non stationnaire. Par soucis de simplicit´e, les constantes num´eriques sont ramen´ees `a l’unit´e et le syst`eme d’´equations `a ´etudier est donc bien de la forme (3.4) :
i∂tu + ∆u + 1 |x − a|u + V1u = (|u| 2? 1 |x|)u, (x, t) ∈ R 3× (0, T ) u(0) = u0, x ∈ R3 m d 2a dt2 = Z R3 −|u(x)|2∇ 1 |x − a| dx − ∇V1(a), t ∈ (0, T ) a(0) = a0, da dt(0) = v0.
3.6
Conclusion
Nous avons `a ce stade justifi´e au mieux le choix du syst`eme d’´equations coupl´ees dont nous allons ´etudier certaines propri´et´es math´ematiques dans cette deuxi`eme par- tie du manuscrit. Il faut tout d’abord pr´eciser que dans les articles [4] et [5], M. DE-
FRANCESCHIet C. LEBRISsoulignent l’int´erˆet tr`es actuel d’´etudier le comportement d’une mol´ecule dans son environnement et par exemple de travailler sur l’influence d’un champ magn´etique ou ´electrique.
Dans la r´ef´erence [4], ce sont les mod`eles stationnaires qui sont ´evoqu´es. Les au- teurs mentionnent la difficult´e majeure rencontr´ee en pr´esence d’un champ ´electrique, c’est `a dire le fait que le potentiel ext´erieur qui intervient alors dans les ´equations ne s’annule pas `a l’infini, contrairement au potentiel d’attraction coulombien. Effective- ment, c’est la pr´esence simultan´ee de deux potentiels aux caract´eristiques si diff´erentes qui soul`eve le plus de probl`emes. Le chapitre 4 permettra n´eanmoins de donner un sens aux ´equations concern´ees pour des potentiels ´electriques tr`es g´en´eraux. Au sujet des ´equations de Hartree-Fock stationnaires, nous tenons `a signaler les travaux de P. L. LIONS(par exemple [8]) qui sous-tendent le cours qu’il a donn´e au Coll`ege de France `a l’automne 2003.
Par ailleurs, l’´equation de Schr¨odinger d´ependant du temps et ses approximations font l’objet d’un paragraphe dans la r´ef´erence [5], article publi´e dans une revue de chimie quantique. Les auteurs donnent pr´ecis´ement l’approximation non-adiabatique d’une mol´ecule obtenue `a la fin de la section 3.4. Ils formulent aussi le souhait de stimuler la recherche en th´eorie du contrˆole appliqu´e `a la chimie quantique. Nous nous int´eressons dans cette perspective au contrˆole bilin´eaire optimal de l’´equation de Schr¨odinger dans les deux derniers chapitres. Nous pr´esenterons en effet dans un pre- mier temps les r´esultats d’existence et de r´egularit´e des solutions n´ecessaires `a l’´etude du contrˆole optimal du syst`eme par le potentiel ´electrique ext´erieur.
Bibliographie
[1] H. BREUER, Atlas de la Physique, Encyclop´edies d’aujourd’hui, Le livre de poche, Edition franc¸aise (1997).
[2] E. CANCES` , Simulation mol´eculaire et effets d’environnement. Une perspective
math´ematique et num´erique, Th`ese (1997).
[3] C. COHEN-TANNOUDJI, B. DIUet F. LANOE¨, M´ecanique Quantique, Hermann, Paris, 1977.
[4] M. DEFRANCESCHIet C. LEBRIS, Computing a molecule J. of Math. Chem. 21 (1997) 1-30.
[5] M. DEFRANCESCHIet C. LEBRIS, Computing a molecule in its environment Int. J. of Quantum Chem. 71 (1999) 227-250.
[6] W. KOCH et M. C. HOLTHAUSEN, A Chemist’s Guide to Density Functionnal
Theory, Wiley-VCH, Weinheim, seconde ´edition (2001).
[7] L. LANDAUet E. LIFCHITZ, M´ecanique Quantique, Physique th´eorique, Tome 3, 3`eme ´edition, MIR Moscou (1975).
[8] P. L. LIONSSolutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems, Commun.
Math. Phys. 109 (1987) 33-97.
[9] R. MCWEENYet B. T. SUTCLIFFE, Methods of Molecular Quantum Mechanics, Academic Press (1976).
[10] J.-P. MAURY, Une Histoire de la Physique sans les Equation, Vuibert (2000). [11] A. MESSIAH, M´ecanique Quantique, Tome 1, Dunod, Paris (1995).
[12] A. MESSIAH, M´ecanique Quantique, Tome 2, Dunod, Paris (1995).
[13] R. G. PARRet W. YANG, Density-Functionnal Theory of Atoms and Molecules, Oxford University Press, New-York (1989).
[14] J.-L. RIVAIL, El´ements de Chimie Quantique (`a l’usage des chimistes), 2`eme ´edition, Savoirs Actuels, CNRS Editions (1999).
[15] A. SZABOet N. S. OSTLUNDModern Quantum Chemistry : introduction to ad- vanced electronic Structure theory, Macmillan (1982).
Chapitre 4
Regularity for a Schr¨odinger
equation with a potential
singular at finite distance and at
infinity
L’article qui suit est actuellement soumis. Avec O. Kavian et J.-P. Puel. ABSTRACT : We study the Schr¨odinger equation i∂tu + ∆u + V0u + V1u = 0 on R3× (0, T ), where V0(x, t) = |x−a(t)|1 , a ∈ W2,1(0, T ; R3), is a coulombian poten- tial, singular at finite distance, and V1is an electric potential, possibly unbounded. The initial condition u0∈ H2
(R3) is such thatR
R3(1 + |x| 2)2|u
0(x)|2dx < ∞. As V0, the potential V1is real valued and may depend on space and time variables. We prove that if V1is regular enough and at most quadratic at infinity, this problem is well-posed and the regularity of the initial data is conserved for the solution.
Keywords : Schr¨odinger equation, singular potential, alternate direction, regularity,
existence.
AMS Classification : 35B65
Une note aux Comptes Rendus `a l’Acad´emie des Sciences de Paris est parue en 2003, S´erie I, 337 pages 705 `a 710.
R ´ESUME´: Nous ´etudions l’´equation de Schr¨odinger i∂tu + ∆u + V0u + V1u = 0 sur R3× (0, T ) avec pour condition initiale u0∈ {v ∈ H2(R3),
R
R3(1 + |x|
2)2|v|2dx < +∞} o`u V0(x, t) = |x−a(t)|1 , a ∈ W2,1(0, T ; R3), est un potentiel coulombien, sin- gulier `a distance finie, et o`u V1, potentiel dont d´erive un champ ´electrique, peut ˆetre non born´e. Comme V0, le potentiel V1 est r´eel et d´epend des variables d’espace et de temps. Nous d´emontrons que si V1est assez r´egulier et presque quadratique `a l’infini, cette ´equation d’´evolution est bien pos´ee et que la r´egularit´e de la condition initiale est conserv´ee par la solution du probl`eme.
4.1
Introduction
We work in R3and throughout this paper, we use the following notations : ∇v = ∂v ∂x1 , ∂v ∂x2 , ∂v ∂x3 , ∆v = 3 X i=1 ∂2v ∂x2 i , ∂tv = ∂v ∂t,
Re and Im are the real and the imaginary parts of a complex number, W2,1(0, T ) = W2,1(0, T ; R3) and for p ≥ 1, Lp = Lp(R3),
the usual Sobolev spaces are H1= H1(R3) and H2= H2(R3). We also define H1 = v ∈ L2(R3), Z R3 (1 + |x|2)|v(x)|2dx < +∞ H2 = v ∈ L2(R3), Z R3 (1 + |x|2)2|v(x)|2dx < +∞ .
One can notice that H1and H2are respectively the images of H1and H2under the Fourier transform.
We consider the following linear Schr¨odinger equation ( i∂tu + ∆u + u |x − a(t)|+ V1(x, t)u = 0, (x, t) ∈ R 3× (0, T ) u(x, 0) = u0(x), x ∈ R3 (4.1)
where the potential V1takes its values in R.
Actually, this equation could correspond to the linear modelling of a hydrogeno¨ıd atom subjected to an external electric field, where u is the wave function of the electron. Indeed, |x−a(t)|1 is a coulombian potential, where a(t) is the position of the nucleus at instant t and V1is the electric potential (which may be unbounded at infinity) such that E(t, x) = ∇V1(x, t) where E is the electric field created by a laser beam.
Our main result is the following :
Theorem 1. Let T > 0 be an arbitrary time and let a and the potential V1satisfy a ∈ W2,1(0, T ), (1 + |x|2)−1V 1∈ L∞((0, T ) × R3), (1 + |x|2)−1∂ tV1∈ L1(0, T ; L∞) and (1 + |x|2)−1∇V 1∈ L1(0, T ; L∞) (4.2)
and for some α > 0 and ρ > 0,
kakW2,1(0,T )≤ α and
k(1 + |x|2)−1V
1kW1,1(0,T ,L∞)+ k(1 + |x|2)−1∇V1kL1(0,T ,L∞)≤ ρ.
Then there exists a non negative constant CT ,α,ρdepending on T , α and ρ such that
for any u0∈ H2∩ H2, equation (4.1) has a unique solution u with u ∈ L∞(0, T ; H2∩ H2) and ∂tu ∈ L∞(0, T ; L2)
which satisfies the estimate