4. Conception robuste et analyse modale 124
4.4 Conclusion
Dans ce chapitre, l’effet des incertitudes sur les matériaux et les paramètres géométriques, vis-à-vis de la dispersion de la fréquence propre est analysé. La propagation des incertitudes est effectuée soit par la méthode des éléments finis stochastiques spectrale, soit par la méthode de Monte-Carlo. L’analyse des systèmes montre l’intérêt de la conception robuste. Elle fournit des informations utiles sur la variabilité des fréquences propres. De plus, elle permet de choisir les paramètres qui contrôlent la fiabilité du système. En comparaison avec la conception déterministe, l’analyse probabiliste offre un outil puissant pour la conception robuste des systèmes soumis aux charges dynamiques.
La MEFSS permet d’avoir à moindre coût les moments de la réponse (moyenne et écart-type) des valeurs propres en vue de pouvoir traiter des problèmes d’optimisation avec plusieurs fonctions objectifs. Nous avons montré par ces résultats que les méthodes de conception robustes ont un grand potentiel dans le domaine de la dynamique des structures.
Conclusion générale
Les méthodes d'éléments finis stochastiques (MEFS) sont des alternatives aux méthodes de Monte-Carlo, notamment pour le traitement des problèmes de propagation d'incertitudes dans les modèles mécaniques. Dans ce mémoire, nous avons proposé une méthode d’éléments finis stochastiques spectraux pour la résolution des problèmes aux valeurs propres. Cette méthode est basée sur une projection sur un chaos polynomial homogène. Le schéma de résolution est adapté au calcul des valeurs propres ainsi qu'aux modes propres aléatoires.
Après avoir défini le concept de l’étude stochastique permettant de représenter les incertitudes de la structure étudiée, divers outils mathématiques ont été introduits pour la description de ces incertitudes. L'étude bibliographique nous a conduit à une classification des MEFS. Il peut être utile de distinguer les MEFS modifiant ou non le modèle. La MEFSS présente l'avantage de pouvoir prendre en compte un grand nombre de v.a, ces dernières pouvant résulter, par exemple, de la discrétisation d'un champ aléatoire.
Nous nous sommes ensuite intéressés à l'élaboration d'une MEFSS pour l’analyse modale des structures linéaires avec incertitudes. La MEFSS est formulée pour l’analyse de la propagation des incertitudes dans les problèmes aux valeurs propres, où l'aléa porte sur le module d'élasticité et sur la masse volumique. Ces paramètres sont modélisés soit par des variables aléatoires (gaussiennes ou lognormales) soit par des processus (gaussiens ou lognormaux). Le calcul des valeurs et des modes propres utilise une double projection sur une base modale déterministe, et sur le chaos homogène. Cette méthode permet de se ramener à la résolution d'un système non linéaire de faible taille, même si le problème éléments finis est de taille importante. On peut alors trouver à moindre coût les moments correspondant aux valeurs et aux vecteurs propres, soit de façon analytique, soit par une rapide simulation de Monte-Carlo. Cette méthode permet d'obtenir, non seulement les moments de la réponse, mais également sa densité de probabilité, constituant ainsi un outil intéressant pour les analyses de fiabilité et de sensibilité.
La méthode proposée est ensuite mise en œuvre sur plusieurs exemples d'application, afin de montrer son efficacité, et ses performances. Après l’analyse d’une structure simple composée de deux barres articulées, nous avons étudié une plate-forme à trois étages. Les paramètres incertains du module d'élasticité et de la masse volumique sont modélisés par une famille de v.a. gaussiennes ou lognormales. Les processus stochastiques ont été validés sur l’exemple d’une barre en traction dont le module d’élasticité et la masse volumique sont aléatoires. Enfin la MEFSS est appliquée à la ligne d’échappement d’une voiture.
La mise en oeuvre de la méthode et sa comparaison avec les résultats de référence obtenus par les simulations de Monte-Carlo montrent l'efficacité et la bonne précision de cette méthode, aussi bien pour le calcul des valeurs propres que pour le calcul des modes propres. Dans ces exemples d'application, le coût de la MEFSS proposée paraît minime par rapport à celui des simulations de Monte-Carlo.
Finalement, nous avons étudié l’extension de La MEFSS pour traiter des cas d’études qui relèvent de la conception robuste. Deux applications sont concernées : un système d’amortissement et une ligne d’échappement.
Cette étude relève un certain nombre d’éléments susceptible d’être améliorés.
Tout d’abord, le choix des lois de probabilité pour la modélisation des incertitudes doit être étudié de manière plus approfondie afin d’améliorer la précision des résultats obtenues. Nous avons vu dans les exemples la nécessité de quantifier à quel point les développements utilisés du processus d’entrée et de la réponse permettent une vision réaliste de la variabilité de la réponse de la structure considérée. En effet, dans ces problèmes, le nombre de v.a. est important du fait de la nécessité de construire des approximations de ces champs sous la forme de développements en séries tronquées contenant beaucoup de v.a. en général. Nous avons néanmoins constaté l’effet de ces développements sur l’exactitude de la réponse, et il serait donc intéressant de mener des études complémentaires dans cette voie.
De plus, il serait intéressant de tester dans de futurs travaux la qualité d’estimation de la densité de probabilité dans le conteste du calcul fiabiliste. Il faudra en effet vérifier que la qualité des queues de distribution est satisfaisante pour le calcul de la probabilité de défaillance.
Enfin, il nous faut citer que dans ce mémoire, seules les incertitudes concernant les rigidités et les masses structurales sont prise en compte. Il reste à envisager son extension à la description des incertitudes concernant les excitations et l’environnement dans le contexte d’une analyse de la réponse dynamique au cours du cycle de vie de la structure.
Bibliographie
[Al v98] Alv in K. F. Effi cie nt com put atio n of eig enve cto r sens iti viti es for stru ctu ral
dynami cs. AIAA Jour nal , 35 (11): 1760 , 1998 .
[Am i06 ] Ami rat A., Moh ame s -Cha tea une uf A. and Chao ui K. Reli abil ity ass ess ment
of und ergr ound pipelines und er the combined eff ect of acti ve corr osion and resi dual stress . Inte rna tional Jour nal of Pressure Vessels and Pip ing,
83: 107 -117, 2006 .
[An d99] And ers M. and Hori M. Sto chas tic fin ite ele men t met hod for elas to-pla stic
bod y. Int erna tio nal Jour nal of Numeri cal Meth ods in Engi neering, 46(11):
189 7-1916 , 199 9.
[An d01] And ers M. and Hor i M. Thr ee dim ensi onal sto cha sti c fin ite ele ment met hod
for elas to -plastic bodi es. Inte rnational Journal of Num eric al Meth ods in Eng ine erin g, 51: 449-478, 2001 .
[Au 99 ] Au S.K . and Beck J.L. A new adap tat ive impo rta nce -sam pli ng sch eme for
rel iability cal cula tions. Struct ural Safety , 21: 135-158, 1999 .
[Ba e81] Baec her G. B. and Ingr a T. S. Sto cha sti c FEM in sett lem ent pred ict ion s.
Journal of the Geotechnical Engi neerin g Divi sio n, 107( 4): 449 -463, 198 1.
[Ba i00] Bai Z., Dem mel J., Dong arr a J., Ruh e A. and Van der Vor st H. Temp lat es
for the solution of algebraic eige nvalue proble ms: a pra ctic al gui de.
SIAM , Phi lad elph ia, 2000 .
[Ba r05] Baro th J. Anal yse par élé men ts fin is sto chas tiq ues de la pro paga tion
d’i ncertitudes dans un mod èle méca nique non lin éair e. Thès e de doct orat,
Uni ver sit é Blai se Pas cal -Cle rmon t Ferr and II, 200 5.
[Ba r07 a] Baro th J., Bres sol ette Ph. ,Ch auvi ère C. and Fogl i M. An effi cien t SFE
Method using Lagrange Pol ynomial : Appl icat ion to nonl inea r mech ani cal pro blem s with uncerta in paramet ers . Comput er Methods in App lied Mech ani cs and Engi neer ing , 196 (45 -48): 4419 -442 9, 2007 .
[Ba r07 b ] Baro th J., Bod é L., Bre sso lett e Ph. and Fogl i M. Num eric al con verg enc e of
a Spectra l Stochastic Finite Element Meth od (SSF EM) in lognor mal context. Int erna tional Con fer ence on Appl icat ions of Statistic s and Pro babi lity, 2007 .
[Ba t76] Bat he K.J . and Wil son E. Num eric al meth ods in fin ite ele ment ana lysi s. Pre nti ce -Hal l, Engl ewoo d Cli ffs, 197 6.
[Be n88 ] Bena roya H. and Reha k M. Fin ite ele ment meth ods in pro bab ili sti c
str uctu ral anal ysis : A sel ective re view. Appl ied Mechani cs Rev iew, ASM E,
41( 5): 201 -213, 198 8.
[Bo u03] Bou card P.-A. and Cham pan ey L. A sui tab le comp uta tio nal str ate gy for the
par ametric anal ysis of problem s with mult iple cont act s. International Journal for Num eric al Methods in Engi neering , 57(9): 1259 -1281 , 2003 .
[Bo u06] Bou aza ra M., Ric har d M. J. and Rak hej a S. Saf ety and conf ort anal ysi s of
a 3-D vehicl e mode l with optimal non-linear acti ve seat suspens ion. Journal of Terram echanics , 43: 97-118, 200 6.
[Br e95] Bren ner C. and Buch er C. A c ont rib uti on to the SFE -bas ed reli abi lity
ass essment of nonlinear structu res under dyna mic loading . Jour nal of Eng ineerin g Mech ani cs, 10: 265 -273, 1995 .
[Br e96] Brez ins ki C. Extr apol ation algorithms and Pad é app roxi mati ons: a historica l sur vey . App lied Numeri cal Math emat ics, 20: 299-318, 1996 .
[Ch a 91] Cha ng C.C . and Yan g H. Rand om vibr ati on of fle xibl e, unc erta in bea m
element. Jour nal of Engi neering Mech anics, 117 (10): 2329 -2350 , 1991 .
[Ch e02] Che bli H. Modé lis atio n des inc erti tud es aléa toi res non hom ogèn es en
dynami que des struct ures pou r le doma ine des bas ses fréq uences . Thèse de
doc tor at, Con ser vato ire Nat ion al des Arts et des Méti ers – Offi ce Nati onal d’E tud es et de Rec her che Aér osp ati ale s, 200 2.
[Ch e05] Che ng J. and Xiao R. -C. Prob abi list ic free vib rati on and flu tter anal yses
of suspens ion bridges. Eng ine erin g Struct ures, 27: 1509 -1518 , 2005 .
[Ch e06] Che n S. H., Zhan g X. M. and Che n Y. D. Int erv al eig enva lue s of clo sed
-loo p sys tems of uncerta in struct ures . Com pute rs and Struct ures , 84:
243-253 , 2006 .
[Ch e09] Che n S. H., Ma L., Men g G. W. and Guo R. An eff ici ent meth od for
evalua ting the natural fre quencie s of stru ctu res with uncerta in but -bou nded parameters . Comput ers and structu res , 87: 582-590, 2009 .
[De a 04] Dea n A. M. and Lewi s S. M. Scr eeni ng. Spri nger Ver lag, 200 4.
[De o89 ] Deo dat is G. Sto cha sti c FEM sens iti vit y ana lysi s of non lin ear dyn ami c
[De o90 a] Deo dat is G. Boun ds on Res pons e Vari abi lit y of Sto cha sti c Fin ite Elem ent s
System s. Jou rnal of Engi neerin g Mechanics , 116(3): 565-585, 199 0.
[De o90 b] Deo dat is G. Boun ds on Res pons e Vari abi lit y of Sto cha sti c Fin ite Elem ent s
Systems: effect of statistical dependence . Pro babi listic Engi neer ing Mech ani cs , 5(2): 88-98, 199 0.
[De o91a ] Deo dati s G. The wei ght ed int egra l met hod . I: Sto cha sti c sti ffn ess mat rix .
Journal of Engi neering Mech ani cs , ASCE, 117(8): 1851-1864 , 199 1.
[De o91b] Deo dat is G. The wei ght ed int egra l met hod . II: Res pon se var iab ilit y and
reliability . Jou rnal of Engi neerin g Mechanics , ASCE, 117 (8): 1865-187 7,
199 1.
[De r88] Der Kiu regh ian A. and Ke J. B. The sto chas tic fin ite ele men t meth od in
str uctu ral reli ability. Pro babi list ic Engi neering Mech anics , 3(2): 83-91,
198 8.
[De r04] Der aem aek er A., Lade vèz e P. and Rom euf T. Mod el vali dat ion in the
presence of uncerta in experi mental data. Eng ine erin g Computations,
21( 8): 808 -833, 200 4.
[Di d97] Did rit O. Anal yse par int erva lles pour l’a utom ati que ; Réso lut ion glo bal e
et garantie de problèm es non linéair e en rob otique et en comm and e r obu ste. PhD the sis, Uni versité de Pari s -Sud, UFR sci enti fiqu e d’Or say,
199 7.
[Di t96 ] Dit levs en O. and Mads en H. O. Str uctu ral Reli abi lit y Meth ods. Joh n Wil ey and Son s, 1996 .
[El i79] Eli shak off I. Sim ula tion of spa ce -ran dom fiel ds for sol uti on of sto chas tic
bou ndar y-val ue pro blem s. Journal of the Acou stical society of Amer ica ,
65( 2): 399 -403, 197 9.
[El i95 ] Eli shak off I., Ren Y. J. and Shi nozu ka M. Impr ove d fin ite ele ment met hod
for stochas tic problem s. Chaos, Solitons and Frac tals, 5(5): 833 -846 ,
199 5.
[F al0 2] Fal son e G. and Impo llo nia N. A new appr oach for the sto chas tic anal ysis
of finite element mod elled struct ures with unce rta in par amet ers . Comput er Method s in Appl ied Mech ani cs and Engi neering, 191: 506 7-508 5, 2002 .
[Fa l04 ] Fal son e G. and Impo llo nia N. Abo ut the accu rac y of a nov el resp ons e
sur face method for the ana lysi s of finite element mod elle d unce rta in str uctu res . Probabilistic Eng ine erin g Mech anic s, 19: 53-63, 200 4.
[Fa r89] Fara vel li L. Res pon se Sur face app roa ch for reli abi lit y anal ysis . Jour na l of
Eng ine erin g Mech ani cs, 115( 12): 2673-2781 , 198 9.
[Fi e04] Fie ld R.V . and Gri gori u M. On the acc urac y of the pol yno mial cha os
[Fi s96] Fis hma n G. S. Mont e Car lo: Con cep ts, Alg ori thm s and Appl icat ion s. Spr inge r Ver lag, 199 6.
[Fo x68 ] Fox R. L. and Kapo or M. P. Rat e of change of eig enva lues and eig envectors . AIAA Jour nal, 6(12 ): 242 6-2429 , 1968 .
[Ga o07 a] Gao W. and Kes sis sogl ou N. J. Dyn amic resp ons e anal ysis of sto cha sti c
tru ss structu res und er non-stationary random exci tation using the random fac tor meth od. Compute r Methods in Appl ied Mech ani cs and Engi neer ing,
196 (25 -28): 276 5-2773 , 200 7.
[Ga o07 b] Gao W. and Kes siss ogl ou N. J. Nat ura l freq uenc y and mod e sha pe anal ysis
of struct ures with unce rta inty. Mech anical syst em and signal processin g,
21( 1): 24 -39, 2007 .
[Ge r96] Ger adi n M. and Rix en D. Théo rie des vibr ati ons - Appl ica tio ns a la
dynami que des struct ures . Mass on, Paris, 1996 .
[Gh a91] Gha nem R. G. and Spa nos P. D. Sto cha sti c Fin ite Elem ent s: A Spec tra l
App roa ch. Spr inge r-Verlag, New York, 1991.
[Gh a96] Gha nem R. and Kur ger R. Num eric al sol uti on of spe ctra l sto cha stic fin ite
elements syst ems . Comput er Meth ods in App lied Mech ani cs and Eng ine erin g, 129: 289 -303 , 1996 .
[Gh a99a ] Ghan em R. Ing red ient s for a gene ral -pur pos e sto chas tic fin ite ele ment s
imp lementa tion. Comput ational Methods in Appl ied Mech anics and Eng ine erin g, 168: 19-34, 1999 .
[Gh a99b ] Gha nem R. and Red -Hors e J. Prop aga tio n of pro babi list ic unce rta int y in
comple x physica l syst ems using a sto chas tic finite element approa ch. Physic a D, 133: 137 -144, 1999 .
[Gh a99c ] Gha nem R. The Non lin ear Gaus sia n Spe ctru m Log nor mal Sto chas tic
Pro cesses . Journal of App lied Mech anics , 66(4):964-973, 1999 .
[Gh a99d ] Gha nem R. Sto cha sti c Fin ite Ele ment with Mult ipl e Rand om Non -Gaus sia n
Pro pert ies . Journal of Eng ine erin g Mech ani cs, 125( 1): 26-40, 1999 .
[Gh a02] Gha nem R. and Pel lis seti M. Adap tat ive ref ine ment in the spec tra l
sto chas tic fini te elem ent . Communica tion . Num eri cal Meth ods in Eng ine erin g, (18): 141-151, 2002 .
[Gh a05] Gha nem R., Mas ri S., Pel lis seti M. and Wol fe R. Identif icat ion and predic tion of stochas tic dynami cal sys tems in a pol ynom ial chao s bas is. Com puter Meth ods in App lied Mech anics and Engi neering , 194: 164
1-165 4, 200 5.
[Gh i02 ] Ghi oce l D.M . and Ghan em R. Sto chas tic fin ite ele men t anal ysi s of seis mic
66-[Go b01] Gob bi M. and Mast inu G. Anal yti cal des crip tio n and opt imi sat ion of the
dynami c behavio ur of pas sive ly sus pend ed road vehicl es. Journal of Sou nd and Vibrations , 245 (3): 457-481 , 2001 .
[Go b06] Gob bi M., Levi F. and Mas tin u G. Mul ti-obje cti ve sto cha sti c opt imi sat ion
of the suspension syst em of road vehicles . Journal of Soun d and Vib rations, 298: 1055-107 2, 200 6.
[Go n05] Gon tie r C. Ener geti c cla ssi fyin g of vibr ati on mod es in sub spa ce stoc has tic
mod al anal ysi s. Mech ani cal syst ems and signal pro cess ing, 19(1): 1-19,
200 5.
[G on06 ] Gon tie r C., Geo rge D. and Raf fy M.Ene rge tic mod e cont rib utio ns in
sto chas tic mod al anal ysi s: An appl icat ion to mod e cla ssifica tion. Jour nal of Soun d and Vibration , 294 (4-5): 944 -965, 2006 .
[Gr a98] Gra ham L.L. and Deo dat is G. Vari abi lit y res pons e fun ctio ns for sto chas tic
pla te bending pro blem s. Structu ral Safety, 20: 167 -188, 1998 .
[Gr a01] Gra ham L.L. and Deo dat is G. Res pon se and eig enva lue anal ysi s of
sto chas tic finite element sys tems with mul tiple correla ted materia l and geometrica l propert ies . Pro babilis tic Engi neer ing Mech anics, 16: 11 -29,
200 1.
[Gr i91] Gri met te G. R. and Sti rza ker D. R. Prob abi lit y and Rand om Pro ces s. Oxf ord Sci enc e Pub lic ati on, 199 1.
[Gu e06] Gue dri a M., Bou hadd ib N. and Maj ed R. Redu cti on of the sto cha stic fin ite
element mod els using a rob ust dyna mic cond ensation meth od. Jour nal of Sou nd and Vibratio n, 297: 123-145, 2006 .
[He 00] He J. -H. A new pert urb ati on tec hni que whi ch is als o val id for lar ge
par ameters . Jour nal of Sou nd and Vibration, 229 (5): 1257-1263 , 2000 .
[He l 03] Hel ton J. C. and Davi s F. J. Lat in hyp erc ube sam pli ng and pro paga tio n of
uncert ainty in anal ysis of comp lex syst ems. Reliability Engi neering and System Safety , 81: 23-69, 2003 .
[He m01] Heme z F. M., Wil son A. C. and Doe bli ng S. W. Desi gn of com put er
experi ments for improvi ng an imp act test simula tion. Pro ceed ing of the
19t h Inte rna tio nal Mod al Anal ysis Con fere nce (IMA C-XIX) , 977-985, Flo rid e, 200 1.
[He m04] Hem ez F. M., Doe blin g S. W. and And erso n M. C. A bri ef tut ori al on
verifi cati on and vali dation . Pro ceed ing of the 22n d Inte rnational Mod al
Ana lysi s Con fer enc e (IMA C-XXII ), Mic hig an, 200 4.
[Hi e90] Hie n T. D. and Klei ber M. Fin ite ele ment ana lysi s bas ed on stoc has tic
Hamilton vari ational princip le . Com puters and Struct ures, 37(6 ): 893-902,
[Hu m99 ] Hum ber t L. Rec ala ge des modè les élém ents fin is à par tir de mesu res
vib ratoires. PhD thesis, Ecole Central e de Lyon , 1999 .
[Ibr 87] Ibra him R. A. Str uct ural dyna mic s with par amet ers unc erta int ies. App lied
Mech ani cs Revi ew, ASME, 40(3 ): 309 -328, 1987 .
[Iem 06] Iemm a U., Mori no L. and Diez M. Digi tal hol ogr aphy and Kar hun
en-Loè ve decomp ositi on for the moda l anal ysis of two -dime nsional vibr ating