La Figure 37, correspondant au schéma structurel du développement d'un modèle analytique pour les MSAPs sans pièces polaires à inducteur intérieur ou extérieur, permet de conclure sur le travail de recherche effectué dans ce deuxième chapitre. Ce schéma structurel permet de clarifier les premières étapes de la mise en œuvre du modèle analytique pour les machines électriques tournantes rapides.
Les apports personnels sont multiples et résident principalement dans le développement d'un ensemble de modèles pour la caractérisation électromagnétique de tels actionneurs présentant les originalités suivantes :
- des modèles analytiques en 2D formulés en coordonnées polaires à partir des équations de Maxwell en électromagnétisme. Ces modèles sont du type magnétostatique [98] et
magnétodynamique en présence des courants de Foucault dans les domaines conducteurs (i.e., dans les aimants permanents et dans la culasse rotorique) [101]. Un autre modèle analytique en magnétodynamique en négligeant l'influence des courants de Foucault a été développé dans l'Annexe F . Ces différents modèles permettent de modéliser le potentiel vecteur magnétique total dans trois régions concentriques homogènes, à savoir dans l'entrefer fictif (l'entrefer réel corrigé par le coefficient de Carter classique Kc : Passage d'une structure réelle à une structure sans encoches), dans la couronne aimantée et dans la
culasse rotorique. La modélisation électromagnétique est générale dans le sens où elle est applicable à des machines synchrones bipolaires ou multipolaires à aimants permanents montés en surface sans pièces polaires à inducteur intérieur ou extérieur, possédant une
Type de modélisation • Analytique ; • Semi-numérique ; • Numérique.
Modélisation géométrique • Inducteur (Rotor et Aimants permanents) ; • Induit denté (Stator et Bobinage) ; • Entrefer réel ;
• Masse totale des parties actives ; • Moment d’inertie des masses tournantes.
1
Logiciels numériques (Éléments finis, différences finies
ou intégrale au frontière) Validation numérique
Type d’alimentation • Sinusoïdal ;
• Rectangulaire (Pleine onde du type 120°). 4
Annexe C
• Radiale ; • Parallèle.
Type d’aimantation des aimants permanents 3
Annexe B
• Aimants permanents (Température, Désaimantation, Direction d’aimantation, Conductivité électrique) ; • Matériaux ferromagnétiques doux (Tôles statoriques, Acier rotorique).
Modélisation magnéto-thermique des matériaux ferromagnétiques 2
Annexe B
Modélisation de la répartition des courants (r.c.) de l’induit • Bobinage imbriqué à plusieurs couches ; • Pas de bobinage (Diamétral, Raccourci, Allongé) ; • Atténuation des harmoniques de denture (Action globale).
5
Annexe C
( )
g
i t
Validation numérique par Flux2D Analytique
Numérique
u 0 bat
P , N , U . Machines synchrones à aimants permanents montés en surface
à inducteur intérieur et extérieur
Bi & Multipolaire Structures étudiées (p 1≥ ) • • Θ ruΘur z x y • •
Cahier des charges :
Modélisation électromagnétique • Équations de Maxwell en électromagnétique ;
• Modélisation analytique en 2D (les effets de bord négligés) formulée en coordonnées polaires ;
• Découpage généralisé et en couches concentriques des structures étudiées ;
• Hypothèses d’homogénéisation (dans la couronne encochée et dans la couronne aimantée) ;
• Structure équivalente sans encoches (Coefficient de Carter classique Kc) ¾ Stator équivalent lisse ;
• Densité linéique de courant produit par les m phases du bobinage de l’induit ;
• Régions d’étude (Région I : l’entrefer fictif, Région II : la
couronne aimantée et Région III : la culasse rotorique) ; • Résolution en magnétostatique dans les régions d’étude (Équations de Laplace et de Poisson) du potentiel vecteur magnétique ;
• Résolution en magnétodynamique dans les régions d’étude (Équation de Laplace et de Diffusion) du potentiel vecteur magnétique : 6 Annexe D, E et F Θ ruΘur z x y • • • • rsta µ → +∞ ¾Effet de saillance de
l’induit denté négligé
1/ Influence des courants de Foucault : ;
2/ En négligeant les courants de Foucault [Annexe F] : . σ σ Effets de saillances négligés ( ) z m s J• Θ, t ( ) z s a r Aj T ,r,Θ, t i ( ) z d s d A r, , t A σ σ Θ j j ( ) z s r,Θ, t ( ) r / ra a r B ΘiT,Θ ( ) c s, t δ Θ ( ) g m s C Θ Vers Chapitre 3 Matériaux ( ) 0.9 k a H T
Figure 37 : Schéma structurel correspondant au développement d'un modèle analytique pour les machines synchrones à aimants permanents (MSAPs) montés en surface à inducteur intérieur ou extérieur.
direction d'aimantation des aimants permanents radiale ou parallèle, alimentées avec des courants d'alimentation sinusoïdaux ou rectangulaire (créneaux de 120 °) ;
- les équations formelles du potentiel vecteur magnétique total sont développées à partir de ratios adimensionnels complexes [Équations (162)] et réels [Équations (164)] relatifs aux différentes régions d'étude.
- CHAPITRE 3 -
DÉTERMINATION ANALYTIQUE
DES GRANDEURS LOCALES ET INTÉGRALES
DES MACHINES SYNCHRONES
À AIMANTS PERMANENTS
SANS PIÈCES POLAIRES
À INDUCTEUR INTÉRIEUR OU EXTÉRIEUR
"Je suis un enfant de mon époque. Je dois me contenter d'être assis entre deux chaises que sont le Savoir et l'Ignorance",
- TABLE DES MATIÈRES -
I. Introduction ... 105
II. Représentation des grandeurs locales dans les structures étudiées ... 105
II.1. Introduction ... 105
II.2. Induction magnétique totale dans chaque région d'étude ... 105
II.2.1. Introduction ... 105 II.2.2. Induction magnétique en magnétostatique ... 105II.2.2.1. Expression analytique de l'induction magnétique en magnétostatique ... 105 II.2.2.2. Validation analytique-numérique de l'induction magnétique en magnétostatique... 107 II.2.2.3. Maximisation de l'induction magnétique en magnétostatique dans l'entrefer fictif... 113
II.2.2.3.1. Introduction ...113
II.2.2.3.2. Existence d'un ratio adimensionnel réel maximal relatif à la couronne aimantée...113 II.2.2.3.3. Interpolation numérique de l'épaisseur maximale d'aimant permanent...118
II.2.3. Induction magnétique en magnétodynamique ... 123
II.2.3.1. Expression analytique de l'induction magnétique en magnétodynamique ... 123 II.2.3.2. Validation analytique-numérique de l'induction magnétique en magnétodynamique ... 125
II.2.4. Induction magnétique totale ... 128
II.3. Champ magnétique total dans chaque région d'étude ... 128
II.3.1. Champ magnétique en magnétostatique... 128 II.3.2. Champ magnétique en magnétodynamique... 130 II.3.3. Champ magnétique total... 131II.3.3.1. Expression analytique du champ magnétique total... 131 II.3.3.2. Prise en compte des problèmes de démagnétisation des aimants permanents... 131
II.3.3.2.1. Introduction ...131
II.3.3.2.2. Détermination du risque de désaimantation ...132
II.4. Grandeurs locales déterminées à partir du théorème de Faraday et de la loi
d'Ohm... 136
II.4.1. Champ électrique dans chaque région d'étude ... 136 II.4.2. Densité surfacique de courant par courants Foucault dans chaque région d'étude ... 137 II.4.3. Validation analytique-numérique des grandeurs locales dites électriques... 138
III. Représentation des grandeurs intégrales dans les structures étudiées ... 140
III.1. Introduction ... 140
III.2. Flux magnétique totalisé traversant une phase quelconque du bobinage de
l'induit ... 141
III.2.1. Décomposition en flux magnétiques principaux... 141 III.2.2. Flux magnétique principal en magnétostatique ... 142
III.2.2.1. En négligeant le débordement des aimants permanents... 142 III.2.2.2. Prise en compte du débordement des aimants permanents ... 143 II.2.2.2.1. Développement du coefficient tridimensionnel (les effets d'extrémités) ...143
II.2.2.2.2. Expression générale du flux magnétique principal en magnétostatique ...146 III.2.2.3. Validation analytique-numérique du flux magnétique principal en magnétostatique.. 146
III.2.3. Flux magnétique principal en magnétodynamique ... 147
III.2.3.1. Expression générale du flux magnétique principal en magnétodynamique ... 147 III.2.3.2. Validation analytique-numérique du flux magnétique principal en magnétodynamique....149
III.2.4. Flux magnétique totalisé ... 150
III.3. Flux magnétique totalisé dans l'induit denté... 150
III.3.1. Introduction ... 150 III.3.2. Généralisation ... 150 III.3.3. Flux magnétique totalisé dans l'ensemble isthmes-dent... 152III.3.3.1. Expression générale du flux magnétique dans l'ensemble isthmes-dent ... 152 III.3.3.2. Contrainte magnétique pour le dimensionnement de l'ensemble isthmes-dent...153
III.3.4. Flux magnétique totalisé dans la culasse statorique ... 156
III.3.4.1. Expression générale du flux magnétique dans la culasse statorique ... 156 III.3.4.2. Contrainte magnétique pour le dimensionnement de la culasse statorique ...157
III.3.5. Validation analytique-numérique dans les différentes parties de l'induit denté... 158
III.4. Couple électromagnétique des structures étudiées ... 162
III.4.1. Introduction ... 162 III.4.2. Utilisation du tenseur de Maxwell ... 163III.4.2.1. Décomposition du couple électromagnétique ... 163 III.4.2.2. Couple électromagnétique normal... 164 II.4.2.2.1. Expression générale du couple électromagnétique normal ...164 II.4.2.2.2. Validation analytique-numérique du couple électromagnétique normal...165 III.4.2.3. Couple électromagnétique supplémentaire... 166 II.4.2.3.1. Expression générale du couple électromagnétique supplémentaire ...166 II.4.2.3.2. Validation analytique-numérique du couple électromagnétique supplémentaire ...169 III.4.2.4. Couple électromagnétique ... 169
III.4.3. Atténuation des harmoniques de denture du couple réluctant ... 170
IV. Représentation des grandeurs électromagnétiques à partir des grandeurs
intégrales ... 171
IV.1. Introduction ... 171
IV.2. Force électromotrice induite dans une phase quelconque ... 172
IV.2.1. Expression générale de la force électromotrice... 172 IV.2.2. Validation analytique-numérique de la force électromotrice... 173IV.3. Les différentes inductances dans les structures étudiées ... 174
IV.3.1. Introduction ... 174 IV.3.2. Remarque sur l'influence des courants de Foucault dans la partie tournante sur les différentes inductances... 175I. Introduction
e présent chapitre complète le développement du modèle analytique par la détermination et l'étude des grandeurs électromagnétiques locales et intégrales dans les MSAPs sans pièces polaires à inducteur intérieur ou extérieur. La modélisation électromagnétique, qui s'appuie sur le calcul exact du potentiel vecteur magnétique en 2D, formulé en coordonnées polaires à partir des équations de Maxwell en électromagnétisme, permet de déterminer tout d'abord les expressions formelles des inductions magnétiques totale dans les différentes parties des MSAPs. Celles-ci permettront d'établir les contraintes relatives à la démagnétisation des aimants permanents ainsi que les relations de dimensionnement du circuit magnétique. La connaissance des différentes inductions magnétiques qui sont à l'origine des différents flux magnétiques permettent de déterminer implicitement les expressions analytiques du couple électromagnétique, de la force électromotrice (f.e.m.) et des différentes inductances dans les machines électriques tournantes. Ce troisième chapitre est considéré comme l'étape principale de la mise en place du modèle analytique.