Conception du diviseur de Wilkinson

2.5.1. Définition et choix de l’architecture

Le diviseur de Wilkinson [II.21] est utilisé au lieu du coupleur hybride pour réaliser la version asymétrique de la matrice de Butler que nous allons concevoir par la suite. Ceci implique que ce diviseur doit assurer les mêmes fonctionnalités que le coupleur hybride à savoir la division égale de puissance, l’adaptation de tous les ports, et l’isolation entre les ports. Généralement, il existe trois types de diviseurs de puissance à trois ports qui répondent à nos besoins en termes d’asymétrie : la jonction en T, le diviseur résistif et le diviseur de Wilkinson, comme illustré sur la Figure II.9(a), II.9(b), et II.9(c), respectivement.

(a) (b) (c)

Figure II. 9 : Diviseurs de puissance à trois ports : (a) jonction T, (b) diviseur résistif, et (c) diviseur de Wilkinson.

81

Le diviseur de puissance en T est un réseau à trois ports sans pertes qui peut être utilisé pour combiner ou diviser la puissance d’entrée. De façon générale, la jonction T souffre du problème de ne pas être adapté à tous les ports à la fois et, de plus, ne présente pas d’isolation entre les ports de sortie. Pour surmonter ces problèmes, le diviseur résistif est proposé. Ce dernier peut être adapté à tous les ports en plaçant trois résistances dans les trois accès, comme le montre la Figure II.9(b). Cependant, le diviseur résistif souffre des pertes et l’isolation obtenue au niveau de la sortie n’est pas suffisamment bonne. Afin de remédier à ces inconvénients, les diviseurs de Wilkinson sont proposés. Le diviseur de Wilkinson est une amélioration de la jonction T pour qu’elle soit adaptée à tous les ports et présente une bonne isolation entre les ports de sortie.

Enfin, le cahier des charges du diviseur de Wilkinson que nous voulons concevoir est le suivant :

- La division de puissance uniforme entre les ports de sorties (≈ −3 𝑑𝐵). - Une bonne adaptation des trois ports (< −10 𝑑𝐵).

- Une bonne isolation entre les deux ports de sortie (< −20 𝑑𝐵). - Une bande passante assez large (> 20%)2.

2.5.2. Étude théorique

De même pour simplifier l’étude théorique du diviseur, nous utiliserons la méthode d’analyse des modes pair et impair du circuit [II.17] qui utilise la symétrie et la superposition du circuit. Dans un premier temps, nous allons dessiner le circuit équivalent du diviseur avec toutes les impédances normalisées à l’impédance caractéristique Z0, comme illustré sur la Figure II.10 (a). D’après cette figure, nous pouvons constater qu’il n’y a pas de courant entre les deux résistances 𝑟/2 ou dans le court-circuit entre les deux entrées au port 1. Par conséquent, ce circuit peut être coupé et séparé en deux systèmes, pair et impair, comme montré par les figures II.10(b) et (c), respectivement. Chaque circuit peut être ensuite analysé séparément.

Puisque la ligne de transmission ressemble à un transformateur quart d’onde (cf. Figure II.10(b)), donc l’impédance normalisée au niveau du port 2 peut s’exprimer comme suit :

𝑧_{𝑖𝑛,𝑒} = ^𝑍₂² (II.30)

2 En 2002, la FCC a défini un signal ULB comme ayant une largeur de bande passante de plus de 500 MHz et/ou une bande passante fractionnelle à −10 𝑑𝐵 supérieure à 20%.

82 (a)

(b) (c)

Figure II. 10: (a) Circuit équivalent du diviseur, (b) le mode pair et (c) le mode impair.

Donc si 𝑧 = √2, le port 2 sera adapté pour l’excitation du mode pair (𝑧𝑖𝑛,𝑒= 1). Par conséquent, les tensions au niveau des ports 1 et 2 peuvent s’écrire comme suit :

𝑉_2,𝑒= 𝑗𝑉+(1 − Γ) = 𝑉₀ (II.31) 𝑉_1,𝑒 = 𝑉+(1 + Γ) = 𝑗𝑉₀^Γ+1_Γ−1 (II.32) Le coefficient de réflexion 𝛤 est celui observé au niveau du port 1 (cf. Figure II.10(b)), et s’écrit comme suit :

Γ =^2−√2

2+√2 ^(II.33)

Par conséquent : 𝑉_1,𝑒 = −𝑗𝑉₀√2 (II.34) De même pour le mode impair, l’impédance normalisée au niveau du port 2 (cf. Figure II.10(c)) peut s’écrire de la façon suivante :

𝑧_{𝑖𝑛,𝑜} =^√2

2

2 = 1 (II.35) Ainsi pour les tensions aux ports 1 et 2 (cf. Figure II.10 (c)), nous pouvons obtenir :

𝑉_2,𝑜 = 𝑉₀ (II.36) 𝑉_1,𝑜 = 0 (Plan de masse virtuel) (II.37)

83

(a) (b)

Figure II. 11: Analyse du diviseur pour trouver les paramètres S : (a) avec et (b) sans résistance d’isolement. Finalement, nous pouvons trouver l’impédance au niveau du port 1 lorsque les deux ports 2 et 3 sont terminés par des charges adaptées. Le circuit obtenu est représenté sur la Figure II.11(a), où l’on voit qu’il est similaire au mode pair puisque 𝑉₂ = 𝑉₃ (cf. Figure II.10(a)). Par conséquent, aucun courant ne traverse la résistance d’isolement de la valeur normalisée 2, donc elle peut être retirée, ce qui nous conduit au circuit de la Figure II.11(b). Nous avons maintenant la connexion parallèle de deux transformateurs quart-d’onde terminés par des charges normalisées. L’impédance normalisée d’entrée est alors :

𝑧_𝑖𝑛 =^√2₂² = 1 (II.38) En résumé, nous pouvons établir les paramètres S du diviseur de Wilkinson, comme suit : - 𝑧_𝑖𝑛 = 1 au niveau du port 1, donc

𝑆₁₁= 0 (II.39) - Les ports 2 et 3 sont adaptés pour les deux modes pair et impair, donc

𝑆₂₂ = 𝑆₃₃= 0 (II.40) - La symétrie due à la réciprocité du dispositif, donc

𝑆₁₂= 𝑆₂₁ =^𝑉𝑒,1+𝑉𝑜,1

𝑉_𝑒,2+𝑉_𝑜,2 = −𝑗 ¹

√2 (II.41) - La symétrie des ports 2 et 3, donc

𝑆₁₃= 𝑆₃₁ = −𝑗 ¹

√2 (II.42) - En raison du court-circuit ou circuit-ouvert des modes pair et impair, nous aurons donc 𝑆₂₃ = 𝑆₃₂= 0 (II.43) Par conséquent, la matrice S du Wilkinson peut être écrite comme suit :

𝑆 = −_√2¹ [

0 𝑗 𝑗

𝑗 0 0

84

2.5.3. Conception et simulation

Pour vérifier la matrice S trouvée par l’étude théorique, nous allons concevoir et simuler le diviseur de Wilkinson sous le logiciel ADS. La Figure II.12(a) et (b) montrent la configuration proposée sous plateforme Schematic et Momentum, respectivement. Nous rappelons que le substrat utilisé est de type FR4 d’épaisseur 1.58 mm. Les dimensions de cette configuration sont 33.5 × 20.5 𝑚𝑚2.

(a) (b)

Figure II. 12: Circuit proposé du diviseur de Wilkinson sous plateforme Schematic (a) et Momentum (b).

(a) (b)

Figure II. 13: Simulation des coefficients de réflexion (a) et des coefficients de transmission (b).

Avec la configuration présentée sur la Figure II.12(a), les résultats de simulation sont illustrés sur la Figure II.13. La fréquence de fonctionnement du diviseur est similaire à celle du coupleur conçu, qui est égale à 2.4 GHz, avec une bonne adaptation autour de cette fréquence. Une bonne adaptation des trois ports est assurée, avec des coefficients de réflexion (𝑆₁₁, 𝑆₂₂, et 𝑆₃₃) inférieurs à −30 𝑑𝐵 (voir Figure II.13(a)). D’après cette figure, nous pouvons constater que le diviseur proposé possède une très large bande passante comprise entre 1 et 4 GHz, qui

85

est de 120% autour de la fréquence centrale 2.5 GHz. De plus, à la fréquence de fonctionnement 2.4 GHz, le diviseur de Wilkinson présente une bonne isolation entre les ports de sortie avec un coefficient de transmission S32 inférieur à −35 𝑑𝐵 (Figure II.13 (b)). Par contre, les coefficients de transmission S21 et S31 sont autour de −3 𝑑𝐵 sur toute la bande passante. Ceci montre que le signal d’entrée est divisé de manière égale entre les deux ports de sortie.

D’après ce que nous avons observé à partir des simulations des paramètres S, la matrice [S] trouvée par l’étude théorique est bien vérifiée, et le cahier des charges que l’on s’est fixé est bien respecté.