Concat´ enation de descripteurs

a un r´esultat correspondant `a la topologie du sch´ema de Loop quaternaire.

5.3.5 Concat´enation de descripteurs

Il est possible de concat´ener les descripteurs de subdivisions topologiques et ainsi mod´eliser de nombreux cas plus complexes : de tr`es nombreux cas irr´eguliers ainsi qu’un grand nombre de subdivisions r´eguli`eres non abord´ees jusqu’`a pr´esent. Cette concat´enation de descripteurs revient `

a consid´erer une subdivision topologique comme le r´esultat de plusieurs subdivisions successives du maillage de contrˆole. Dans [Mull 03], le nombre de subdivisions successives est nomm´e ordre de la description. La concat´enation de tous les descripteurs possibles m`ene `a un ensemble de r´esultats tr`es vaste, nous donnerons les bases d’une analyse de cet ensemble en partie 5.3.6.

Comme expos´e en partie 5.2.4, nous pouvons d´ecrire la subdivision topologique duale par la concat´enation d’un descripteur primal avec le descripteur dual (I : (0, 0, 1), C : f ↓). Nous noterons cette concat´enation de la fa¸con suivante : (I, C) ⊕ (I : (0, 0, 1), C : f ↓), ⊕ ´etant notre op´erateur de concat´enation. Cette concat´enation nous permet de d´ecrire les subdivisions topolo-giques duales existantes. Par ailleurs, de par la sym´etrie centrale des sommets que nous ins´erons, la composition de deux subdivisions duales revient `a consid´erer une subdivision primale. De plus, la composition de cet op´erateur avec une subdivision topologique irr´eguli`ere peut conduire `a une subdivision r´eguli`ere, voir Figure 5.23.

Comme pr´ec´edemment, nous nous int´eressons tout d’abord au cas des subdivisions r´eguli`eres, en utilisant les notations de la classification [Ivri 04a] Q/TP(m, n) que nous traduirons dans notre formalisme de description. Par exemple, la subdivision successive d’ordre 2 d’un maillage par le sch´ema de Loop conduit `a un r´esultat topologique pouvant ˆetre d´ecrit par le sch´ema de Loop quaternaire, voir Figure 5.22. Ce que nous pouvons noter, dans ce formalisme puis dans le nˆotre :

TP(2, 0) ⊕ TP(2, 0) = TP(4, 0)

(I : (1, 1, 0), CT) ⊕ (I : (1, 1, 0), C_T) = (I : (2, 3, 0), CT) . ^(5.11) Pour un descripteur r´egulier Q/TP(m, n), avec m, n ∈ N^∗+, nous pouvons d´eterminer l’arit´e aQ/T et l’angle de la rotation du pavage ϕQ/T,

     aQ =^pm2+ n2 aT = q (m + n/2)2+ ( √ 3n/2)2 ϕQ = arctan(n/m) ϕT = arctan( √ 3n/2 m +ⁿ₂^{) .} (5.12)

SCH ´EMA

(a) (b) (c) (d)

Fig. 5.23 : La concat´enation de deux descripteurs irr´eguliers peut conduire `a une descrip-tion de subdivision r´eguli`ere. Sur la premi`ere ligne en (a) un maillage r´egulier triangulaire (les triangles ne sont pas ´equilat´eraux). Nous le subdivision en (b) par le descripteur irr´ e-gulier (I : (0, 1, 0), C : e ↑). Nous concat´enons ce descripteur avec le dual en (c) : nous obtenons alors un maillage uniquement compos´e de quadrangles correspondant au descripteur (I : (1, 0, 1), C : vf ↑), qui n’est autre que le descripteur r´egulier quadrangulaire QP(1, 1) (d) (le sch´ema 4 − 8). Sur la deuxi`eme ligne, `a l’inverse, la composition du descripteur (I : (0, 2, 0), C : e ↑→) en (b) et de l’op´erateur dual en (c) g´en`ere un maillage triangulaire `

a partir d’un maillage quadrangulaire r´egulier. Ce descripteur est (I : (1, 0, 1), C : vf ↑ f ↓), il s’agit du descripteur r´egulier triangulaire TP(1, 1) (d) (le sch´ema ^√3).

Le r´esultat d’une concat´enation de descripteurs de subdivisions topologiques r´eguli`eres peut ˆ

etre consid´er´e du point de vue de ces caract´eristiques. Nous pouvons ´ecrire, par un rapide examen g´eom´etrique, voir Figure 5.24, pour la concat´enation des deux descripteurs D₁ et D₂ :

D1(a1, ϕ1) ⊕ D2(a2, ϕ2) = D3(a1a2, ϕ1+ ϕ2) . (5.13) Plus g´en´eralement, en consid´erant le descripteur r´egulier quadrangulaire QP(m, n) tel que QP(m, n) = QP(o, p) ⊕ QP(q, r) nous obtenons :

       m²+ n² = (o²+ p²)(q²+ r²) n/m =     or + pq pr − oq     si pr 6= oq m = 0 sinon. ⇒  m = | pr − oq | n = or + pq . ^(5.14)

5.3. LES POSSIBILIT ´ES DE DESCRIPTION DE NOTRE SYST `EME 127

a1

1 a2

2

(a) (b)

Fig. 5.24 : Subdivision topologique d’une face quadrangulaire de description (a) QP(1, 2). En (b), nous concat´enons deux de ces descripteurs afin d’obtenir la description QP(3, 4).

La relation n/m nous est donn´ee par la formule de trigonom´etrie tan(x + y) = (tan(x) + tan(y))/(1 − tan(x) tan(y)). La concat´enation de deux descripteurs triangulaires r´eguliers suit le mˆeme raisonnement.

Dans notre formalisme de description la relation pr´ec´edente se traduit par : (I : (nv1, ne1, nf 1), CQ) ⊕ (I : (nv2, ne2, nf 2), CQ) =

(I : (nv, (ne1+ 1)(ne2+ 1) − 1, n_f), CQ) , ^(5.15) o`u, d’apr`es (5.2), n_f et n_v peuvent ˆetre d´etermin´es `a partir de n<sub>e</sub>. Notons par ailleurs que deux subdivisions primales r´eguli`eres sont commutatives. La Table 5.4 pr´esente quelques exemples de concat´enations de descripteurs r´eguliers quadrangulaires QP(m, n) ; rappelons que ces descrip-tions r´eguli`eres ne repr´esentent que des cas particuliers de subdivisions topologiques descrip-tibles par notre m´eta-sch´ema. Puisque notre formalisme de description ´etend les m´eta-sch´emas existants, nous pouvons ´egalement int´egrer les descriptions de [Mull 03] construites par conca-t´enation, voir le r´ecapitulatif pr´esent´e en Table 5.5.

Nos descripteurs ne peuvent repr´esenter la subdivision topologique r´eguli`ere QP(4, 2), le descripteur d’insertion correspondrait `a I : (5, 1, 1), mais nous ne pouvons pas d´eterminer de descripteur de connectivit´e satisfaisant. Celle-ci est cependant accessible dans notre formalisme par concat´enation : QP(4, 2) = QP(2, 0) ⊕ QP(2, 1), ce qui se traduit par :

(I : (1, 1, 1), C : ev ←→, ef ↑) ⊕ (I : (2, 0, 0), C : v₀%→, v →, v .) .

Ainsi, la concat´enation de plusieurs descripteurs enrichit les possibilit´es de description de notre m´eta-sch´ema. Toutes les subdivisions topologiques r´eguli`eres ne peuvent ˆetre d´ecrites par concat´enation, celles dont les param`etres (m, n) ne permettent pas la d´ecomposition (5.14). Cependant, les subdivisions topologiques irr´eguli`eres descriptibles par ce moyen sont tr`es nom-breuses. La partie suivante traite de l’exploration de l’espace des maillages accessibles `a notre formalisme de description.

SCH ´EMA

Premier Second ⊕

QP(o, p) QP(q, r) QP(|pr-oq|, or+pq) QP(o, p) QP(p, o) QP(0, o² + p²) QP(o, p) QP(x, 0) QP(x.o, x.p) QP(o, 0) QP(1, 1) QP(o, o) QP(o, 0) QP(2, 1) QP(2o, o) Premier Second ⊕ QP(2, 1) QP(1, 1) QP(1, 3) QP(3, 1) QP(1, 1) QP(3, 4) QP(2, 1) QP(2, 1) QP(3, 4) QP(2, 2) QP(2, 2) QP(0, 8) QP(3, 3) QP(3, 3) QP(0, 18)

Tab. 5.4 : Exemples de concat´enation de deux descriptions r´eguli`eres quadrangulaires primales. La troisi`eme colonne est le r´esultat de la concat´enation des deux premi`eres.

Descripteur [Kohl 98] Descripteur [Mull 03] Insertion I Connexion C 12 VEF1/F VE, EF (1, 1, 1) ⊕ (0, 0, 1) ev ←→, ef ↑ 11 EF2/F EF, EE (2, 0, 0) v₀%, v → 10 VF2/F VF, VV (1, 0, 1) ⊕ (0, 0, 1) v₀ →, v →, vf ↑ 5 E/EF2 EF, EE (2, 0, 1) v →, vf ↑, v ↓ 6 VE2/F VE, EE (1, 1, 0) ⊕ (0, 0, 1) e ↑, ev ←→ 3 F/VF2 VF, VV (1, 0, 1) vf ↑, f ↓ - - - (2, 0, 1) vf ↑, f ↓

Tab. 5.5 : Description par notre m´eta-sch´ema des subdivisions topologiques irr´eguli`eres com-plexes introduites par [Kohl 98] et [Mull 03].

5.3. LES POSSIBILIT ´ES DE DESCRIPTION DE NOTRE SYST `EME 129

(a) (b) (c) (d)

Fig. 5.25 : Espace des mod´elisations r´eguli`eres quadrangulaires QP(m, n) en (a) et (c), et trian-gulaires TP(m, n) en (b) et (d), m en abscisse et n en ordonn´ee. Les points blancs repr´esentent les subdivisions topologiques que nous pouvons d´ecrire dans notre formalisme. La visualisation est limit´ee `a 20 valeurs pour (a) et (b) et `a 50 en (c) et (d). Nous rep´erons en rouge les subdivisions r´eguli`eres descriptibles par les m´eta-sch´emas existants sans concat´enation.