E1 0 0 E2 , A1 0 B1 0 A2 B2 C1 C2 D1+D2 (2.90) G1.G3 = E1 0 0 E3 , A1 B1C3 B1D3 0 A3 B3 C1 D1C3 D1D3 (2.91) Ces deux résultats se prouvent, en écrivant les équations des représentations d’état
gé-néralisées des systèmes. Notons D+ l’inverse à droite (respectivement à gauche) de D.
En utilisant la formule de multiplication de systèmes singuliers, on vérifie que l’inverse à droite (respectivement à gauche) deG1, suppposé régulier, est donnée par
G+1 = E1, A1−B1D1+C1 −B1D+1 D+1C1 D+1 (2.92)
2.10 Systèmes singuliers à temps discret
Dans le présent mémoire, on s’intéresse essentiellement aux systèmes singuliers à temps continu, néanmoins il existe une version à temps discret du formalisme singulier. Toutes les notions exposées dans le présent chapitre peuvent être étendues au cas des systèmes singuliers à temps discret définis par
Ex(tk+1) = Ax(tk) +Bu(tk) (2.93)
y(tk) = Cx(tk) +Du(tk) (2.94)
Les notions de régularité, d’équivalence, de commandabilité et d’observabilité sont
éten-dues de manière analogue au cas des systèmes non singuliers (la variable de Laplace s,
est remplacée par l’opérateur retard z, la région de stabilité est le disque ouvert unitaire centré en l’origine, etc.). Pour une étude détaillée des systèmes singuliers à temps discret, le lecteur intéressé est invité à se reporter au chapitre 8 de l’ouvrage [Dai, 1989].
2.11 Conclusion
Dans ce chapitre ont été présentés les concepts de base nécessaires à l’analyse, la commande et l’observation des systèmes algébro-différentiels.
La plupart des résultats énoncés sont issus de l’ouvrage [Dai, 1989] et des articles [Cobb, 1981], [Cobb, 1984], [Lewis, 1986], [Luenberger, 1977], [Verghese et al., 1981] et [Yip et Sincovec, 1981].
Si cette présentation n’a évidemment pas la prétention d’être exhaustive, elle est néan-moins suffisante à la lecture du présent mémoire. On retiendra que la principale distinction entre systèmes usuels et singuliers est la possible non causalité des derniers. Cette dif-férence entraîne le besoin de redéfinir les notions de commandabilité et d’observabilité. Ainsi dans le cadre de la supervision, la stabilité ne suffit plus à garantir un fonctionne-ment sécurisé du processus il faudra égalefonctionne-ment s’assurer de supprimer la non causalité.
Plus généralement, l’objectif poursuivi est d’étendre les résultats établis pour les systèmes usuels à la classe, plus générique, des systèmes singuliers (il est évident que tout résultat établi pour les systèmes singuliers est valable pour un système usuel, il suffit de fixer E =In).
Chapitre 3
Placement optimal de capteurs et
d’actionneurs pour systèmes singuliers
Dans cette partie on propose deux algorithmes complémentaires pour répondre au pro-blème du placement de capteurs et/ou d’actionneurs pour systèmes singuliers. Les mé-thodes proposées sont fondées sur une approche énergétique. En effet, nous déterminons les variables qu’il est le plus intéressant de contrôler et de mesurer dans le but de maxi-miser les transferts d’énergie entre le système et son environnement. Pour ce faire, nous généralisons l’interprétation énergétique des grammiens de commandabilité et d’observa-bilité, établie pour les systèmes usuels.
La première méthode proposée consiste à choisir l’emplacement des actionneurs (res-pectivement des capteurs) qui minimise l’énergie à transmettre par les actionneurs depuis l’environnement vers le système (respectivement, qui maximise l’énergie transmise par les capteurs, du système vers l’environnement).
La deuxième méthode suggère de choisir l’emplacement des capteurs et/ou des action-neurs qui maximisent le transfert d’énergie depuis les entrées de commande vers les sorties mesurées.
Introduction 41
3.1 Introduction
Généralement, la synthèse d’un régulateur suit une démarche que l’on peut diviser en plusieurs étapes. Premièrement, les objectifs de contrôle sont définis pour satisfaire un compromis entre les performances : temps de réponse, précision, etc et la robustesse de la régulation : gabarit frèquentiel des fonctions de sensibilité, rejet des perturbations, etc. Cette étape inclut la définition des variables à réguler. Deuxièmement, il faut déterminer un modèle mathématique du système physique, linéaire ou non, invariant dans le temps ou non, etc. Troisièmement, la structure du contrôleur est choisie. Le placement optimal de capteurs et d’actionneurs a pour objectif de déterminer les grandeurs de commande sur lesquelles le contrôleur va agir et les grandeurs mesurées à partir desquelles la loi de commande sera calculée. Après quoi, le régulateur est synthétisé. La méthode de synthèse est choisie en fonction des objectifs et de la classe du modèle. Enfin, après une étape de validation en simulation, la loi de commande est implémentée sur le processus.
Le choix du placement des capteurs et des actionneurs est donc une étape essentielle puisqu’elle conditionne en partie les performances du système contrôlé. Notons que même dans le cas où toutes les grandeurs sont mesurées, il peut être préférable d’en sélectionner un nombre inférieur pour réduire la complexité du contrôleur et réduire les coûts de fonctionnement et de maintenance.
Pour les systèmes non singuliers, de nombreuses techniques existent pour répondre à ce problème, [Van de Wal et De Jager, 2001] en proposent une synthèse. La plus simple consiste à assurer un chemin causal le plus court possible, depuis les commandes vers les sorties [Govind et Powers, 1982]. On peut chercher à placer les zéros de la matrice de transfert, pour éviter de limiter les performances en boucle fermée, comme le pro-posent [Samar et Postlethwaite, 1994]. Les capteurs et les actionneurs peuvent être choi-sis de manière à minimiser le coût de la commande ou plus généralement un critère quadratique en fonction de la commande et de l’état dans le cas d’un régulateur LQR [Al-Sulaiman et Zaman, 1994], ou d’un retour de sorties [Fahroo et Demetriou, 1999]. De manière duale, on peut faire porter le critère sur la qualité de l’estimation, par exemple [Kumar et Seinfeld, 1978] définissent un coût portant sur l’erreur d’estimation d’un ob-servateur optimal. D’autres méthodes proposent de choisir les composants tels qu’il existe
une solution au problèmeH∞standard avec la plus petite normeH∞du système en boucle
fermée [Leeet al., 1995]. Enfin, on peut chercher à assurer la commandabilité et l’obser-vabilité de l’état à la fois, bien sûr qualitativement, mais également quantitativement [Georges, 1995]. En revanche, dans le cas des systèmes singuliers, à notre connaissance, le problème n’a pas été abordé.
D’après [Reeves, 1991] et [Van de Wal et De Jager, 2001], une méthode de placement de capteurs et d’actionneurs doit satisfaire certaines propriétés. Tout d’abord, elle doit être justifiée par un argumentaire théorique, ensuite sa mise en œuvre ne doit pas demander de calculs trop importants. La possibilité d’appliquer un algorithme de placement de capteurs et d’actionneurs doit être indépendant de la classe de modèle choisi pour représenter le système, ainsi que du type de contrôleur mis en œuvre. Enfin, il est préférable de ne pas devoir tester toutes les combinaisons possibles de capteurs et d’actionneurs, avant de pouvoir déterminer quel est le choix optimal.
D’après [Van de Wal et De Jager, 2001], au vu de ces critères, les méthodes basées sur l’optimisation de la contrôlabilité et de l’observabilité de l’état s’avèrent être parmi
les deux classes les plus efficaces. C’est donc cette approche que nous avons choisi de développer pour les systèmes singuliers.
L’approche proposée dans cette partie peut être considérée comme une généralisation aux systèmes singuliers de la méthode proposée dans [Georges, 1995] pour les systèmes non singuliers linéaires. Comme dans le cas des systèmes non singuliers on quantifie la commandabilité et l’observabilité par leurs grammiens respectifs. En effet, en utilisant le développement en série de Laurent d’un faisceau matriciel régulier, il est possible d’étendre la notion de grammien aux systèmes algébro-différentiels [Bender, 1987].
Nous montrerons que ces grammiens peuvent être déterminés en résolvant des équa-tions de type Lyapunov et que l’interprétation énergétique des grammiens est aussi valide dans le cas des systèmes singuliers. En effet, dans le cas des systèmes à temps discret, on peut montrer que l’énergie de commande nécessaire pour atteindre un état donné est inversement proportionnelle au grammien de commandabilité, et que l’énergie collectée en sortie due à une condition initiale est proportionnelle au grammien d’observabilité. Une première méthode consiste à ramener le problème de placement optimal de capteurs et d’actionneurs (POCA) à la maximisation des grammiens, afin d’optimiser les échanges
d’énergie entre le système et son environnement [Marx et al., 2002]. Une deuxième
mé-thode est fondée sur l’introduction des grammiens équilibrés pour systèmes singuliers, leur maximisation assure de contrôler et d’observer efficacement la même partie de l’état et donc de transmettre optimalement l’énergie de commande vers les sorties à réguler
[Marxet al., 2004]. Dans le cas de systèmes de grandes dimensions, ce type de méthode
peut avoir une combinatoire élevée, on verra que la formulations adoptée rentre dans le cadre de l’optimisation entière. Il est dès lors possible d’utiliser des techniques connues, telles que celles de branchements & évaluations pour réduire significativement le coût calculatoire.