stable». Le taux de croissance du mode le plus instable de notre étude théorique est donné par la figure 4.7 lorsque Vg varie (la vitesse
amont et le débit étant fixés et tels que
V
∞=0.06mm / s
et Qinj=0.5 mL/h).L’amplitude A de la perturbation au bout de la zone test de la cellule de Hele-Shaw
(de longueur Lx = 145 b) sera alors égale à A = A0 exp(-kimax Lx), où A0 (inconnue et
très faible) est l’amplitude des perturbations prenant naissance à l’entrée de la cellule (au voisinage de l’aiguille). On peut calculer, grâce à la figure 4.7, que cette exponentielle est d’ordre 1 si Vg = 0.14, d’ordre 10 si Vg=0.3, d’ordre 6000 si
pratiquement inchangée si Vg < 0.1, et multipliée par plusieurs millions si Vg dépasse 0.8 (en supposant que les termes non-linéaires restent négligeables sur tout le trajet, ce qui n’est sans doute pas le cas puisqu’ils viendront saturer l’instabilité lorsque l’amplitude des perturbations n’est plus infinitésimale). Ceci explique, peut-être, pourquoi le panache de nos expériences est apparemment stable si Vg est inférieur à un nombre d’ordre 1 (chapitre 2), et instable sinon. Remarquons aussi que
Güven et al. [26] affirment que leur panache expérimental est “instable” si π1 > 0,35.
Or leur paramètre π1 est égal à notre Vg : compte tenu du fait que ces auteurs
travaillent avec un milieu poreux (et non-pas une cellule de Hele-Shaw), cette valeur reste d’un ordre de grandeur acceptable.
CONCLUSIONS GENERALES
& PERSPECTIVES
CONCLUSIONS GÉNÉRALES
La mise en place d’un modèle expérimental du type cellule de Hele-Shaw nous a permis d’étudier l'évolution spatio-temporelle d'une solution saline injectée dans un écoulement uniforme reproduisant celui d’une formation aquifère. Le champ des vitesses et le champ des concentrations du soluté au sein de la cellule ont été
déterminés grâce à l’utilisation des techniques de mesure non intrusives (i.e. : PIV -
Particle Image Velocimetry et LIF - Laser Induced Fluorescence).
Les résultats expérimentaux décrits dans le chapitre 2 de ce manuscrit ont
montré trois configurations typiques : stable, faiblement instable et fortement
instable. La première configuration est caractérisée par un nuage allongé dans la direction de l’écoulement dont les bords sont parfaitement lisses. La deuxième est identique à la première à l’exception de la pointe du panache où on observe l’apparition et le développement d’un seul et unique doigt. Quant à la troisième configuration, elle est représentée par un panache dont l’interface inférieure est caractérisée par l’apparition et le développement de digitations (ondes). Ces configurations ont été obtenues à travers la variation des conditions expérimentales, à savoir : la concentration injectée, le débit injecté et la vitesse de l’écoulement ambiant. De l’analyse de ces résultats il ressort que la (l’in)stabilité du panache dépend essentiellement de deux facteurs : le contraste de masse volumique induit par la concentration injectée et la vitesse d’écoulement. Si l’augmentation du contraste de masse volumique amplifie les instabilités, l’augmentation de la vitesse de l’écoulement joue un rôle stabilisateur. Notons également que le débit d’injection n’influe pas (ou peu) sur la stabilité du panache. L’analyse qualitative des expériences nous a permis d’établir un critère de stabilité empirique basé sur G, la vitesse typique de sédimentation rapportée à la vitesse de l’écoulement zonal. Ainsi, tant que G < 10.5 le transport convectif de panache reste stable. Pour G > 12.2, il devient instable.
L’étude numérique menée dans le chapitre 3 de ce manuscrit nous a permis, dans un premier temps, de mimer les résultats expérimentaux. Les solutions numériques, obtenues à l’aide du logiciel COMSOL Multiphysics®, semblent bien reproduire aussi bien l’écoulement gravitationnel stable que faiblement instable dans une cellule de Hele-Shaw. Pour la configuration instable, les différences entre les
solutions numériques et expérimentales se situent principalement au niveau des digitations apparaissant sur l’interface inférieure du panache. Cependant, comme l’instabilité numérique est souvent créée artificiellement par des erreurs numériques, la seconde partie de ce chapitre a été alors consacrée à une étude purement numérique. Il s’agit d’étudier la sensibilité de la solution numérique vis-à-vis des oscillations numériques introduites par la méthode des éléments finis utilisée par COMSOL, des tolérances absolue et relative des solveurs utilisés dans la résolution des équations de transport, ou encore de la forme du tenseur de dispersion utilisé. Les conclusions de cette étude peuvent être considérées plus que satisfaisantes. Elles dénotent que la morphologie et la dynamique du panache dépend fortement : (i) du raffinement de maillage, (ii) du choix de terme dispersif et (iii) de la valeur de la viscosité dynamique. Ainsi, l’utilisation d’un maillage approprié nous a permis d’obtenir des solutions numériques comparables aux résultats expérimentaux. Pour des configurations fortement instables, nous avons pu montrer que l’augmentation forcée de la dispersivité intrinsèque longitudinale peut entraîner un basculement vers
une configuration faiblement stable voire stable. In fine, pour une configuration
fortement instable, l’augmentation du rapport des viscosités dynamiques joue un rôle stabilisateur. Pour une configuration faiblement instable, la diminution de la viscosité dynamique du soluté injecté engendre, souvent, l’apparition et le développement d’instabilités.
Nous avons clos cette thèse par une étude théorique portant sur la stabilité de l’interface de la zone de mélange, en analysant sa réaction à des perturbations de faible amplitude (chapitre 4). L’écoulement de base considéré dans cette étude est une nappe horizontale de soluté transportée par un écoulement horizontal parfaitement uniforme. Il est supposé soumis à des perturbations sinusoïdales susceptibles de se développer spatialement. L’amplitude de ces ondes est solution d’un problème aux valeurs propres que nous avons résolu numériquement. Même si l’écoulement de base est assez différent de celui observé dans nos expériences (qui n’est ni unidirectionnel, ni établi suivant x), ce modèle théorique présente des similitudes intéressantes : il est contrôlé par les mêmes paramètres que l’écoulement expérimental (vitesse zonale, contraste de densité, débit d’injection).
Cette étude théorique montre que le panache est toujours convectivement instable, pour les paramètres que nous avons considérés. En outre, elle permet de
retrouver et de quantifier quatre résultats mis en évidence aux chapitres 2 et 3 : l’effet stabilisant de la dispersivité longitudinale, l’effet déstabilisant du contraste de densité, l’effet stabilisant de la vitesse zonale.
L’étude théorique linéaire conforte le critère d’instabilité basé sur le nombre G.
Comme G = 12 π1 (où π1 est le nombre adimensionnel introduit par Güven et al. [26]),
ce critère n’est pas si éloigné de celui de Güven et al. [26]. En effet, ces auteurs
observent l’apparition de digitations si π1 dépasse un nombre d’ordre unité. D’après
le modèle linéaire, lorsque π1 (noté Vg au chapitre 4) est inférieur à 0.1, l’amplitude
des perturbations prenant naissance à l’entrée de la cellule est multipliée par 1 environ à l’autre extrémité de la zone test, donc pratiquement inchangée, ce qui
explique pourquoi le panache est apparemment stable. Au contraire, si π1 s’approche
de 1 (G d’ordre 10), cette amplitude est multipliée par un très grand coefficient, ce qui peut rendre les perturbations visibles, même si elles seront nécessairement saturées par les termes non-linéaires que nous avons négligés dans l’analyse théorique [26].
Le modèle linéaire permet aussi d’analyser l’influence des divers paramètres sur la longueur d’onde des digitations : l’augmentation de la dispersivité longitudinale conduit à des ondes plus longues, ce qui est en accord avec les résultats numériques du chapitre 3. Nous avons remarqué de plus que l’utilisation d’un tenseur isotrope conduisait à des ondes non-dispersives (vitesse de phase indépendante de la pulsation). Inversement, avec un tenseur anisotrope le phénomène ondulatoire devient dispersif.
PERSPECTIVES
Des expériences avec un plus fort contraste de densité pourront être réalisées dans la suite, afin de déterminer l’influence de ce contraste sur la dispersivité
longitudinale, comme prévu théoriquement par Oltéan et al. [49]. Ces nouvelles
expériences permettront, de plus, d’analyser l’apparition de possibles effets 3D rendant l’écoulement non-darcien.
Le couplage PIV/LIF est une perspective pertinente pour la suite de ce travail. Cette technique permettra d’obtenir simultanément des champs de vitesse et de concentration, que nous comparerons alors aux résultats des simulations réalisées dans cette thèse.
L’étude linéaire proposée au chapitre 4 peut être prolongée de diverses
façons. Il serait sans doute opportun de reformuler le problème linéaire avec une dispersivité longitudinale constante et quelconque, afin d’analyser l’influence de ce paramètre sur les caractéristiques de l’instabilité, et de comparer ces résultats avec ceux obtenus dans les simulations du chapitre 3.
Il serait aussi instructif d’analyser la possible apparition d’une instabilité absolue dans cet écoulement, afin de déterminer si celle-ci peut apparaître si on augmente G. Enfin, l’étude non-linéaire (à l’aide d’une équation d’amplitude), permettrait d’obtenir l’amplitude des ondes lorsque celles-ci ont été saturées par les termes non-linéaires que nous avons négligés au chapitre 4.
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