Comportement quand γ → ∞

Afin de valider numériquement le théorème 3.2.4, nous nous intéressons au comportement

deη lorsqueγ → ∞. Nous avons montré théoriquement que sif est constant par maille, notre

estimateurηtend vers l’estimateurη^∗défini de la manière suivante :

η^∗ = ¹

4µ

X

T∈Th

kf ⊗(x−x_T)k²_0,T +J^∗(u^∗_h,u^∗_h)

oùu^∗_hest la solution obtenue avec des éléments finis de Crouzeix-Raviart. On notera :

η^∗₁ = ¹

4µ

X

T∈Th

kf ⊗(x−xT)k²_0,T.

On considère alors la solution exacte suivante :

u= ^{1 +x+ 2x}

2+ 2y²+xy

1−y+ 2x²−1

2y²−4xy

!

, p=x−y. (4.2)

On note que des résultats similaires ont été obtenus pour d’autres solutions exactes. Dans le tableau

Tab. 4.9 nous présentons les valeurs successives deη pour un maillage donné comportant 4096

éléments. Plus précisément, on étudie le comportement du termeη₁ qui devrait tendre versη₁^∗ et

du termeJ^∗(u_h,u_h)qui devrait tendre vers le termeJ^∗(u^∗_h,u^∗_h)lorsqueγ → ∞.

γ 10 20 30 100 1000 γ → ∞

η₁ 0,1687 0,1681 0,1680 0,1680 0,1680 η₁^∗=0,1680

J^∗(u_h,u_h)1/2 0,1920 0,1918 0,1917 0,1917 0,1917 J^∗(u^∗_h,u^∗_h)1/2=0,1917

Deuxième partie

Introduction

Dans cette partie on s’intéresse à la discrétisation du problème de Giesekus pour la simulation

numérique des écoulements de liquides polymères. L’organisation de cette partie est la suivante.

Dans un premier chapitre, nous présentons quelques comportements des liquides polymères

et nous faisons une revue brève des modèles rhéologiques, permettant d’expliquer pourquoi nous

avons choisi de considérer principalement le modèle de Giesekus. Pour ce chapitre, nous nous

sommes appuyés sur les livres [58], [69] et [68].

Dans le second chapitre, on introduit la discrétisation du modèle de Giesekus par éléments

finis non-conformes sur des maillages triangulaires et quadrangulaires. Une analyse du problème

de Stokes sous-jacent sera présentée. En outre, on présente des résultats concernant la positivité du

tenseur de conformation, et on montre que notre schéma préserve sous certaines hypothèses cette

propriété au niveau discret.

Enfin, dans le troisième chapitre, on présente des résultats numériques. Des comparaisons avec

le code commercial Polyflow^®, mais aussi avec des données expérimentales, nous ont permis de

valider les schémas numériques mais aussi de mettre en évidence leur bon comportement pour des

nombres de Weissenberg élevés.

Ces travaux ont donné lieu à deux articles : le premier, intituléDiscretization of

Phan-Thien-Tanner and Giesekus fluids through contraction/expansion flows using nonconforming finite

ele-ments, est en préparation et est axé sur le cas triangulaire alors que le deuxième, intitulé

Non-conforming finite element approximation of the Giesekus model for polymer flowset soumis dans

Computers ans Fluids - Special Issue : ICFD 2010est en cours de révision et est axé sur le cas

quadrangulaire. D’autre part, ces travaux ont été présentés dans diverses conférences et workshop :

Tenth International Conference Zaragoza- Pau on Applied Mathematics and Statistics (Jaca,

Es-pagne, 2008), ICFD (Reading, Royaume-Uni, 2010), CANUM (Carcans, France, 2010),

ECCO-MAS CFD (Lisbonne, Portugal, 2010), Workshop on Mathematical Fluid Mechanics and

Appli-cations (Évora, Portugal, 2010).

Chapitre 5

Les liquides polymères

5.1 Quelques définitions

Étymologiquement, le mot polymère vient du grec «polus » qui signifie « plusieurs » et de

«meros» qui signifie « partie ». Il s’agit d’une molécule constituée de l’enchaînement répété d’un

même motif, appelé le monomère. Les polymères sont caractérisés par une masse molaire élevée,

généralement comprise entre3.10⁴g.mol^-1et10⁶g.mol^-1. Nous les qualifions de macromolécules.

À titre de comparaison, le carbone a une masse molaire de12g.mol^-1.

La rhéologie désigne, par définition, l’étude des relations entre la déformation et la contrainte

d’un matériau. De par leurs structures, les polymères ont des propriétés rhéologiques particulières

que l’on détaillera par la suite.

On s’intéresse tout d’abord à la viscosité qui est la propriété la plus importante d’un liquide,

elle traduit sa résistance à l’écoulement. On rappelle que l’on distingue la viscosité dynamique

notéeη[Pa.s]¹de la viscosité cinématique notéeν[m².s^-1]. Ces viscosités sont liées par la relation

suivante :

ν = ^η

ρ^,

avecρ[kg.m^-3], la masse volumique du liquide. Les liquides polymères sont caractérisés par une

viscosité dynamique importante. On présente dans le tableau Tab. 5.1, les viscosités de quelques

liquides à 20°C et à pression atmosphérique.

Considérons un écoulement laminaire (i.e. entre deux plans parallèles). L’intensité de

l’écou-lement est caractérisé par la vitesse de déformation notéeγ˙. Un liquide est alors qualifié de

new-tonien si sa viscosité est indépendante de la vitesse de déformation. Dans le cas contraire, il est

qualifié de non-newtonien. Pour ces liquides et au dessus d’une certaine vitesse de déformation

dite critique, la viscosité du liquide va :

– décroître. Le liquide est qualifié de rhéofluidifiant ou pseudoplastique. C’est le cas des

li-quides polymères.

– augmenter. Le liquide est qualifié de rhéoépaississant ou dilatant. C’est le cas du bitume.

1

ν[m².s^-1] η[Pa.s]

air 10⁻9 10⁻6

eau 10⁻6 10⁻3

huiles 10⁻5à10⁻3 10⁻2 à1

miel 0,01 10

polymères 0,1à100 102à105

TAB. 5.1 – Ordres de grandeurs de viscosités de quelques liquides

Dans le cas d’un liquide polymère, il est difficile de définir une viscosité car cette grandeur

varie en fonction de la vitesse de déformation. C’est pour cela qu’est définie la viscosité limite :

η0 = lim

˙

γ→∞η( ˙γ).

Il faut noter qu’en raison de la taille de leurs molécules, les liquides polymères sont sensibles

à la nature de l’écoulement. Si ces liquides ont un comportement pseudoplastique pour un

écou-lement de cisailécou-lement, ils ont un comportement de type dilatant dans le cas d’un écouécou-lement

élongationnel². De plus, les polymères sont des liquides viscoélastiques. D’un point de vue

rhéo-logique, cela correspond à un état intermédiaire entre un liquide visqueux et un solide élastique.

On se propose maintenant de présenter quelques comportements typiques des liquides

poly-mères :

– Dans la figure Fig. 5.1, une tige en rotation est placée dans un récipient contenant un

poly-mère liquide. On observe que le liquide monte le long de la tige en rotation, ceci s’explique

par l’existence de contraintes normales. Ce phénomène est appeléeffet Weissenberg. Dans

le cas newtonien, le liquide aurait eu le comportement inverse, la surface se serait creusée

autour de la tige.

FIG. 5.1 – Effet Weissenberg

– La figure Fig.5.2, met en évidence l’effet mémoire d’un liquide polymère. En effet, le

polymèrese rappellede la forme qu’il avait dans le tube le plus large et va donc reprendre

son état initial en générant un gonflement à la sortie du tube le plus fin.

2

FIG. 5.2 – Gonflement en sortie de filière

– Dans la figure Fig. 5.3, une seringue est immergée dans un liquide polymère. En même

temps que l’on remplit la seringue, on l’éloigne du récipient. On observe que le liquide

continue à alimenter la seringue. Cet effet est nommé lesiphon sans tube. Les polymères

sont constitués de longues chaînes enchevêtrées, enchevêtrement que l’on peut assimiler à

des nœuds. Lorsque le liquide est étiré, les nœuds se figent empêchant la rupture du tube de

liquide.

FIG. 5.3 – Expérience du siphon

Dans le document Simulation numérique des écoulements de liquides polymères (Page 89-96)