est généré sur une grande hauteur de canal au-dessus du réseau. Leurs mesures expérimentales sont en excellent accord avec une prédiction nu- mérique sans paramètre ajustable.
Mis à part celui de Vilfan et al., aucun de ces réseaux de cils artificiels ne répond simultanément à trois critères utiles pour l’expérimentation en laboratoire d’hydrodynamique : une relative facilité de fabrication, un bon contrôle de la géométrie et une possibilité d’actuation uniforme.
Pour illustrer la vitalité du domaine, citons encore une publication qui
paraît alors que j’écris ces lignes [64].
1.4 Conclusion
Ce travail de thèse se positionne entre ces deux approches. La motiva- tion initiale était à la fois technique et physique : fabriquer des microna- geurs ou des micropompes de façon simple et reproductible, à fort taux de production, de façon à étudier les interactions hydrodynamiques entre un grand nombre d’objets. Tirant partie de techniques de microfluidique et du savoir-faire du laboratoire en matière de microfilaments magnétiques, nous avons réalisé des réseaux de microcils artificiels, actionnables au moyen d’un champ magnétique. Ce type d’actuation permet d’entraîner de façon homogène un grand nombre de pompes. Nous avons privilé- gié un mode d’actuation simple, symétrique : imposer aux filaments un mouvement de précession autour de l’axe vertical. L’idée était d’observer d’éventuels effets collectifs, et de voir s’ils permettaient de briser spon- tanément la symétrie de l’actuation pour générer un écoulement dans le plan perpendiculaire à l’axe de rotation.
Avant de s’intéresser à l’étude de plusieurs filaments, nous avons com- mencé par caractériser la dynamique de filaments isolés. Comme les cils dont ils sont inspirés, ces microfilaments magnétiques sont flexibles : leur dynamique est le résultat de la compétition entre une raideur qui les maintient droits et une friction visqueuse qui les courbe. Dans ce cas, nous verrons que la raideur est principalement d’origine magnétique. Nous avons initialement réalisé une expérience macroscopique, technique- ment plus simple, sur un système similaire : un filament élastomérique en précession dans un fluide visqueux. Le filament est toujours soumis à une raideur et une friction, mais la raideur est ici d’origine élastique. Ces résultats sont présentés au chapitre 2. Ils montrent que sous l’effet de la
friction visqueuse, le filament adopte une forme hélicoïdale, qui lui permet de générer une force propulsive dans la direction de son axe de rotation. Le chapitre 3 détaille ensuite le protocole expérimental de fabrication des microfilaments magnétiques. L’étude de la dynamique d’un filament ma- gnétique isolé est abordée au chapitre 4. Enfin, ce travail se termine par un dernier chapitre consacré à l’influence du couplage hydrodynamique sur la trajectoire des filaments.
Chapitre
2
Battement d’un filament élastique
Sommaire2.1 Introduction . . . 27 2.2 Rappels d’élastohydrodynamique . . . 28
2.2.1 Force élastique : approximation des petites déformations 28 2.2.2 Force visqueuse : théorie de la friction locale . . . 30 2.2.3 Equation d’hyperdiffusion et longueur caractéristique . . . 34 2.2.4 Généralisation au battement en rotation . . . 34
2.3 Article : Helical beating of an actuated elastic filament 37
2.3.1 Introduction . . . 37 2.3.2 Force-torque constitutive relations for a rotating flexible
filament . . . 38 2.3.3 Experiments : Shape and force transitions . . . 44 2.3.4 Conclusion . . . 49
2.4 Une touche d’excentricité . . . 49
2.4.1 Cas limites : un seul paramètre est non nul . . . 49 2.4.2 Situations intermédiaires . . . 51 2.4.3 Conclusion . . . 52
2.1 Introduction 27
2.1 Introduction
Nous avons évoqué les deux modes de propulsion les plus standards à petit nombre de Reynolds au cours du chapitre 1. D’une part, la ro- tation d’un objet chiral permet de contourner la linéarité de l’équation de Stokes. D’autre part, l’actuation périodique d’un flagelle flexible, qui génère une onde de déformation non réciproque, échappe au scallop theo-
rem. La rotation d’hélices rigides comme le battement planaire de fila-
ments élastiques ont donc été très étudiés [26,29,24,15]. Le mécanisme
de pompage considéré dans ce chapitre est hybride : un filament flexible est entraîné en rotation dans un fluide visqueux avec un léger angle par rapport à son axe de rotation, mais cette actuation peut aussi être vue comme la superposition de deux battements planaires perpendiculaires et déphasés de π/2, figure 2.6. Le filament adopte une forme hélicoïdale, résultat de l’équilibre entre la force élastique, qui tend à maintenir le filament droit, et la friction visqueuse, qui le courbe. Cette chiralité in- duite génère une force propulsive parallèle à l’axe de rotation. La forme du filament en fonction de la fréquence est présentée figure 2.1. La tran- sition de forme du filament, d’un état droit à un état hélicoïdal, est liée à une branche instable dans la caractéristique force/couple. Cette branche instable constitue le trait le plus surprenant de la dynamique du filament élastique, et dépend fortement des conditions d’ancrage.
Sp 0.5 5 15 35 200 1500 3500
Fig. 2.1: Forme du filament en fonction de la fréquence normalisée. Chaque image est une superposition de clichés pris pendant une période de rotation, avec un intervalle de temps constant. Lorsque la fréquence augmente, le filament s’enroule autour de l’axe de rotation.
L’interaction entre un filament déformable et un fluide visqueux ap- partient au champ de l’élastohydrodynamique, dont je commencerai par rappeler quelques bases (la section 2.2 peut être sautée par le lecteur
initié). L’étude du filament élastique en rotation constitue le texte d’un article, publié dans Journal of Physics : Condensed Matter en 2009, et reproduit en section 2.3. Je la compléterai par quelques remarques sup- plémentaires. Un article antérieur, que nous avons écrit sur le même sujet, est fourni en fin de chapitre.