A.2.1
Courbe d’arrivée
Chaque flux traversant le réseau considéré est caractérisé par une fonction croissante, qui représente le trafic cumulé durant une certaine durée de temps. La fonction de trafic cumulé R est telle que R(t) représente la quantité totale d’information transmise par le flux durant l’inter- valle[0, t]. Par conséquent, la fonction R est une fonction croissante et positive, et toute rafale de trafic est caractérisée par une forte augmentation de la fonction R durant un intervalle de temps court. L’idée de Cruz [14] est de borner ces rafales sur n’importe quel intervalle de temps par une fonction croissante positive appelée courbe d’arrivée maximale ou enveloppe d’ar-
rivée. Un flux ayant la fonction d’arrivée cumulative R(t) admet la courbe d’arrivée maximale α(t) si et seulement si pour tout t ≥ 0 et tout s ≤ t :
R(t) − R(s) ≤ α(t − s) (A.1)
Dans la cas particulier où α est une courbe affine de la forme α(t) = σ + ρ ∗ t, R(t) est dit
(σ, ρ)-borné. Ainsi, le trafic R(t) est représenté par sa contrainte de rafale où σ représente la
taille maximale de la rafale et ρ représente le débit maximal. Il est clair que si deux flux décrits par R1 et R2 comme fonctions de trafic cumulé ont respectivement pour enveloppe α1 et α2, alors le flux agrégé aura pour enveloppe α1 + α2. La courbe d’arrivée maximale permet ainsi d’exprimer des contraintes relatives à la régularité du trafic puisqu’elle permet de quantifier les rafales émises.
A.2.2
Courbe de service
Un concept permettant de caractériser le comportement des éléments réseau avec précision a été introduit, à l’instar de la notion d’enveloppe pour les flux. En effet, Cruz propose une pre- mière version de cette notion dans [16], qui sera appelée courbe de service. Cette courbe traduit la notion de service minimal offert à chaque trafic, traversant l’élément réseau correspondant pour n’importe quel intervalle de temps. Cette première définition est difficilement générali- sable à cause des nombreuses hypothèses utilisées. En effet, elle repose principalement sur la notion de « période d’activité », c’est-à-dire de période telle que ses instants de début et de fin sont caractérisés par un arriéré de travail nul. Or l’existence de telles périodes n’est pas assurée
A.2. Les concepts de base
dans le cas général. Afin de remédier à ce problème, Cruz a proposé dans [24], en collabora- tion avec Sariowan et Polyzos, une amélioration de cette notion de courbe de service visant à mettre au point une politique de Call Admission Control (CAC ou contrôle d’admission des connexions). Par la suite, Leboudec [7] a présenté un nouveau formalisme, basé sur l’algèbre min-plus et inspiré de la théorie des systèmes (électrique, automatique), permettant de définir la notion de courbe de service d’une manière générale. Cette dernière définition est comme suit : soit un système S et un trafic le traversant caractérisé par les fonctions du trafic cumulé R(t) à l’entrée et R∗(t) à la sortie. S offre au flux une courbe de service β si et seulement si β est une fonction positive croissante telle que pour tout t≥ 0 :
R∗(t) ≥ infs≤t(R(s) + β(t − s)) (A.2)
Dans le cas où β est une fonction continue, la propriété de la courbe de service est telle que : pour tout t≥ 0, il existe t0 ≤ t :
R∗(t) ≥ R(t0) + β(t − t0) (A.3)
Cette dernière définition est plus facilement intelligible. Elle signifie qu’on peut toujours trouver un instant à partir duquel l’élément a servi le flux au moins à la vitesse représentée par
β. Quelques exemples sont cités dans ce qui suit pour expliciter la notion de courbe de service
[8].
– Un élément à débit constant C offre une courbe de service de la forme λ(t) = C ∗ t.
Pour cet élément, le t0 correspond à ce qu’on appelle communément période d’activité,
c’est-à-dire le début d’une période où des bits sont en attente de traitement.
– Un commutateur admettant une capacité de service C et imposant un délai de traversée T offre une courbe de service de la forme βC,T = C(t−T ). Cette courbe est appelée courbe de service débit-latence (Rate-Latency Service Curve).
– Un élément à délai borné D garantit à tout flux qu’aucun de ses bits ne subira un retard de plus de D unités de temps dans cet élément. La courbe de service offerte par cet élément est ainsi la fonction dirac au point D telle que :
δ(t) = 0 pour t < D δ(t) = ∞ pour t ≥ D
A.2.3
Calcul des bornes maximales sur le délai et la taille de file d’attente
Dans le formalisme du Network Calculus introduit par Leboudec [8], les notions de courbe d’arrivée maximale et de courbe de service permettent de calculer des bornes maximales sur le délai et la taille de file d’attente. En effet, soit un flux de courbe d’arrivée α, qui traverse un système S lui offrant une courbe de service β :
– le délai maximal D subi par ce flux à la traversée de S est tel que : D ≤ h(α, β), où
h(α, β) représente la déviation horizontale maximale entre les deux courbes α et β ;
– la taille maximale de la file d’attente B entraînée par la traversée du système S par ce flux est telle que : B ≤ v(α, β), où v(α, β) représente la déviation verticale maximale entre les deux courbes α et β.
La figureA.1représente ces bornes maximales dans le cas d’une enveloppe affine de la forme
α(t) = b + rt et une courbe de service de la forme β(t) = R(t − T ).
b r T R D Time Data B
B
Paramétrage de la politique de service WFQ
B.1
Introduction
La politique de service Weighted Fair Queuing (WFQ) offre un service équitable aux diffé- rentes classes de trafic par rapport à la politique de service Static Priority (SP). Ainsi, le choix des poids associés aux différentes classes de trafic est un paramètre très important pour l’inté- gration de la politique WFQ et l’obtention des performances recherchées.
Notre objectif est de trouver les poids associés aux différentes classes de trafic pour apporter une amélioration au service offert aux priorités basses par rapport à celui offert par la politique de service SP. Cette amélioration est nécessairement accompagnée d’une dégradation du service offert aux priorités hautes. Mais, il faut toutefois que les contraintes temporelles des classes de trafic soient garanties, et que les contraintes d’intégrité et de priorité soient respectées. Tout d’abord, nous détaillons le problème de choix des poids associés aux différentes classes de tra- fic pour l’intégration de la politique WFQ. Puis, une formulation mathématique du problème est détaillée en se basant sur le modèle général des problèmes d’optimisation multi-objectifs. Nous développons par la suite la résolution du problème et les résultats obtenus pour notre cas d’étude choisi.