Une composante irréductible X de X

ρp ×(ι_F+ v )_v∈Sp :X_ρ¯p×Tb_p,L−→X_ρ¯p×Tb_p,L. Théorème 3.20. L’immersion X_p(¯ρ)−→Spf(R∞)^rig×Tb_p,L 'X_ρ¯p×X_ρ¯p×_Ug×Tb_p,L

induit un isomorphisme d’espaces analytiques rigides entre X_p(¯ρ) et une union de com-posantes irréductibles du sous-espace analytique fermé ι(X

tri(¯ρ_p))×X

¯

ρp×_Ug muni de sa structure de sous-espace analytique fermé réduit.

Démonstration. Nous allons prouver que le sous-espace analytique fermé de l’espace rigide

X ¯

ρp×X ¯

ρp×_Ug×Tb_p,Lsous-jacent àX_p(¯ρ) est en réalité contenu dansι(X

tri(¯ρ_p))×X

¯

ρp×_Ug. Comme ces deux espaces sont équidimensionnels de même dimension et que X_p(¯ρ) est réduit, on en conclut que X_p(¯ρ) s’identifie bien en tant qu’espace analytique rigide à une union de composantes irréductibles deι(X

tri(¯ρ_p))×X

¯

ρp×_Ug, cette union étant munie de sa structure réduite de sous-espace analytique fermé.

Par définition de ι et des variétésX_p(¯ρ) etX_tri(¯ρ_p), les points très classiques deX_p(¯ρ) appartiennent aussi à ι(X

tri(¯ρ_p))×X

¯

ρp×_Ug. D’après le Théorème 3.18, ils forment une partie dense au sens de Zariski de X_p(¯ρ). Comme ι(X_tri(¯ρ_p))×X_ρ¯p ×_Ug est une partie analytique fermée de X_ρ¯p×X_ρ¯p ×_Ug ×Tbp,L, on obtient bien l’inclusion recherchée.

Une composante irréductible de l’espace ι(X

tri(¯ρ_p))×X

¯

ρp ×_Ug est un produit de la forme ι(X) ×Xp × _Ug, où X est une composante irréductible de X

tri(¯ρ_p) et Xp une

composante irréductible de X ¯

ρp. Il nous paraît raisonnable de conjecturer qu’à Xp fixée, les composantes irréductibles X de X_p(¯ρ) de la forme ι(X)× Xp × _Ug ne dépendent pas des choix globaux que nous avons faits, c’est-à-dire de G, de U^p et du système de Taylor-Wiles intervenant dans la construction de Π∞.

Définition 3.21. SoitXp une composante irréductible de X ¯

ρp. On dit qu’une composante irréductible X de X_tri(¯ρ_p) est X^p-automorphe si ι(X)× X^p × _Ug est une composante irréductible de X_p(¯ρ).

Conjecture 3.22. Une composante irréductible X de X

tri(¯ρ_p) est Xp-automorphe si et seulement si X∩U

tri(¯ρ_p)reg contient un point cristallin.

Remarque 3.23. (i) Si S\S_p ={v₁}, où v₁ est une place de F+ comme en [15, § 2.3], et Up est choisi comme dans loc. cit., alors X

¯

ρp est lisse et irréductible.

(ii) Il résulte du Théorème 3.18 (cf. la fin de la preuve) qu’une composante irréductibleXp -automorphe de X

tri(¯ρ_p) contient toujours un tel point cristallin. La Conjecture 3.22 peut donc se reformuler comme suit : les composantes irréductibles de X_p(¯ρ) sont exactement les composantes ι(X)×Xp×_Ug où Xp est une composante irréductible de X

¯

ρp et X une composante irréductible de X

tri(¯ρ_p) telle que X∩U

tri(¯ρ_p)reg contient un point cristallin de poids de Hodge-Tate deux-à-deux distincts.

Dans ce qui suit, si λ ∈ (_Zⁿ)^Hom(Fv⁺,L), on note σ(λ) la représentation algébrique de GL_n,F+

v de plus haut poids λ, et on note de même sa restriction à GLn(O_F+

v ). Fixons un poids k∈Q

v∈Sp(_Zn)Hom(Fv⁺,L) strictement dominant. On définit alors une représentation σ_k de K_p =Q v∈SpG(F+ v ) en posant σk= ^O v∈Sp σ((kτ,i+i−1)_τ∈Hom(F+ v,L),1≤i≤n). 33

La conjecture suivante apparaît essentiellement dans l’article [29]. Conjecture 3.24. SoitX^p une composante irréductible deX_ρ¯p. Soitk∈Q

v∈Sp(_Zⁿ)[F_v⁺:Qp]

strictement dominant, l’espace Spf(R_ρ¯p^,k−cr)rig×Xp ×_Ug est contenu dans le support du

R∞-module Hom_Kp(σ_k,Π∞)⁰.

Remarque 3.25. En fait lorsque S =S_p t {v₁} où v₁ est une place de F+ vérifiant les conditions de [29, §5.3], d’après [29, Thm. 5.5.2], la Conjecture 3.24 est équivalente à la Conjecture de Breuil-Mézard raffinée dans les cas cristallins énoncée en [29, Conj. 4.1.6].

Proposition 3.26. La conjecture 3.24 implique la conjecture 3.22.

Démonstration. SoitUp l’ensemble des points lisses deXp. CommeXp est réduit, il s’agit d’un ouvert de Zariski, Zariski-dense dans Xp par la Proposition 2.3. Soit X une com-posante irréductible de X

tri(¯ρ_p). Supposons que X ∩U

tri(¯ρ_p)reg contienne un point x cristallin. Son image ω(x) ∈Tb0

p,L est donc un caractère algébrique. D’après le Théorème 2.6, l’application ω est lisse au point x. Il existe donc un voisinage affinoïde connexe U ⊂ U_tri(¯ρ_p)^reg ∩X de x dont l’image par ω est un ouvert affinoïde de Tb_p,L⁰ . En effet, d’après [1, Prop. 6.4.22], l’applicationω est plate enx. Quitte à se restreindre à des voi-sinages affinoïdes de x et ω(x), on peut voir ω comme l’analytifié d’un morphisme plat entre schémas formels X → Y. D’après [1, Prop. 5.10.14], un tel morphisme se factorise enX −→ U^g −→ Y^j oùj est une immersion ouverte etg est fidèlement plate, on conclut alors en observant qu’une application fidèlement plate est surjective (on peut aussi appliquer [36, Prop. 1.7.8]).

Comme de plus l’ensemble des caractères algébriques strictement dominants dansTb_p,L⁰

s’accumule en l’ensemble des caractères algébriques, il existe k strictement dominant tel que δ_k ∈ ω(U). Fixons un tel k. D’après [35, Cor. 2.7], on peut choisir le point y= (y₁, y₂)∈U×Up tel queω(y₁) = δ_k ety₁ ∈X^k_ρ¯p^−cr. Soitpun ideal maximal de R∞[¹_p] dont l’intersection avec Rloc[¹_p] soit l’idéal du point y.

La Conjecture 3.24 implique alors que Hom_Kp(σ_k,Π_∞[p])6= 0. On déduit alors de [15, Lemma 4.16], dont la preuve s’étend verbatim à notre situation, que l’on a un isomor-phisme

Hom_Kp(σk,Π_∞[p])'Hom_Gp(σk⊗Lπ(p),Π_∞[p])

oùπ(p) désigne la représentation lisse irréductible deGp, de la série principale, telle que π(p)⊗ |det|¹⁻2ⁿ corresponde au point p∩R_ρ¯p^,k−cr par la correspondance de Langlands locale (i.e. par la correspondance de Langlands locale appliquée en chaque placevdivisant p). On déduit de ceci et du calcul du module de Jacquet deσ_k⊗_Lπ(p) que tous les points de {(ι(y₁), y₂)} ×_Ug sont dans le support de M∞. Comme {y} ×_Ug est un ensemble irréductible de points lisses deX

tri(¯ρ_p)×X

¯

ρp×_Ug, il est inclus dans une unique composante irréductible de cet espace. Comme d’après le Théorème 3.20 le support de M∞ est une union de composantes irréductibles, on en déduit que l’image par ι de cette composante irréductible est incluse dans X_p(¯ρ). Remarquons à présent que l’ouvert U est connexe, donc cette composante irréductible contient également le point x de depart. Comme x est également un point lisse de X_tri(¯ρ_p)×X_ρ¯p×_Ug, l’ensemble X×X^p×_Ug est l’unique composante irréductible contenant ce point, on a donc au finalι(X)×Xp×_Ug ⊂X_p(¯ρ).

Proposition 3.27. La conjecture 3.22 implique la conjecture 3.24.

Démonstration. SoitX^p une composante irréductible deX_ρ¯p etδ_kun caractère algébrique strictement dominant deT_p. SoitX_p une composante irréductible de X_ρ¯p^,k−cr. D’après [19, Lem. 4.4], on peut choisir

x_p = (x_v)_v∈Sp ∈X_p ⊂X_ρ¯p^,k−cr' Y

v∈Sp

X^,kv−cr ¯

ρv˜

tel que la représentation cristalline de G_Fv˜ associée à x_v soit générique pour tout v ∈S_p au sens de la Définition 2.8. Soit δ le caractère δkη de T_p où η est le caractère lisse non ramifié de la forme Q

v∈Spηv avec ηv l’unique caractère lisse non ramifié de Tv envoyant (x₁, . . . , x_n) surQn

i=1ϕ^v(xi)

i où (ϕ₁, . . . , ϕ_n) est une suite de valeurs propres du Frobenius cristallin de x_v. Le Lemme 2.11 implique en particulier que le point (x_p, δ) appartient à U

tri(¯r)reg. Sous la Conjecture 3.22, on a donc {(x_p, δ)} × Xp ×_Ug ⊂ X_p(¯ρ). Notons temporairement

F^Gp

Bp(δ) :=F^Gp

Bp(U(g_L)⊗_U(b

L)(−λ), ηδ_B⁻¹_p),

oùλ= (k_τ,i+i−1)_τ∈Hom(F+

v,L),1≤i≤n. Fixons x∈ {(x_p, δ)} ×Xp×_Ug. Comme x∈X_p(¯ρ), il existe un morphisme non trivial deF^Gp

Bp(δ) vers Π∞[p_x]an. Pour prouver que le point y, image de x dans Spf(R_∞)rig est dans le support de Hom_Kp(σ_δ,Π_∞)⁰, il suffit de prouver que ce morphisme se factorise par le quotient localement algébrique de F^Gp

Bp(δ). Or si ce n’était pas le cas, la description des facteurs de Jordan-Hölder de F^Gp

Bp(δ) (cf. [11, Cor. 4.6]) implique qu’il existerait un caractère localement algébrique non dominant dans le socle de laTp-représentationJBp(Π∞[px]^an) et donc un point deXp(¯ρ) dont la projection dans X_tri(¯ρp) est de la forme (xp, δ⁰) avec δ⁰ un caractère localement algébrique de poids

non dominant, ce qui contredit le Lemme 2.11.

4. _{Application aux variétés de Hecke}

4.1. L’espace des représentations galoisiennes de pente finie. Rappelons que l’on a défini au §2.4 le Banach p-adiques Sb(Up, L) de niveau modéré Up.

SoitS, ¯ρetS comme aux §2.4 et §3.2, et X_ρ,¯S = Spf(R_ρ,¯S)rig. On désigne parY(Up,ρ¯) la sous-variété analytique rigide de X_ρ,¯S ×Tb_p,L support du faisceau cohérent M_Up défini par J_Bp(Sb(Up, L)an

m). Il s’agit de la définition de la variété de Hecke ([16]) proposée dans [27]. Les méthodes de [17, §3.8] permettent de montrer qu’il s’agit d’un espace rigide analytique réduit. Notons R ¯ ρ_S l’algèbre ^Ncv∈SR ¯ ρ˜v et R^¯ ¯ ρ_S l’algèbre c^Nv∈SR^¯ ¯ ρv˜ et X ¯ ρ_S = Spf(R^¯ ¯ ρ_S)rig. On a alors une décomposition en produit X_ρ¯S 'X_ρ¯p×X_ρ¯p et on définit

X_tri(¯ρ_S) = X_tri(¯ρ_p)×X_ρ¯p ⊂X_ρ¯

S ×Tb_p,L. On désigne parX

tri(¯ρ_S)aut le sous-espace analytique rigide fermé deX

tri(¯ρ_p)×X

¯

ρp union des composantes irréductibles X ×Xp, où X parcourt l’ensemble des composantes ir-réductibles Xp-automorphes (cf. Déf. 3.21) et Xp parcourt l’ensemble des composantes irréductibles de X

¯

ρp. L’espace X

tri(¯ρ_S)aut dépend donc des choix faits dans le Théorème 3.4.

Ce même choix donne lieu à un morphisme local de O_L-algèbres locales R_ρ¯^¯_S → R_ρ,¯S

obtenu par composition de l’inclusion naturelle R_ρ¯^¯_S ,→ R∞ avec le morphisme surjectif

R_∞ R_ρ,¯S du Théorème 3.4. Passant aux espaces analytiques rigides associés, on obtient une application Xρ,¯S →X_ρ¯S.

Le but de cette partie est de comparer les espaces Y(Up,ρ¯) et X(¯ρ)_fs :=ι(X_tri(¯ρ_S))×_X

¯

ρS X_ρ,¯S.

Ce dernier espace est introduit dans [33] (avec fs pour « finite slope »). Remarque 4.1. On a R_ρ,¯S =R_ρ,S¯ ⊗b_R ¯ ρSR^¯ ¯ ρ_S. En particulier on a Xρ,¯S = Spf(Rρ,S¯ )^rig×_Spf(R ¯ ρS^)rig Spf(R_ρ^¯_¯S)^rig. Chaque R^¯ ¯

ρ˜v est le plus grand quotient réduit et sans p-torsion de R ¯

ρv˜. On déduit alors de la preuve de [43, Lem. 3.4.12] que R^¯

¯

ρS est le plus grand quotient réduit et sans p-torsion de R ¯ ρS. Ainsi Spf(R ¯ ρS)rig etSpf(R^¯ ¯

ρS)rig ont même espace sous-jacent, et donc les espaces analytiques rigides Spf(R_ρ,S¯ )^rig et X_ρ,¯S ont même espace sous-jacent.

Nous aurons également besoin des notations suivantes. L’espace analytique rigideX_ρ¯p, étant un produit d’espaces analytiques rigides réduits, est réduit. L’ensemble de ses points lisses forme donc un ouvert au sens de Zariski qui est non vide et Zariski-dense. Notons

X_ρ¯p^,reg cet ouvert. Soit

X(¯ρ)^reg_fs =X_ρ,¯S×_X

¯

ρp×X

¯

ρp (ι(U_tri(¯ρ_p)^reg)×X_ρ¯p^,reg).

Il s’agit d’un ouvert au sens de Zariski de X(¯ρ)_fs. On définit alors Y(U_p,ρ¯)^reg le sous-espace analytique ouvert (au sens de Zariski) de Y(U^p,ρ¯) dont l’espace sous-jacent est donné par Y(U^p,ρ¯)∩X(¯ρ)^reg_fs et muni de la structure d’espace analytique rigide induite par celle de Y(U^p,ρ¯).

Remarquons que comme X

tri(¯ρ_S) est un sous-espace analytique fermé de X ¯

ρS ×Tb_p,L, l’espaceX(¯ρ)_fs est un sous-espace analytique fermé de X_ρ,¯S×Tb_p,L.

Théorème 4.2. Dans X_ρ,¯S × Tb_p,L, on a une égalité d’ensembles fermés analytiques Y(Up,ρ¯) =X_ρ,¯S×_X

¯

ρS ι(X

tri(¯ρ_S)aut).

Démonstration. L’isomorphismeR_ρ,¯S 'R∞/ase traduit, en termes d’espaces analytiques rigides par un isomorphisme X_ρ,¯S ' Sp(L)×_Spf(S∞)rig (X

¯

ρS ×_Ug), l’application Sp(L)→

Spf(S∞)rig provenant de la spécialisation y_i 7→ 0, ce qui nous permet d’identifier X_ρ,¯S

à un sous-espace analytique rigide fermé de X∞ × Tb_p,L. Par exactitude à gauche du foncteur J_Bp ainsi que du foncteur de passage aux vecteurs localement analytiques, on a J_Bp(ΠR∞−an

∞ )[a] ' J_Bp(Π∞[a]an). L’isomorphisme (3.4) montre alors que le faisceau cohérentM_Up surX_ρ,¯S×Tb0

p,Lest l’image inverse du faisceau cohérentM∞surX∞×Tb0

p,L. On en conclut que le support de M_Up en tant que partie fermée analytique coïncide avec l’image inverse du support de M∞, c’est-à-dire est le fermé analytique sous-jacent à Sp(L)×_Spf(S∞)rigX_p(¯ρ). Il suffit à présent de remarquer queX_p(¯ρ) = ι(X_tri(¯ρ_S)^aut)×_Ug

par le Théorème 3.20 et que

Sp(L)×_Spf(S∞)rig(ι(X_tri(¯ρS)^aut)×_U^g)'Sp(L)×_Spf(S∞)rigX_ρ¯S×_X

¯ ρS (ι(X_tri(¯ρS)^aut)×_U^g) '(Sp(L)×_Spf(S∞)rigX∞)×_X ¯ ρS ι(X_tri(¯ρ_S)^aut) 'X_ρ,¯S ×_X ¯ ρS ι(X_tri(¯ρ_S)^aut). 36

Corollaire 4.3. La conjecture 4.16 de [33] est vraie lorsque ρ¯vérifie les hypothèses des

Dans le document UNE INTERPRÉTATION MODULAIRE DE LA VARIÉTÉ TRIANGULINE (Page 34-38)