Comportement des deux versions de l’approche

G´en´eralement, quand on opte pour une strat´egie de type heuristique pour r´esoudre un probl`eme d’optimisation, il est important de bien choisir les param`etres intrins`eques `

notre approche, le mˆeme principe s’applique `a RLS et `a MRLS qui n´ecessitent quatre d´ecisions.

– RLS utilise le param`etre p qui correspond au nombre de fois qu’une solution courante peut ˆetre d´egrad´ee et M axIter le nombre d’it´erations autoris´ees pour l’interchange local.

– MRLS utilise en plus des deux param`etres cit´es ci-dessus, une liste m´emoire dont la taille doit ˆetre fix´ee.

Un meilleur choix de ces param`etres, permettraient d’obtenir des solutions de qua- lit´e “sup´erieure”, cependant, ces ajustements conduisent parfois `a des temps d’ex´ecution plus importants. L’ensemble des valeurs choisies pour nos tests repr´esente un meilleur compromis entre la qualit´e de la solution obtenue et le temps n´ecessaire `a l’obtention d’une telle solution pour une instance du probl`eme MMKP. Ci-apr`es nous pr´esentons les diff´erents r´eglages utilis´es par les deux versions de l’algorithme.

Pour obtenir une meilleure valeur pour M axIter, repr´esentant le nombre maximum d’it´erations utilis´e par l’algorithme, nous avons introduit une variation de ce param`etre dans l’intervalle discret {5n, 15n, 20n}. Ces tests ont ´et´e effectu´es en fixant le pa- ram`etre p, qui autorise le nombre de fois qu’une solution courante peut ˆetre d´egrad´ee, `

a 5 (plus loin, nous discuterons le choix du param`etre p).

Lors des tests, nous avons constat´e que lorsque M axIter prenait des valeurs grandes, alors (i) la qualit´e des solutions devenait meilleures et (ii) le temps d’ex´ecution devenait tr`es important. Le Tableau 4.8 montre la qualit´e des r´esultats obtenus lorsqu’on fait varier le nombre d’it´erations. On peut remarquer que la moyenne du rapport d’approxi- mation (AR : colonne 2) varie entre 0.9752 et 0.9974. La meilleure moyenne de AR est obtenue en fixant la valeur de M axIter `a 15n avec un temps d’ex´ecution moyen le plus important (Ligne 3, colonne 3) et en obtenant le plus grand nombre de solutions optimales/meilleures (Ligne 3, colonne 4). Dans ce qui suivra, on fixera M axIter `a 15n. Maintenant, discutons du choix du param`etre p. Pour cela on analyse le compor- tement de RLS lorsqu’ on fait varier la valeur de p. Le Tableau 4.9 reporte la qualit´e des solutions obtenues pour p choisis dans l’intervalle discret {5, 15, 20}. On peut constater que la moyenne du rapport d’approximation (colonne 2) varie entre 0.9812 et 0.9974, et que le meilleur r´esultat est obtenu pour p = 5. Le tableau montre aussi que si on opte pour une valeur de p aussi grande, alors la diversification utilis´ee devient

# It´erations Moyenne AR Moyenne T # Solutions optimales/meilleures

5n 0.9752 2.42 7

10n 0.9886 6.14 7

15n 0.9974 8.04 8

Tab. 4.8 – Comportement de RLS selon la variation du nombre d’it´erations M axIter et en fixant p `a 5.

moins significative (dans le sens que l’approche est incapable de produire de meilleures solutions). Pour une valeur de p = 5, RLS consomme en moyenne un temps moins im- portant (Ligne 3, colonne 4) et produit un nombre important de solutions optimales ou meilleures. N´eanmoins, nous pensons que pour la plus grande valeur, l’algorithme ex- plore une r´egion plus importante de l’espace admissible et par cons´equent, la recherche r´eactive est incapable de rep´erer une meilleure direction de recherche pour am´eliorer des solutions visit´ees. On peut donc conclure qu’une valeur interm´ediaire pour p permet d’obtenir de meilleures solutions.

Varier p Moyenne AR Moyenne T # Solutions optimales/meilleures

5 0.9974 8.04 8

15 0.9865 8.32 7

20 0.9812 9.04 7

Tab. 4.9 – Comportement de RLS selon la variation de p.

Nous discutons `a pr´esent, le choix de la taille de la m´emoire, not´ee Liste, utilis´ee dans la seconde version de l’algorithme MRLS. Nous rappelons que la liste m´emoire remplace la strat´egie de d´eblocage d’une solution dans la version MRLS de l’approche. Ce remplacement est effectu´e sur les solutions qui ne sont pas suffisamment am´elior´ees. Dans notre ´etude, nous avons consid´er´e une variation dynamique de la longueur de la liste. En effet, si n repr´esente le nombre de classes, alors la longueur de la liste est automatiquement choisie dans un intervalle discret. Le changement dans la liste est effectu´e apr`es 50 it´erations sans am´elioration de la meilleure solution courante. Afin de trouver un meilleur intervalle de variation de la longueur de la liste, nous avons compar´e diff´erents intervalles. Le Tableau 4.10 reporte les r´esultats obtenus par MRLS pour les diff´erents choix d’intervalles (sur l’ensemble des tests que nous avons effectu´es,

nous avons report´e trois types d’intervalles significatifs).

On peut remarquer que le rapport d’approximation moyen varie entre 0.9921 et 1, et les meilleurs r´esultats sont obtenus pour l’intervalle [2n, 2n + 10]. Dans ce cas, MRLS atteint toutes les solutions optimales/meilleures et consomme un temps d’ex´ecution moyen ´egal `a 14.52 secondes. On remarque aussi que si la taille de la m´emoire est grande ou petite, alors le stockage des solutions devient moins efficace. En effet, MRLS d´egrade la qualit´e des r´esultats obtenus. On pense que pour un petit intervalle, la m´emoire est incapable de d´etecter certains ph´enom`enes li´es au cyclage. En revanche, pour un intervalle de taille importante, la m´emoire stocke un nombre important de valeurs correspondant aux configurations (ce qui emp`eche une meilleure exploration de l’espace). Ajout´e `a cela, le traitement devient “lourd”, ceci est dˆu `a la recherche d’une valeur dans la m´emoire. On peut conclure qu’il n’est pas n´ecessaire d’utiliser une petite ou une grande taille de la m´emoire pour obtenir de meilleures solutions.

Intervalle de la liste Moyenne AR Moyenne T # Solutions optimales/meilleures [n, n + 10] 0.9959 8.11 7

[2n, 2n + 10] 1 14.52 10 [3n, 3n + 10] 0.9921 16.23 8

Tab. 4.10 – Comportement de MRLS selon la variation dynamique de la longueur de la liste m´emoire.