Dans ce chapitre, nous avons essay´e de r´esumer les outils th´eoriques de la dynamique quantique dont nous aurons besoin dans l’application du contrˆole optimal. Nous avons fait un rappel des ´equations d’´evolution qui permettent d’´etudier un syst`eme quantique. Nous
nous sommes polaris´es sur le cas o`u l’Hamiltonien d´epend du temps par l’interm´ediaire
d’un champ ´electrique trait´e de fa¸con classique. C’est le cas qui nous pr´eoccupera par la suite. Lorsque le syst`eme ´etudi´e est suppos´e ferm´e, les ´equations sont donn´ees dans le formalisme des paquets d’ondes. Sinon, les ´equations d’´evolution sont formul´ees dans une approche par matrice densit´e. L’approche des voies coupl´ees est abord´ee, dans l’objectif de
pouvoir comparer des dynamiques dissipatives avec des dynamiques o`u l’on tient compte
Chapitre 2
Contrˆole de syst`emes quantiques
Les recherches sur le contrˆole des ph´enom`enes quantiques ont d´ebut´e vers les ann´ees 80 et sont aujourd’hui d’une importance capitale pour le d´eveloppement des futures tech-nologies de pointes. De tels probl`emes se pr´esentent en effet en nanotechnologie et en informatique quantique. Au vue de l’int´erˆet grandissant du th`eme, plusieurs m´ethodes ont ´et´e d´evelopp´ees. Et parmi celles-ci, nous pouvons sans ˆetre exhautifs, citer :
– Le contrˆole coh´erent d´evelopp´e par M. Shapiro et son coll`egue, P. Brumer.
En-semble, ils ont tent´e de d´emontrer leur th´eorie du contrˆole coh´erent selon laquelle la phase relative entre deux sources de lumi`ere coh´erentes pouvait ˆetre ajust´ee pour contrˆoler la formation d’une certaine substance au cours d’un processus microsco-pique [36] .
– Le contrˆole par pompe-sonde A la mˆeme p´eriode que M. Shapiro et P. Brumer,
Tannor et Rice d´eveloppent l’id´ee de briser une liaison chimique bien cibl´ee `a l’aide de deux impulsions laser ultracourtes [37]. En consid´erant une mol´ecule triatomique ABC, leur principe ´etait bas´e sur le contrˆole du d´elai qui s´epare les deux impulsions (pompe et sonde). Ils ont montr´e que le contrˆole de ce delai permettait de casser la liaison AB pour obtenir un produit A+BC ou la liaison BC pour avoir un produit AB+C.
– Le contrˆole STIRAP (STImulated Raman-Adiabatic Passage) Cette m´ethode
a ´et´e d´evelopp´ee par Bergmann et ses collaborateurs [39, 40, 41, 42]. C’est une technique pompe-sonde sur un syst`eme `a trois niveaux dont le sch´ema mis en jeu est dit sch´ema contre-intuitif. Car l’impulsion de sonde doit pr´ec´eder celle de la pompe. Le lecteur qui voudrait avoir plus de d´etail sur la m´ethode STIRAP peut aussi consulter les r´ef´erences [43, 44].
– Le contrˆole optimal En 1986, Tannor et al. [38] avaient formul´e le probl`eme de
recherche d’impulsions optimales, sous un certain nombre de contraintes, comme un probl`eme variationnel. Leur formulation ´etait bas´ee sur la th´eorie des perturbations. C’est en 1988 que Rabitz et al. [45, 46, 47] ont eu l’id´ee d’utiliser les m´ethodes du contrˆole optimal pour calculer des champs ´electromagn´etiques qui puissent guider la dynamique d’un paquet d’ondes. Des vari´et´es de contributions et d’extensions de
cette m´ethode ont ´et´e apport´ees, par la suite, par d’autres groupes parmi lesquels nous pouvons citer celui de Manz [48, 49]. Dans le domaine du contrˆole des processus quantiques, la d´emarche du contrˆole optimal fait partie, aujourd’hui des m´ethodes les plus utilis´ees.
– Le contrˆole local Cette m´ethode [50] est tr`es proche de celle du contrˆole optimal.
Mˆeme si diff´erentes par la d´emarche, des ´etudes r´ecentes [51] ont montr´e que ces deux m´ethodes pr´esentent des caract´eristiques communes.
Dans une dynamique contrˆol´ee, le champ laser assiste toute la dynamique. Il est opti-mis´e pour cr´eer des interf´erences constructives dirigeant le paquet d’ondes vers les seules r´egions des surfaces d’´energie potentielle correspondant aux produits d´esir´es. Le champ canalise l’´energie du paquet d’ondes pour l’orienter vers un autre paquet d’ondes cible ou vers une vall´ee de dissociation pr´ecise ou, au contraire, pour lui en interdire l’acc`es. Le champ g`ere la comp´etition entre les processus de redistribution d’´energie ´electronique et vibrationnelle. Dans ce chapitre, nous pr´esenterons en d´etail les m´ethodes et les algo-rithmes de contrˆole avec lesquels nous avons travaill´e. En fonction des besoins dans nos applications, si n´ecessaire, nous d´ecrirons ces m´ethodes dans le formalisme des paquets d’ondes et dans celui des matrices densit´e. La premi`ere section pose le contexte dans le-quel se situe le probl`eme. Dans la seconde nous apportons la formulation math´ematique sous diff´erents aspects avec, `a chaque fois, la solution qui en d´ecoule et son algorithme de r´esolution num´erique.
2.1 Pr´esentation du probl`eme
Consid´erons un syst`eme quantique d´ecrit par un vecteur d’´etat|Ψ(t)i et dont l’´evolution
est d´ecrite par l’´equation (1.10) du chapitre pr´ec´edent plus une condition initiale ½
i∂
∂t|Ψ(t)i = [ ˆH0− ˆµ· ²(t)]|Ψ(t)i
|Ψ(0)i = |Φ0i, (2.1)
o`u |Φ0i est l’´etat initial, le champ ´electrique ²(t) est un param`etre ext´erieur au syst`eme
sur lequel il est possible d’agir. Dans le vocabulaire de la th´eorie du contrˆole optimal, on l’appelle une variable de commande ou contrˆole tout court. Supposons que l’on souhaite
que le syst`eme soit dans un certain ´etat|Φfi au temps T . Pour cela, un exp´erimentateur
peut agir sur la commande ²(t) `a laquelle il soumet le syst`eme. Nous nous limiterons aux probl`emes de contrˆole sur des intervalles de temps born´es [0, T ] car les processus auxquels nous nous int´eressons ont une dur´ee de vie limit´ee voire mˆeme tr`es courte. Nos ´echelles de
temps varient de quelques centaines de femtosecondes (1 fs = 10−15s) `a quelques dizaines