Ce concept renvoie aux coordinations les plus instables et les plus antinaturelles

Par contre, si les deux index sont mobilisés en essuie-glaces, le décalage de phase est constamment égal à 180° ; lorsqu'un index est en adduction maximale, l'autre est en abduction maximale, et vice-versa. Ce paramètre d'ordre (différence de phase) permet de capturer l'essentiel de la coordination. Il existe d'autres types de paramètres d'ordre. Notamment, le rapport de fréquence ; un rapport 2:1 indique par exemple que l'un des oscillateurs a une fréquence deux fois plus élevée que l'autre. Il est clair, dans ce cas, que la tâche précédente est caractérisée par un rapport de fréquence de 1:1.

1.3.8 Attracteurs : un système tend à adopter, sous l'influence des contraintes qui font qu’il

existe et/ou qui pèsent sur lui, un certain type de comportement, que l'on peut qualifier de naturel, spontané ou préférentiel. C'est à ces coordinations préférentielles que l'on donne le nom d'attracteur. Plusieurs types d'attracteurs sont définis : les points fixes correspondent à un état vers lequel semble converger le système, comme un pendule qui tend sous l'action de la pesanteur à rejoindre sa position de repos. Les cycles limites renvoient à la répétition d'une trajectoire, on retrouve ce type d'attracteur dans les oscillateurs auto-entretenus. Enfin, les

attracteurs étranges ou chaotiques, comme l'attracteur de Lorenz (voir Figure.1.13)présentent une trajectoire plus complexe qui bien que ne se répétant jamais à l'identique, conserve une part de déterminisme. L'étendue du paramètre d'ordre, c'est-à-dire l'ensemble des coordinations possibles dans une situation donnée, est ainsi ponctuée d'attracteurs et de

repellants/repoussants¹⁶. Souvent, on représente les attracteurs par des vallées et les repoussants par des collines (voir Figure.1.9). On peut concevoir la dynamique intrinsèque du système, c'est-à-dire les tendances spontanées de son comportement, par la trajectoire d'une bille qui tomberait dans ce paysage d’attracteurs ; quelles que soient les conditions initiales de sa chute, la bille tendra naturellement à rejoindre l'une des vallées, c'est-à-dire l'une des coordinations spontanées du système. Au sein de ce paysage, un attracteur occupe le fond d'un bassin d'attraction, délimité par deux repoussants. La profondeur de ce bassin est représentative de la force et corrélativement de la stabilité de l'attracteur. Si la dynamique d'un système ne présente qu'un seul attracteur, on parle de régime monostable. Si, par contre, elle présente plusieurs attracteurs, on parle de régime multi-stable.

1.3.9 Bifurcations (transitions de phase) : On appelle bifurcation ou transition de phase,

une modification qualitative du comportement du système. Une bifurcation résulte d'une modification du paysage des attracteurs. Les bifurcations constituent un événement majeur de la dynamique des systèmes complexes. La pertinence d'un paramètre d'ordre est liée au fait qu'il permette de rendre compte des bifurcations. Ce critère est pris en compte lorsque l’observateur dispose de plusieurs variables collectives concurrentes [Gro 08]. Exemple : Soit le système suivant à coordonnées polaires.

𝒓𝒓̇ = br(a-r²)

𝜽𝜽̇= 2πf (1.10)

16 Ce concept renvoie aux coordinations les plus instables et les plus antinaturelles.

Figure.1.9-Représentation schématique d'un paysage d'attracteurs : Les attracteurs correspondent aux coordinations préférées du système, et les repellants aux coordinations les plus instables. Le trajet de la bille représente l'évolution de la coordination, à partir d'un quelconque état initial.

b > 0, dans un portrait de phase, r représentera la distance à l'origine et θ la phase, (voir Figure.1.10). On a :

𝒙𝒙 = rcosθ et 𝒙𝒙̇ = rsinθ (1.11)

- Dans le premier cas où a ≤ 0, nous avons un point fixe stable qui représente un premier type

d’attracteur dans cet exemple.

- Dans le deuxième cas où a > 0, les dynamiques approchent le cycle limite.

En somme quand un système dynamique, décrit par un ensemble d’équations différentielles paramétrées, change qualitativement (à l’image d’une fonction avec des paramètres externes) la nature de son comportement limite, à long-terme, pour adopter celui de points fixes ou de cycles limites, on parle de bifurcation.

1.3.10 Stabilité et instabilité : La stabilité et l’instabilité constituent le principal moteur de

la dynamique du système. La caractéristique première de l'attracteur est la stabilité de la variable collective ; un système calé sur son attracteur présente un comportement stable et reproductible. Par ailleurs, les bifurcations sont annoncées par des fluctuations critiques, c'est-à-dire un accroissement de la variabilité du paramètre d'ordre à l'approche de la transition. Le système d’équation (1.10) et (1.11) de la section 1.3.9 représentent l’exemple même de ceci ; stabilité à long-terme pour a ≤ 0 et fluctuation critique pour a > 0.

1.3.11 Bruit : Le comportement d'un système dynamique n'est pas aussi déterministe qu’on

pourrait le croire. L'évolution du paramètre d'ordre est soumise à l'influence de fluctuations aléatoires, qui tendent en permanence à le déstabiliser. Une transition de phase ne peut intervenir que parce que le système est bruité. Dans les approches expérimentales classiques, le bruit est un facteur à éviter ; il constitue une erreur expérimentale, susceptible de masquer les effets des variables manipulées. Dans le cadre de l'approche dynamique, il constitue une variable essentielle.Exemple : Dans le cas de la coordination bi-manuelle, le décalage de phase en tant que paramètre d’ordre peut être soumit à une variation aléatoire dépendante de facteurs comme la fatigue chez le sujet, son âge ou la position de son corps. Dans l’approche dynamique ce phénomène est révélateur et est pris en compte dans la modélisation du système. Beaucoup de systèmes dynamiques non linéaires peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles, pouvant sembler aléatoires, alors qu'il s'agit de systèmes parfaitement déterministes. Cette imprédictibilité est appelée chaos. Dans ce cadre, on ne met pas l'accent sur la recherche de solutions précises aux équations du système dynamique, mais sur la réponse à des questions comme : - le système convergera-t-il vers un état stationnaire à long terme, et dans ce cas, quels sont les états stationnaires possibles ?, ou - le comportement à long terme du système dépend-il des conditions initiales ?

1.3.12 Paramètres de contrôle : On appelle paramètre de contrôle tout facteur non

spécifique, ne définissant pas directement le paramètre d'ordre, susceptible lorsqu'il évolue au-delà d'une valeur critique de modifier le paysage des attracteurs. La bifurcation apparaît comme une conséquence de l'évolution du paramètre de contrôle, sans que cette évolution ne la prescrive formellement. Dans l'exemple de la section 1.3.6 sur la transition marche-course, la vitesse de déplacement constitue un paramètre de contrôle ; le pattern de course n'est pas spécifié par la vitesse, mais induit par le dépassement d'une vitesse critique. Notons que

Figure.1.10-Solution des équations circulaires non-linéaire (1.10) et (1.11): Pour a ≤ 0 le système se dirige vers une solution

stable r = 0 dite point fixe ; les trajectoires commençant dans une condition différente, tendent à rejoindre en spirale l'origine. Pour

a > 0 l’origine perd sa stabilité et le système rejoint un cycle limite

à r = √a. Ce phénomène est appelé bifurcation sur-critique de

18 l'identification des paramètres d'ordre et des paramètres de contrôle constitue les étapes principales de l'étude de la dynamique des systèmes complexes.

1.3.13 Aspect conservatif et non conservatif : Un système physique conservatif est

caractérisé par l’existence d’une quantité, fonction des variables du système, se conservant au cours de sa dynamique (mouvement). Il est dit déterministe si et seulement si cette dynamique associe à chaque condition initiale un seul état final. Lorsque le système physique considéré est non-conservatif (dissipatif), il existe en général un ou plusieurs attracteurs dans l'espace des phases du système. Exemple :Comme l’application du boulanger qui consiste à fabriquer de la pâte feuilletée en étirant et pliant la pâte, on peut faire subir la même chose à un portrait ; au départ, le personnage deviendra totalement méconnaissable et au bout d’un certain nombre d’itérations, on obtiendra quelque chose de très proche de l’image initiale, puis de nouveau une image brouillée, etc. Il s’agit d’un système déterministe chaotique conservatif car l’état initial est très important, chaque étape est déterminée par la précédente et on passe très près de la situation initiale sans jamais la reproduire exactement. Ceci explique pourquoi le système est chaotique et non pas périodique (voir Figure.1.11).

1.4 Système complexe adaptatif

La différence entre les systèmes complexes et les systèmes complexes adaptatifs (CASs) n’est pas aussi claire qu’on le voudrait. Les premiers apparaissent comme plus génériques par rapport aux seconds et peuvent aussi être utilisés pour décrire des systèmes naturels, pas forcement biologiques. John Holland un pionnier dans le domaine de la complexité et inventeur du terme «système complexe adaptatif» pour décrire la nature constamment évolutive des systèmes complexes a écrit que beaucoup de systèmes naturels, comme le cerveau, le système immunitaire, les systèmes écologiques et la société, et encore de plus en plus de systèmes artificiels, comme les systèmes parallèles et distribués, les systèmes artificiels intelligents, les réseaux de neurones artificiels et les programmes évolutifs sont caractérisés par un comportement complexe apparent qui émerge souvent comme résultat d’interactions spatio-temporelles entre un très grand nombre de composants de ces systèmes non-linéaires, à des niveaux d’organisation différents. Ces systèmes sont devenus, récemment, connus sous la nomination de Système Complexe Adaptatif (CAS). Leur cadre théorique est basé sur des travaux effectués notamment en physique, chimie et biologie. L’analyse d’un CAS se fait par une combinaison de méthodes expérimentales et théoriques, comme la simulation par ordinateur et les mathématiques [Hol 92][Hol 98][Mil 07].

Dooley définit un CAS comme un système composé d’une multitude de parties

semi-autonomes en interaction (appelées généralement des agents). Où, chaque partie possède des comportements individuels simples qui, lorsqu’elle est agrégée avec d’autres parties, produisent des systèmes aux comportements émergeants de haute complexité [Doo 96].

Figure.1.11-Exemple de système conservatif déterministe : Portrait de Poincaré, le dernier

des universalistes, modifiés par itérations de l’application du boulanger.

Dodder et Dare, inspirés d’un travail effectué à l’institue de Santa fe, rajoute à la définition

de Dooley d’autres caractéristiques ; les CASs sont construits à partir d’un grand nombre d’agents connectés en réseau, regroupant de l’information, apprenant et agissant en parallèle dans un environnement produit par des interactions entre ces agents. Ils sont en coévolution avec leurs environnements et leurs états s’étendent entre l’ordre et le désordre à la limite du chao. L’ordre éclos toujours au sein d’un nouveau phénomène émergent et transitionnel, au lieu d’être prédéterminé [Dod 00].

Les CASs tendent d’exister sur plusieurs niveaux d’organisation, dans le sens où les éléments à un niveau représentent les blocs de construction pour les éléments du niveau supérieur. Exemple : les cellules construisent les organismes et les organismes, à leur tour, construisent les écosystèmes. Les CASs de par leur nature non-linéaire ont un avenir qui est difficile à prédire. Dans cette perspective, Gell-mann propose quelques exemples : L’origine de la vie sur terre, l’évolution biologique, le comportement des organismes dans des systèmes écologiques, l’apprentissage et la pensée chez les animaux, l’évolution des sociétés et les comportements des investisseurs dans les marchés financiers [Gel 94].

1.4.1 Etats des systèmes

Ce qui nous intéresse ici c’est de caractériser les systèmes selon leurs états dynamiques pour

pouvoir les classer. Ce travail a été initié par des chercheurs comme Kauffman et Wolfram.

Expériences de Kauffman et Wolfram : S. A. Kauffman est un biologiste associé à l’institut de

Santa Fe. Ses travaux de recherche, vers les années 60, visés à comprendre l’évolution dans les

systèmes biologiques au niveau des gènes. Il étudia des questions comme celle de savoir s’il existe une relation entre la connectivité moyenne des gênes et l’aptitude globale des organismes à vouloir évoluer. Plus tard, Wolfram observa qu’on peut poser de pareilles questions de connectivité pour les entreprises en économie, pour les espaces en écosystème¹⁷ et d’autres types de CASs. Les expériences de Kauffman révélèrent la présence de régimes dynamiques à l’intérieur desquels les CASs évoluent. Lansing en parla brièvement dans [Lan 03] ; imaginons une collection de N lumières. Chaque ampoule a deux positions possibles : allumée/éteinte et est câblé à K autres ampoules. Une simple règle dicte à chaque ampoule quoi faire. Supposons, par exemple, que K = 3 exprime que chaque ampoule est connectée à 3 autres ampoules. A chaque pas de temps, chaque ampoule décide si elle doit s’allumer ou s’éteindre selon l’état de ses voisines. Une règle typique est celle de « la majorité gagnent » : si 2 ou 3 voisines sont allumées alors elle s’allume ou reste allumée alors que dans les autres cas elle s’éteint. Comment un tel système va se comporter quand on le branche ? Kauffman découvre que deux modèles de comportements sont possibles ; ordonné/linéaire et désordonné/chaotique. Plus tard,

Langton découvre un troisième régime [Lan 90]; un point de transition entre l’ordre et le chao. Le comportement à ce point est suffisamment différent pour être qualifier de troisième régime ou à la limite du chao. Ce troisième régime est :

- Périodique ou fixe : pour une valeur de K = 1 ; quelques feux basculent entre les états éteint

et allumé pendant quelque temps, mais la plus part de l’espace lumineux va bientôt stopper de clignoter.

- Complexe : K est au alentour de 2. Des modèles complexes apparaissent dans lesquels des

îles, de clignotement stable, développent des formes qui varient à leurs bordures.

- Chaotique : K est large, les ampoules continuent à clignoter chaotiquement tout en

influençant les unes les autres pour switcher entre les états éteint et allumé.

17 En écologie, un écosystème désigne l'ensemble formé par une association ou communauté d'êtres