Conclusion du chapitre

Un des premiers enjeux permettant de prendre en compte toute l'inter-connectivité et l'interdépendance associée au réseau de distribution d'eau potable est de représenter les données sous la forme d'un réseau de graphe. Depuis l'émergence des réseaux sociaux beaucoup de travaux et de recherche dans le domaine de l'analyse des graphes ou de la théorie des graphes ont été eectués. La grande majorité de ces travaux se basent au

même titre que l'analyse des réseaux sociaux sur l'analyse de communauté qui permettent d'obtenir des informations sur la topologie du graphe an par exemple de détecter les points vulnérables du réseau de distribution d'eau potable [Wang et al., 2012], ou encore de déterminer la position optimale de poste de re-chloration dans un réseau de distribution d'eau potable [Said et al., 2016].

En conclusion, les travaux issus de la littérature nous ont permis de constater que des modèles de prédiction étaient déjà existants mais ne répondaient pas au problème d'estimation des paramètres d'exploitation (tel que le chlore) en tout point du réseau et en temps réel. En revanche les avancées scientiques sur l'analyse des réseaux de graphes nous invitent à transposer des méthodes d'estimations existantes au cas particulier d'un réseau de graphe. L'approche choisie est pluridisciplinaire en croisant à la fois des méthodes informatiques, statistiques et des méthodes empruntées au Big Data. La première phase consiste en la mise en place d'une architecture des données capable de prendre en compte l'ensemble des données hétérogènes pouvant être générées autour du contrôle et de la surveillance des réseaux AEP présentés dans la section précédente. La seconde phase consiste en l'application de méthodes an d'être capable de répondre à la problématique d'estimation en tout point et tout instant de paramètres clés liés à la gestion d'un réseau AEP.

Chapitre 2

Théorie des graphes et réseaux

d'alimentation en eau potable

Ce chapitre a pour but d'introduire le concept de graphes mathématiques et de don-nées structurées sous la forme d'un graphe. Nous présentons dans un premier temps les notations ainsi que quelques notions de base issues de la théorie des graphes.

Nous décrivons ensuite les données structurelles sélectionnées permettant la création des n÷uds et arêtes du graphe de terrain représentant un réseau AEP, ainsi que les données métrologiques pouvant être utilisées pour labéliser les éléments du réseaux. Nous analysons ensuite les propriétés structurelles des graphes an de caractériser un graphe et les connexions entre ses n÷uds. Une autre approche d'analyse de graphe associant la connectivité d'un graphe à l'analyse propre de certaines matrices telles que la matrice d'adjacence ou la matrice Laplacienne est aussi présentée.

Enn nous présenterons quelques concepts et algorithmes existants autour des réseaux AEP structurés sous la forme d'un graphe, ainsi que des applications réalisées à partir de cette structure de données pour répondre à des problématiques métiers.

2.1 Théorie des graphes et réseaux d'alimentation en

eau potable

Les bases de l'analyse des réseaux dans les sciences, en particulier le fondement ma-thématique de la théorie des graphes, sont souvent placées dans la solution d'Euler de 1735 au problème désormais célèbre du pont de Königsberg, dans laquelle il prouvait qu'il était impossible de parcourir les sept ponts de cette ville de manière à ne les traverser qu'une seule fois.

Les fondements mathématiques formels de la théorie des graphes sont posés dans les années 1800, D. König étant cité comme l'un des premiers architectes clés. C. Berge, R. Faure et A. Kaufmann en France, F. Harary, Ford Lester Randolph Jr. aux États-Unis, le polonais K. Kuratowski et le hongrois P. Erdös, sont également considérés comme les précurseurs du développement de la théorie des graphes et de ses applications au 20ème

siècle.

Les graphes peuvent être de diverses formes et tailles, mais il existe un certain nombre de types de graphe couramment rencontrés dans la pratique. Ces graphes sont regroupés

par famille ayant des topologies structurelles similaires, décrivant la manière dont leurs n÷uds et arêtes sont organisés. Il est intéressant de connaître ces diérentes familles car elles possèdent des propriétés spéciques permettant des analyses particulières.

On pourra citer par exemple les graphes homogènes ou réguliers reproduisant des sché-mas particuliers, les graphes hiérarchiques pouvant être découpés en niveaux ou couches hiérarchiques, les graphes polarisés qui eux sont tels que tous les sommets sont rattachés à un seul et même sommet central. Ces graphes sont considérés comme des objets mathé-matiques et ont été largement étudiés dans la littérature du fait de leurs caractéristiques. Ils ont permis notamment l'élaboration d'algorithmes optimisés en fonction de la nature du graphe.

Dans ces travaux nous nous concentrerons sur un type de graphe appelé graphe com-plexe dans le sens où leur structure est induite par leur nature technologique. Ces graphes sont considérés comme non triviaux car leurs formes ne suivent pas forcément un schéma particulier permettant de les faire gurer dans des familles déjà étudiées. On peut prendre l'exemple des réseaux de communication (téléphone, internet, etc.), réseaux de transport (routes, lignes aériennes, etc.) et des réseaux d'énergie (réseaux électriques, de gaz). La to-pologie de ces réseaux évolue en fonction des objectifs et des optimisations nécessaires. Par exemple la structure des réseaux d'eau potable évolue en fonction des modications de l'ar-chitecture de la ville et sa topologie est induite par des contraintes technico-économiques. Au cours des dernières décennies, l'étude des réseaux complexes s'est développée rapi-dement et a attiré de nombreux chercheurs de diérentes disciplines et domaines d'appli-cation. Les méthodes et outils de la théorie des réseaux complexes fournissent une capacité analytique permettant de concevoir, d'optimiser, d'exploiter et de maintenir ces types de réseaux. On peut citer par exemple, ( [Carreras et al., 2004,Zio and Golea, 2012a,Alipour

et al., 2013,Saniee Monfared et al., 2014]) pour les réseaux électriques, ( [Buckwalter,

2001,Shen and Gao, 2008,Bagler, 2008,Caschili and De Montis, 2013]) pour les réseaux

de transport et ( [Yazdani and Jerey, 2011,Shuang et al., 2014,Liu et al., 2015,Di Nardo

et al., 2017,Di Nardo et al., 2018]) pour les réseaux d'eau potable.