Comportement d’une microbulle d’ACUs

2.3

Comportement d’une microbulle d’ACUs

En réponse à une excitation acoustique, la microbulle va renvoyer un écho dans toutes les directions ce qui fait d’elle un excellent diffuseur d’ultrasons. Il faut cependant noter que la capacité de la microbulle à réfléchir l’onde ultrasonore est liée à ses propriétés physiques telles que la compressibilité du gaz ou à ces propriétés viscoélastiques liées à la composition de son enveloppe. Sa réponse acoustique va également être liée à l’index mécanique (IM ) exprimé en M P a.M Hz−1/2. Ce dernier est un des paramètres fondamentaux en imagerie ultrasonore. L’IM est corrélé à la pression acoustique et s’exprime de la façon suivante,

IM = P

−_(t)

√ fe

, (2.1)

où P−(t) est la pression négative et fe la fréquence d’excitation.

En présence d’une onde acoustique de faible amplitude et de fréquence f_e, correspondant à un faible IM (< 0, 1), la microbulle entre en oscillation radiale avec une fréquence fe

(fig.2.2.A et B). Son rayon s’exprime de la façon suivante

R(t) = R0+ r(t) (2.2)

avec r(t) une fonction dépendante du temps qui représente le déplacement de l’enveloppe de la bulle. On observe une compression de la microbulle lors de la phase positive de l’onde et une dilatation lors de la phase négative (fig.2.2.C). Dans ce cas, la bulle peut être assimilée à un oscillateur harmonique (équation 1.15, p.30). Si l’on augmente l’amplitude de l’excitation ultrasonore (0, 1 < IM < 0, 5), les phases de compression et de dilatation de la bulle deviennent asymétriques et entraînent la bulle dans un régime non linéaire caractérisé par la génération d’harmoniques (k.fe) (fig.2.3). Dans ce cas, la dynamique de

la microbulle est donnée par l’équation "RPNNP" 1.17 p.30.

En présence d’une excitation ultrasonore spécifique, la microbulle peut présenter des oscillations non sphériques au travers d’instabilités à l’interface gaz/fluide. Dans ce cas, le rayon devient une fonction dépendante de l’espace

R(t) → R(α, ϕ, t) = R(t) + ξ(α, ϕ, t), (2.3)

où ξ(α, ϕ, t) est une perturbation dont les coordonnées α et ϕ représentent respectivement les variations polaire et azimutale. La microbulle présente des motifs de surface que l’on appellera par la suite, des modes de vibration. Ces modes de vibrations sont caractérisés par un ordre n et dépendent des paramètres d’excitation (fig.2.4). C’est ce comportement qui nous intéressera plus particulièrement dans la quatrième partie de cette thèse. L’ordre n = 0 correspond au mode radial (succession de compressions et de dilatations). Pour l’ordre n = 1, on observe le déplacement du centre de masse de la microbulle.

2.4

Conclusion

Les microbulles encapsulées utilisées dans les ACUs ont largement contribué à l’évolu- tion de l’échographie de contraste et de la thérapie locorégionale. Les microbulles ont une

2.4. CONCLUSION rayon temps (µs) Fréquence (MHz) pu is sance A B n=0 pressi on p(t ) C fe

Figure 2.2 – Schéma du comportement linéaire d’une bulle. A : rayon de la bulle en fonc- tion du temps. La bulle oscille de façon symétrique (i.e. les amplitudes de compression et de dilatation sont équivalentes). B : spectre du signal. La bulle oscille à une fréquence égale à la fréquence de l’excitation f_e. C : la bulle oscille volumétriquement dans un champ acous- tique. Pour des pressions positives et négatives, on observe respectivement une compression et une dilatation de la bulle.

2.4. CONCLUSION

rayon

temps (µm)

fréquence (MHz)

pu

is

sance

A

B

Figure 2.3 – A : rayon de la bulle en fonction du temps. La bulle oscille de façon asymé- trique (i.e. les amplitudes de compression et de dilatation sont différentes). B : spectre du signal. On observe la génération d’harmoniques k.f_e avec k ∈_Q.

n=0

n=3

n=4

n=5

n=6

Figure 2.4 – Exemples de modes de vibration d’une microbulle. Image extraite de [Versluis et al. (2010)].

BIBLIOGRAPHIE

dynamique complexe qui est affectée par les propriétés viscoélastiques de l’enveloppe. Une description théorique du comportement rhéologique2 des bulles est donc d’une importance primordiale. On trouve dans la littérature différents modèles rendant compte du compor- tement d’une microbulle d’ACUs soumise à une excitation acoustique. Ces modèles font l’objet du chapitre suivant.

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2. La rhéologie est un domaine de la mécanique propre à l’étude de la viscosité, la plasticité et l’élasticité de la matière, ainsi qu’à son comportement lorsqu’elle est soumise à une contrainte.

Deuxième partie

État de l’art...

"Que la science que nous acquérons par la lecture ne soit pour nous que le ciseau du sculpteur ;

qu’elle nous aide à tailler le bloc de pensées et de sentiments qui fait le fond de nous-mêmes."

CHAPITRE

3

...DES MODÈLES MATHÉMATIQUES DES ACU

Ce chapitre présente l’état de l’art des différents modèles mathématiques que l’on peut trouver dans la littérature et qui décrivent le comportement oscillatoire de microbulles d’ACUs encapsulées dans une enveloppe biocompatible et soumises à une excitation acoustique. Chaque section de ce chapitre est consacrée à un modèle mathématique. Sommaire 3.1 Introduction . . . 45 3.2 Modèle de de Jong . . . 46 3.3 Modèle de Church . . . 47 3.4 Modèle de Hoff . . . 48 3.5 Modèle de Chatterjee-Sarkar . . . 48 3.6 Modèle de Marmottant . . . 49 3.7 Modèle de Maxwell (Doinikov et Dayton) . . . 50 3.8 Modèle de Tsiglifis-Pelekasis . . . 51 3.9 Conclusion . . . 52

3.1

Introduction

Les microbulles d’ACUs ont une dynamique complexe qui est fortement influencée par les propriétés physiques de l’enveloppe. En effet, les bulles encapsulées dans une fine enveloppe élastique, se comportent différemment des bulles nues (i.e. sans enveloppe). De nombreuses études ont été conduites afin de modéliser le comportement de cette enveloppe. La littérature présente un certain nombre de modèles décrivant la dynamique des mi- crobulles d’agents de contraste. Tous ces modèles mathématiques prennent pour point de