Antonin Della Noce1, Amélie Mathieu2 & Paul-Henry Cournède1
1
Laboratoire MICS, CentraleSupélec, Université Paris-Saclay, 9 rue Joliot-Curie, 91190, Gif-sur-Yvette
2 UMR ÉcoSys, INRA AgroParisTech, Route de la ferme, 78850 Thiverval-Grignon
antonin.della-noce@centralesupelec.fr
Le formalisme de limite de champ moyen a été historiquement appliqué à des systèmes étudiés en physique statistique pour décrire leurs comportements macroscopiques à partir de modèles d’interaction à l’échelle microscopique. Il s’est développé à partir d’équations décrivant des gaz et des fluides. Cette limite peut être interprétée comme une approximation du milieu continu : elle permet le passage d’un sys- tème différentiel décrivant la dynamique d’une population finie de particules à une équation de transport non-locale donnant l’évolution de la densité de probabilité représentant le système comme un continuum. Ce formalisme a récemment été généralisé à des populations d’organismes vivants, notamment aux es- saims d’oiseaux et aux bancs de poissons [1], ou encore aux réseaux de neurones naturels [2]. Pour des populations d’individus vivants, il peut être pertinent de supposer que les individus ne sont pas iden- tiques, ont des caractéristiques propres. Introduire de la diversité dans la population rompt la symétrie et a des conséquences notables sur la dynamique. Dans des populations dont la taille est bien en deçà de l’Avogadro, il est aussi intéressant d’identifier la taille critique de la population au delà de laquelle les trajectoires microscopiques sont proches de la trajectoire donnée par la limite de champ moyen pour une précision donnée.
Nous nous intéressons donc à une population d’individus décrits par ((Xi, θi))1≤i≤N où X ∈ X est
l’état de l’individu (e.g. sa position, sa vitesse,...) et θ ∈ Θ est un vecteur de paramètres regroupant les caractéristiques propres de l’individu qui sont supposées fixées dans le modèle considéré (e.g. sa masse, sa couleur,...). La limite de champs moyen obtenu en appliquant une méthodologie similaire à [3] a pour flot caractéristique ∀X, θ ∈ X × Θ, X(0, X, θ) = X ∂X ∂t (t, X, θ) = Z X ×Θ g (X(t, X, θ), θ, X(t, X0, θ0), θ0) µ0(dX0, dθ0)
Dans l’équation ci-dessus, g est une fonction d’interaction et µ0est une mesure de probabilité représentant
la configuration initiale de la population. Le flot caractéristique t 7→ X(t, X, θ) représente la trajectoire d’une particule intéragissant avec un continuum d’autres individus, eux-mêmes mus par une dynamique identique. Nous proposons un schéma numérique pour approcher t 7→ X(t, X, θ) sur l’ensemble X × Θ. Le schéma n’utilise qu’une discrétisation en temps, car discrétiser l’espace X ×Θ est prohibitif numériquement même pour des modèles simples. À chaque pas de temps de la discrétisation, (X, θ) 7→ X(t, X, θ) est approchée en utilisant une régression par processus gaussiens, dont le noyau de corrélation ktest calculée
à partir de la fonction de transition g. La simulation du flot caractéristique permet entre autre de valider l’hypothèse de l’approximation de champ moyen et ouvre des perspectives pour l’inférence statistique sur de grandes populations avec interactions, notament l’inférence par méthode bayésienne variationnelle.
Références
1. P. Degond, A. Frouvelle & S. Merino-Aceituno, Math. Models Methods Appl. Sci., 27, 1005–1049 (2017)
2. B. Perthame, D. Salort & G. Wainrib, Physica D, 353–354, 20–30 (2017)
3. F. Golse, On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit, in Macroscopic and Large Scale Phenomena: Coarse Graining, Mean Field Limits and Ergodicity, A. Muntean, J. Rademacher & A. Zagaris (éditeurs), Springer, pp. 1–144 (2016).
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rencontre du non-linéaire 2019 123
Dynamiques transitoires de sillage dans le « pinball fluidique »
Nan Deng1,2, Luc R. Pastur1, Bernd R. Noack2,3,4, Guy Cornejo-Maceda2, François Lusseyran2,
Jean-Christophe Loiseau5 & Marek Morzyński6
1
IMSIA – UMR9219 , ENSTA ParisTech, Palaiseau, France
2 LIMSI – CNRS, Université Paris Saclay, Orsay, France
3
Harbin Institute of Technology, China
4
Tecnische Universität Berlin, Allemagne
5
Laboratoire DynFluid, École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers, Paris, France
6
Pozńan University of Technology, Pologne nan.deng@ensta-paristech.fr
La configuration d’écoulement dite du « pinball fluidique », ou « flipper fluidique », a été récemment introduite avec l’objectif de proposer un système à la fois simple et rapide à simuler numériquement pour expérimenter différentes techniques de contrôle en mécanique des fluides, et suffisamment riche pour adresser les problèmes liés aux entrées et sorties multiples dans ces systèmes, dont la dynamique est intrinsèquement non-linéaire et la dimension de l’espace des états virtuellement infinie (équations Navier-Stokes). Il s’agit de trois cylindres disposés sur les sommets d’un triangle équilatéral en écoule- ment transverse, dont les actionneurs sont les cylindres eux-mêmes, susceptibles de tourner sur leur axe propre, tandis que les capteurs sont des sondes de vitesse ou de pression placées dans le sillage ou à la surface des cylindres, respectivement [1, 2]. La dynamique naturelle, non forcée, de cette configuration d’écoulement s’est révélée étonnamment riche [3,4]. C’est ce que nous souhaitons mettre en évidence dans cette contribution, où les dynamiques transitoires du système dynamique sous-jacent, étudiées du point de vue des coefficients de portance et de trainée du système fluide, sont instructives quant aux méca- nismes à l’œuvre dans cet écoulement, en particulier vis-à-vis des deux bifurcations, Hopf puis fourche supercritiques, subies par le système, à nombre de Reynolds croissant, sur sa route vers le chaos [5, 6].
Références
1. B. R. Noack, K. Afanasiev, M. Morzyński, G. Tadmor & F. Thiele, A hierarchy of low-dimensional models for the transient and post-transient cylinder wake, J. Fluid Mech., 497, 335–363 (2003).
2. B. R. Noack & M. Morzyński, The Fluidic Pinball: A Toolkit for Multiple-Input Multiple-Output Flow Control (version 1.0), Tech. Rep. 02/2017. Chair of Virtual Engineering, Poznan University of Technology, Poland (2017).
3. N. Deng, B. R. Noack, M. Morzyński & L. R. Pastur, Low-order model for successive bifurcations of the fluidic pinball, arXiv preprint arXiv:1812.08529 (2018).
4. J. C. Loiseau, N. Deng, L. R. Pastur, M. Morzyński, B. R. Noack & S. L. Brunton, Sparse reduced-order modeling of the fluidic pinball, in Journées du GDR Contrôle des Décollements (2017). 5. N. Deng, L. R. Pastur, M. Morzyński & B. R. Noack, Reduced-order modeling of the pinball fluidique,
in International Conference on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (2018).
6. N. Deng, L. R. Pastur, M. Morzyński & B. R. Noack, Route to chaos in the fluidic pinball, in ASME 2018 5th Joint US-European Fluids Engineering Division Summer Meeting (p. V001T01A005), American Society of Mechanical Engineers (2018).
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124 rencontre du non-linéaire 2019