Proposition (dérivée d’une composée). Soient et deux fonctions dérivables sur I tells que f soit di¤ érentiable sur n (t)
(t) ; t2Io
. Alors, pour tout t2I, la dérivée @t@f (t)(t) fait sens et vaut
@
@tf (t)
(t) =D1f (t) (t)
0(t) +D2f (t) (t)
0(t).
(analogue : @t@'( (t)) ='0( (t)) 0(t))
Exemple. Soient p > 0 et q > 0. Dériver la distance à l’origine d’un point décrivant une ellipse paramétrée par t7! pqcossintt .
La fonction module (distance à l’origine)M : (x; y)7!p
x2+y2admet des dérivées partiellesD1M(x; y) =
Corollaire (composition de dérivées partielles). Soient U une partie de R2 et X et Y deux fonctions di¤ érentiables sur U telles que f soit di¤ érentiable sur n
X(u)
Y(u) ; u2Uo
. Alors, pour tout (x; y)2U, les dérivées partielles de f X(x;y)Y(x;y) font sens et valent
@ MNÉMO : utiliser les matrices et les abréviations des ingénieurs :
@xf
@yf = @xX @xY
@yX @yY
@Xf
@Yf .
Exemple 1 (gradient en coordonnées polaires). Supposonsf di¤érentiable sur tout le plan. Posons F : r 7!f rrcossin . (Pour les ingénieurs,f etFseraient les mêmes fonctions mais vues avec di¤érentes variables.)
Soientr >0 et 2R. On a alors les égalités (en utilisant les abrévations des ingénieurs)
@F(r; )
ce qui peut s’écrire matriciellement
@rf
@ f = cos sin
rsin rcos
@xf
@yf .
La matrice ci-dessus a pour déterminant cos (rcos ) ( rsin ) sin =r6= 0, donc est inversible d’inverse
1 ce qui s’écrit en complexes
@xf+i@yf = (cos )@rf sin
r @ f +i (sin )@rf+cos r @ f
= (cos +isin )@rf+1
r( sin +icos )@ f.
Or le vecteur de gauche est le gradientD1f rrcossin +iD2f rrcossin =r(rrcossin )f et les deux vecteurs-parenthèses de droite sont les vecteursur etu du repère "polaire".
Finalement, une fois débarrassé des abréviationsF et@?f, on obtient l’égalité 8r >0
Exemple 2 (équation des cordes vibrantes). Soit c >0. On suppose que f est de classe C2 sur tout le plan (i. e.ses dérivées partielles sont dé…nies sur tout le plan et y sont C1) et véri…e l’égalité
8(x; t)2R2, @2f(x; t)
@t2 =c2@2f(x; t)
@x2 .
Montrons que f est somme d’une fonction ne dépendant que dex ct("onde" se propageant dans le sens positif [dessin]) et d’une fonction ne dépendant que de x+ct("onde" se propageant dans le sens négatif[dessin]).
Heuristique. A…n d’écrire f(x; t) = F x ctx+ct = F XY pour un certain F, on dé…nira plutôt F XY à partir de f(x; y), ce qui supposer d’inverser le système X
Y = 1 c
1 c
x
y . Le déterminant 2c est bien non nul et la matrice s’inverse en 2c1 c c
1 1 , d’où xy = 12 X+YY X
c . On veut alors montrer que f(x; y) = O+(X) +O (Y) pour certains O+ et O , ce qui nous incite à dériver f partiellement deux fois suivantX puisY (on devra trouver0).
Résolution. PosonsF : XY 7!f YX+Y2X 2c
.
Soit(X; Y)2R2. Montrons que @2@Y @XF(X;Y) = 0. NotonsP := X+YY2X 2c
. La première dérivée partielle vaut
@F XY d’où la dérivée partielle "croisée"
@2F XY
=0d’après l’hyp othèse
(P) + 1
2c [D2D1f D1D2f]
| {z }
=0d’après Schwarz puisquefestC2
(P)
= 0, comme annoncé.
Montrons alors queF(X; Y)est de la formeD(X) +E(Y)pour certaines fonctionsD etE. Intuitivement,
Formalisons cette intuition. Rappelons pour tout énoncé à deux symboles libres et pour tous ensemblesRet S l’équivalence suivante qui permet de faire apparaître des fonctions lorsqu’on intervertit des quanti…cateurs :
[8r2R; 9s2S; P(r; s)] () 9s2SR; 8r2R; P(r; s(r)) .
On a alors successivement (chaque ligne implique la suivante) 8p2R; 8q2R; @
@q
@F(p; q)
@p = 0 8p2R; q7! @F(p; q)
@p est constante 8p2R; 9C2R; 8q2R; @F(p; q)
@p =C 9C2RR; 8p2R; 8q2R; @F(p; q)
@p =C(p) 9C2RR; 8q2R; 8p2R; @F(p; q)
@p C(p) = 0 9C2RR; 8q2R; 8p2R;
@
@p(F(p; q) D(p)) = 0 (oùD est une primitive de C) 9C2RR; 8q2R; p7! @p@ (F(p; q) D(p)) est constante
(oùD est une primitive deC)
9C2RR; 8q2R; 9E2R; 8p2R; F(p; q) D(p) =E (oùD est une primitive de C) 9D2RR; 8q2R; 9E2R; 8p2R; F(p; q) D(p) =E
9D2RR; 9E2RR; 8q2R; 8p2R; F(p; q) D(p) =E(q) 9D2RR
9E2RR ; 8(p; q)2R2; F(p; q) =D(p) +E(q), comme annoncé.
Soient en…nDet E deux telles fonctions. On a alors pour tout(x; t)2R2 les égalités D(x ct) +E(x+ct) =F(x ct; x+ct) =f
(x ct)+(x+ct) 2 (x+ct) (x ct)
2c
=f x
t , ce qui conclut.
2 Calcul intégral multiple
Pour tout cette section, on noteraD une partie du plan (que l’on appellera souventdomaine).
Pour dé…nir l’intégrale d’une fonction'continue sur un segmentS, on procédait en trois étapes : 1. cas'constante : l’intégrale est le produit de la valeur de'par la longueur deS;
2. cas'en escalier : on "recolle" un nombre …ni de fonctions constantes, l’intégrale de ce "recollement" est la somme des intégrales des constantes ;
3. cas'continue : on approche'= limEn par des fonctions en escalier et on prend la limite des intégrales desEn.
On va suivre exactement le même schéma pour dé…nir l’intégrale d’une fonction continue sur une partie du plan. Cependant, d’une part l’analogue plan du segment, le rectangle, ne sera pas su¢ sant pour décrire tous les domaines sur lesquels on souhaitera intégrer (disques, triangles...), d’autre part l’aire d’un tel domaine n’est plus aussi triviale à dé…nir que la longueur d’un segment (ce qui fait l’objet de la section 2.1).
Le lecteur uniquement intéressé par le calcul e¤ectif des intégrales doubles pourra sauter les deux sections qui suivent et se rapporter au théorème de Fubini (section 2.3).
2.1 Aire d’une partie fermée borné plane
On va reprendre les trois points ci-dessus pour dé…nir l’aire d’une partie plane : cas d’un rectangle, cas d’une
"recollement" …ni de rectangles, cas limite d’un "recollement" de rectangles.
(La reprise de la question "Qu’est-ce qu’un intégrale ?" du DM 0 serait d’actualité.)
Dé…nition (rectangle, intérieur, aire). On appelle rectangle tout produit cartésien de deux seg-ments. [dessin]
Soit R=:S T un rectangle. L’intérieurde R est le rectangle R privé de son bord R:=S T.
L’airede R est le produit des longueurs de ses côtés
A(R) :=`(S) `(T).
A…n d’alléger la présentation de cette section, on noteraR(notation non o¢ cielle) l’ensemble des familles
…nies de rectangles d’intérieurs disjoints :
R= (Ri)i2I ; I …ni et 8i; Ri rectangle et 8i6=j; Ri\Rj=; .
(analogue : une famille(Ri)2 Rcorrespond, dans le cas unidimensionnel, à une subdivision d’un segment) Exemples:[dessin]
Soit(Ri)2 R. Vu que lesRi ne se rencontrent éventuellement qu’en leurs bords et que ces derniers ont une aire nulle, il est raisonnable de dé…nir l’aire de la réunion desRi comme la somme des aires des rectanglesRi :
A [
i
Ri
! :=X
i
A(Ri). Cherchons à présent à comprendre les cas limite sur l’exemple du disque.
Comment pourrait-on approcher l’aire d’un disque ? Quadrillons le plan. [dessin] Il y a des petits carrés entièrement à l’intérieur du disque, certains à cheval sur sa frontière et d’autres entièrement à l’extérieur.
Apparemment, plus le maillage est …n, moins les rectangles à cheval prennent de place et, à la limite, leur aire s’évanouit. Il serait donc raisonnable d’encadrer l’aire que l’on cherche à dé…nir entre l’aire "intérieure" du disque (formée des petits carrés entièrement à l’intérieur du disque) et son aire "extérieure" (celle intérieure plus celle des carrés à cheval), ce qui motive les dé…nitions suivantes (non o¢ cielles).
Dé…nition (aire intérieure, aire extérieure). On appelle airesrespectivementintérieure et exté-rieurede D les réels
A (D) = sup
(Ri)2R
(X
i
A(Ri) ; [
i
Ri D )
et
A+(D) = inf
(Ri)2R
(X
i
A(Ri) ; D [
i
Ri )
.
On se demande évidemment si ces aires coïncident, auquel cas on aura un excellent candidat pour l’aire de D :
A (D)=? A+(D).
Cela n’est cependant pas toujours le cas. Voyons une famille de domaines pour lesquels on aura toujours égalité.
Dé…nition (partie bornée, partie fermée).
On dit que D estborné s’il est inclus dans un disque,i. e. si 9R >0; 8d2D; jdj R.
On dit que D estfermé s’il est stable par passage à la limite, i. e.si 8(dn)2DN; [(dn) converge =) limdn2D]
Propriétés (exemples de parties bornées, fermées).
Une union …nie ou une intersection de domaines bornés (resp. fermés) reste bornée (resp. fermée.
Si F est un fonction réelle continue dé…nie sur le plan, alors la partie p2R2; F(p) 0 est fermée.
On retiendra qu’est fermé tout domaine dé…ni par un système d’inégalités LARGES et ne mettant en jeu que des conditions "CONTINUES".
Exemples.
Le disque unité (justement appelé) fermé (x; y)2R2 ; x2+y2 1 est fermé borné.[dessin]
Le carré (x; y)2R2; jxj 1et jyj 1 est fermé borné.[dessin]
Tout rectangle est fermé borné.
Si'et sont deux fonctions réelles continues sur un segment[a; ], le domaine x
y 2R2 ; a x et '(x) y (x) est fermé borné.[dessin]
Si et sont deux fonctions réelles continues sur un segment[b; ], le domaine x
y 2R2 ; b y et (y) x (y) est fermé borné.[dessin]
Théorème –dé…nition (aire d’une partie fermée bornée). Si D est fermé borné, alors ses aires intérieure et extérieure coïncident : cette valeur commune dé…nit l’airede D et sera notée
A(D) :=
8<
:
sup(Ri)2RnP
iA(Ri) ; [
iRi Do inf(Ri)2RnP
iA(Ri) ; D [
iRio .
Dorénavant, et jusqu’à la …n du cours,
D
sera supposé fermé borné.
Exemple (aire d’une "ligne"). SupposonsD inclus dans une droite.[dessin]NotonsR le rayon d’un disque contenantD(légitime carDest borné). Soit" >0. AlorsDest inclus dans le rectangle[ R; R] [ "; "], d’où la comparaison A(D) 2R 2" "!!0 0. Ceci conforte notre intuition : une ligne n’a pas de surface, son aire est nulle.