Compl´ ements de m´ ecanique vibratoire
C.2 Comportement vibratoire d’un anneau mince
Pour cette ´etude, nous n’´etudierons que la d´eformation de la fibre moyen-ne. Dans le cas o`u l’´epaisseur apporte une contribution, cette derni`ere sera prise en compte au niveau des param`etresmc eted´ecrits dans la section 4.2 qui modifierons la valeur du moment quadratique et donc ´egalement la variation de courbure. Apr`es calcul de l’´equation diff´erentielle de la ligne
´elastique, nous traiterons d’abord du cas de la d´eformation d’extension puis de la d´eformation de flexion en utilisant toujours les deux approches – clas-sique ou ´energ´etique.
C.2.1 Equation diff´´ erentielle de la ligne ´elastique
Nous allons ´etudier l’´equation diff´erentielle de la ligne ´elastique d’une barre courbe mince, `a fibre moyenne circulaire. La longueur initiale d’un
´el´ement et sa courbure initiale valent :
ds=Rdθ (C.43)
dθ ds = dθ
R·dθ = 1
R (C.44)
Pour une fl`eche assez faible, apr`es d´eformation, la courbure est donn´ee par l’´equation (C.45) et laFigC.7 :
1
R1 = dθ+ ∆dθ
ds+ ∆ds (C.45)
L’angle correspondant `a la sectionn1 vaut duds + dds22uds d’o`u ∆dθ = dds22uds.
La variation de longueur est sensiblement ´egale `a ∆ds=−udθ=−udsR .
Fig. C.7 – D´eformation de la section d’une poutre courbe (notations de la Fig par rapport au texte :r1=R1,r=Retϕ=θ)
On obtient finalement5 : 1 R1 − 1
R =− M
E·IGz = d2u ds2 + u
R2 (C.46)
C.2.2 D´eformation de flexion
Approche classique : forces, d´eplacements et principe de d’Alem-bert
Contrairement au cas d’une poutre droite, la courbure initiale apporte un couplage entre les d´eplacements radiauxuet tangentiauxv. Ils faut donc calculer ces deux param`etres en mˆeme temps.
Fig. C.8 – anneau mince
5ces diff´erents calculs peuvent ˆetre retrouv´es dans des ouvrages de r´esistance des mat´eriaux tels que [Timoshenko68] Tome I p 383–385
Soit N, l’effort normal `a une section, T l’effort tranchant, R le rayon initial de l’anneau, ρ·A la masse par unit´e de longueur de l’anneau, M le moment fl´echissant eth l’´epaisseur de l’anneau.
En supposant, le rayonRsuffisamment grand devant l’´epaisseurh, nous obtenons `a l’aide du principe ded’Alembert le jeu de trois ´equations sui-vantes6 7 :
Ces trois ´equations sont compl´et´ees par la condition d’inextension de la ligne centrale ∂v∂θ = u et l’´equation diff´erentielle de la ligne ´elastique que nous avons exprim´ee pr´ec´edemment et qui prend maintenant la forme :
M = E·IGz
R2 ·∂2u
∂θ2 + ∂v
∂θ
(C.50)
Pour pouvoir r´esoudre cette ´equation analytiquement, on conserve l’hy-poth`ese d´ej`a utilis´ee pour les barres droites qui consiste `a n´egliger l’inertie de rotation. Cette hypoth`ese est admise car nous travaillons sur des poutres minces. Nous obtenons :
∂M
∂θ +T·R≈0 (C.51)
Grˆace `a ce jeu d’´equation, on peut trouver l’´equation diff´erentielle pour u et pourv. On exprime tout d’abordT en fonction de v, nous obtenons :
T =−E·IGz
En replacant le tout dans la derni`ere ´equation non utilis´ee, nous obtenons une ´equation diff´erentielle pourv de la forme :
E·IGz
7ce jeu d’´equation a ´et´e obtenu par l’auteur `a partir du travail r´ealis´e par A.E.H.Love sur la vibration destores, dans son ouvrage [Love44]
Pour d´eterminer les fonctions normales des vibrations propres, on doit consid´ererv comme fonction stationnaire, sinuso¨ıdale en temps. Soit :
v(t, θ) =V(θ)·cos(ωt+ϕ) (C.55) L’´equation (C.54) s’´ecrit pourV(θ) :
∂6V
∂θ6 + 2·∂4V
∂θ4 +∂2V
∂θ2 ·
1− ρ·A·R4·ω2 E·IGz
+V ·ρ·A·R4·ω2 E·IGz
= 0 (C.56) La solution d’une telle ´equation ne peut ˆetre que trigonom´etrique :
V(θ) = X3 ν=1
Aν ·cos(nνθ) +Bν·sin(nνθ)
(C.57) Avec les troisnν, racines de l’´equation :
n2·(n2−1)2 = (n2+ 1)·ρ·A·R4·ω2
E·IGz (C.58)
D’apr`es la condition de continuit´e – anneau entier – , n doit forc´ement ˆetre entier sup´erieur `a l’unit´e, les pulsations propres sont donc donn´ees par l’´equation :
ωn2 = E·IGz
ρ·A·R2 ·n2·(n2−1)2
(n2+ 1) (C.59)
L’´equation pour u est obtenue en utilisant ∂v∂θ = u, ainsi, il y a un d´ephasage spatial de π2 entre u etv – les sinus deviennent des cos et inver-sement. De plus, pourn= 1, on constate que la pulsation propre est nulle, ceci s’explique par l’allure de la d´eform´ee de laFig C.9 o`u l’on constate qu’on a un mode de corps rigide – un d´eplacement sans d´eformation – qui ne peut qu’avoir une pulsation propre nulle pour des conditions aux limites libre-libre. Pour n = 2, l’anneau est d´eform´e sous son mode fondamental
Fig. C.9 – mode de corps rigide de l’anneau –n= 1
de flexion. Le nombre de noeuds8 augmente alors comme deux fois n (cf.
Fig C.10).
8un nœud est unpointo`u la d´eform´ee est nulle, un ventre est unpointo`u la d´eform´ee est maximale
Fig. C.10 – modes de flexion de l’anneau : (a)n= 2, (b)n= 3, (c)n= 4
Approche ´energ´etique : ´energie cin´etique, potentielle, principe de Hamilton et ´equations de Lagrange .
On a vu lors de l’´etude de l’´equation diff´erentielle de la ligne ´elastique que l’´elongation unitaire de la ligne centrale valaitεθθ =−Ru + R∂θ∂v et que la variation de courbure valait9 :
1 R1 − 1
R= M
E·IGz = d2u ds2 + u
R2 = d2u
R2·dθ2 + u
R2 (C.60)
Nous avons pu montrer pr´ec´edemment que pour le cas le plus g´en´eral d’une vibration de flexion, nous pouvions exprimer le d´eplacement u sous forme d’une s´erie trigonom´etrique :
u(t, θ) =a1·cos(θ) +a2·cos(2θ) +· · ·+b1·sin(θ) +b2·sin(2θ) +· · · (C.61) o`u tous les coefficientsan etbn sont des fonctions du temps.
De mˆeme que pr´ec´edemment, on peut consid´erer les flexions sans exten-sion, on a alorsεθθ = 0 et ∂v∂θ =u, ce qui nous donne pour v :
v(t, θ) = −a1·sin(θ)−1
2 ·a2·sin(2·θ)− · · ·+b1·cos(θ) +· · · (C.62) A partir du moment de flexion de n’importe quelle section` M = ER·IGz2 · ∂2u
∂θ2 +u
, on d´eduit l’´energie potentielle de flexion, soit :
V = 1 2·
Z 2π 0
E·IGz
R4 ·∂2u
∂θ2 +u2
Rdθ (C.63)
9contrairement `a la section sur le calcul de l’´equation diff´erentielle de la ligne ´elastique, on consid`ere dans cette section queuest d´efini positif vers l’ext´erieur de l’anneau, ce qui change les signes de l’´equation (C.60)
Les fonctions trigom´etriques sont orthogonales entre elles, c’est `a dire : On obtient donc en remplacantu etv par leurs s´eries trigonom´etriques :
V = E·IGz ·π 2·R3 ·
X∞ n=1
(1−n2)2·(a2n+b2n) (C.65) L’´energie cin´etique prend la forme suivante :
T = ρ·A 2 ·
Z 2π
0
( ˙u2+ ˙v2)Rdθ (C.66) On obtient de nouveau en remplacantuetvpar leurs s´eries trigonom´etriques :
T = ρ·A·R·π Une fois les ´energies cin´etiques et potentielles connues, on calcule le La-grangien L = T − V que l’on reporte dans les ´equations de Lagrange, solutions du probl`eme de minimisation de l’int´egrale d’action A pour un syst`eme conservatif – n’ayant pas de fonction de dissipation.
d
Les fonctions an et bn jouant le rˆole des coordonn´ees g´en´eralis´ees q. On obtient pour ces deux coordonn´ees exactement la mˆeme ´equation :
π·R·ρ·A·(1− 1 La pulsation propre associ´ee `a chaque mode nest alors d´efinie par :
ω2= E·IGz ·n2·(1−n2)2
ρ·A·R4·(1 +n2) (C.70) On retrouve donc exactement la mˆeme ´equation qu’avec la m´ethode directe.
De mˆeme pour n = 1, on obtient ω1 = 0, on a donc u = a1 ·cos(θ) et v = a1·sin(θ) : l’anneau tourne avec un mouvement de corps rigide. Pour n= 2, l’anneau est d´eform´e sous son mode fondamental de flexion.
C.2.3 D´eformation d’extension
Approche classique : forces, d´eplacements et principe de d’Alem-bert
La vibration d’un anneau comprend ´egalement une vibration d’extension analogue `a celle d’une poutre droite – vibration longitudinale. L’extension de la ligne centraleεθθ et la tension – force d’extension –N valent d´esormais :
εθθ =1 Les valeurs de la force de cisaillement et du moment fl´echissant sont d’ordre quatre de l’´epaisseur alors que la force normale est d’ordre deux, on peut donc en premi`ere approximation n´egliger ces deux efforts devant la force normale. Le jeu d’´equation ainsi obtenu sera :
ρ·A·R·∂2u
De mˆeme que pr´ec´edemment, nous avons un mouvement harmonique en temps et en espace de la forme :
u(t, θ) = o`u les pulsations propres valent d´esormais :
ωn2 = E·A
ρ·A·R2 ·(1 +n2) (C.77) On remarque que quand n = 0, v devient nul, u est ind´ependant de θ et l’´equation du mouvement est exactement satisfaite10. l’anneau vibre radia-lement et la ligne centrale forme un cercle de rayon variable p´eriodiquement.
Les sections bougent alors radialement sans rotation suivant laFigC.11.
Approche ´energ´etique : ´energie cin´etique, potentielle, principe de Hamilton et ´equations de Lagrange .
Dans la section pr´ec´edente, nous avons vu qu’il y avait une infinit´e de mode d’extension de l’anneau mais que nous ne conservions que le premier,
10les valeurs des pulsations propres d’extension ne sont connues analytiquement exacte-ment que pour le moden= 0, pour les autres valeurs den, la formule (C.77) n’est qu’une solution approch´ee (cf. [Love44])