Compl´ ements sur la cohomologie de Deligne

1. Introduction

Le but de cette section est d’expliquer la construction du morphisme de Gysin en cohomologie de Deligne. SiXest une variet´e complexe etZ ⊆X un cycle localement intersection compl`ete de codimensiond, on dispose d’une classe de cycle canonique{Z}dansH_Z^d X,Ω_X^d

[Gr], [Ka-Sc].

Il est montr´e dans [Bl] que le morphisme naturel H^2d_Z X,Ω_X^•>d

//H^d_Z X,Ω^d_X

est injectif et que {Z} est ´el´ement de H^2d_Z X,Ω_X^•>d

. Cette classe, not´ee

Z _Bl, est la classe de Bloch de Z. Le morphisme naturel

H^2d_Z X,Ω_X^•>d

//H^2d_Z X,Ω^•_X

≃H_Z^2d(X,C) envoie

Z _Bl sur (2iπ)^d

Z _top, o`u

Z _top est la classe de cycle topologique de Z. La suite exacte

0 //H^2d_Z X,Z_D,X(d)

//H^2d_Z (X,Z)⊕H^2d_Z X,Ω^•>d_X ^(2iπ)d,−1

//H^2d_Z (X,C) //0

montre que

Z _top, Z _Bl

provient d’un ´el´ement canonique dansH^2d_Z X,Z_D,X(d)

. L’image de cet ´el´ement dansH_Del^2d X,Z(d)

, not´ee

Z _D, est la classe de Deligne deZ.

Plus g´en´eralement, si f:X //Y est un morphisme holomorphe propre entre vari´et´es com-plexes et si d= dimY − dimX, il existe un morphisme de Gysin canonique

f_∗:H_Delⁱ X,Z(p)

//H^i+2d_Del Y,Z(p+d)

compatible avec les morphismes de Gysin usuels

f_∗:Hⁱ(X,Z) ^//H^i+2d(Y,Z) et f_∗:Hⁱ X,Ω_X^•>p

//H^i+2d Y,Ω^•>p+d_Y .

Cette construction est esquiss´ee dans [EZZ], l’id´ee ´etant de r´ealiser le morphismef_∗ au niveau des complexes. Pour ceci, on r´esout le faisceau constantZ_X par un sous-complexe de de Rham des courants surXqui est le complexe des courants entiers [Ki], [Fe]. Cette r´esolution est ´egalement utilis´ee dans [Gi-So] pour construire un morphisme d’image directe par une submersion dans le cadre des caract`eres diff´erentiels de Cheeger-Simons.

L’organisation et les r´ef´erences utilis´ees pour ce chapitre sont les suivantes : D´efinition de la cohomologie de Deligne.

R´ef´erences [Es-Vi], [Vo].

97

La structure d’anneau. On d´ecrit le cup-produit pour les complexes de Deligne en suivant [Es-Vi] et on ´etend ces formules `a d’autres complexes quasi-isomorphes au complexe de Deligne.

Classe de Bloch

R´ef´erences [Bl], [Ka-Sc].

La classe de cycle en cohomologie de DeligneDans cette section, siZ est une sous-vari´et´e lisse (ou localement intersection compl`ete) de codimension dd’une vari´et´e complexe compacte X, on calcule le complexe RΓ_Z Z_D,X(p)

. Ceci permet de retrouver la classe de cycle de Z en cohomologie de Deligne dans H_Del^2d X,Z(d)

[EZZ], [Es-Vi], mais ´egalement de construire un morphisme de Gysini_Z∗:H_Delⁱ Z,Z(p)

//H^i+2d_Del X,Z(p+d)

sans recourir aux courants entiers.

Courants normaux, courants rectifiables, courants entiers. On rappelle des notions de base de la th´eorie g´eom´etrique de la mesure, la r´ef´erence ´etant le livre de Federer [Fe]. Le but est d’expliquer la mani`ere dont est construite la r´esolution du faisceau constantZ_X par les faisceaux de courants entiers.

Morphisme de Gysin en cohomologie de Deligne.En utilisant les r´esultats de la section 6, on construit le morphisme de Gysin f_∗ comme indiqu´e dans [EZZ]. On montre la compatibilit´e entre cette construction et la construction de la section 5 dans le cas o`uf est l’injection i<sub>Z</sub> d’un cycle lisse Z de X. Enfin, en utilisant les formules de cup-produit ´etablies dans la section 3, on montre la formule de projection ainsi qu’une formule de commutation entre image directe et image inverse dans un cas sans exc`es.

Remerciements. Je tiens `a remercier Thierry de Pauw et Pierre Schapira pour m’avoir pa-tiemment expliqu´e les courants rectifiables pour le premier et les faisceaux B_Z|X ainsi que la th´eorie des hyperfonctions pour le second.

2. D´efinition de la cohomologie de Deligne Soit X une vari´et´e complexe compacte et lisse, et soit pun entier.

D´efinition 2.1. Le complexe de Deligne entier deX de niveau p est le complexe de faisceaux Z_D,X(p) suivant

0 ^//Z_X ^(2iπ)

p

//OX

d //Ω¹_X ^//· · · ^//Ω_X^p−1

o`u Z_X est en degr´e z´ero. On d´efinit de mˆeme le complexe de Deligne rationnel de X de niveau p en rempla¸cant Z_X par Q_X.

D´efinition2.2. Les groupes de cohomologie de Deligne enti`ere et rationnelle deX sont d´efinis

par les formules (

H_Del^k X,Z(p)

=H^k X,Z_D,X(p) H_Del^k X,Q(p)

=H^k X,Q_D,X(p) .

On pose alors 





H_Del^∗ (X,Z) =L

k,p

H_Del^k X,Z(p) H_Del^∗ (X,Q) =L

k,p

H_Del^k X,Q(p) .

2. D´EFINITION DE LA COHOMOLOGIE DE DELIGNE 99

On a Z_D,X(0) = Z_X, et Z_D,X(1) = Z_X ^(2iπ)//OX est quasi-isomorphe `a OX^∗[−1] par la suite exacte exponentielle. On en d´eduit le fait fondamental suivant :

H² X,Z(1)

≃H¹ X,OX^∗

≃Pic(X).

On ne consid`ere pour les classes de Chern que les groupes H_Del^2p X,Q(p)

. Cependant, d’autres groupes de cohomologie de Deligne ont un int´erˆet g´eom´etrique. Par exemple, Deligne ´etablit un isomorphisme entre H_Del² X,Z(2)

et les fibr´es holomorphes en droites munis d’une connexion holomorphe. L’isomorphisme est construit de la mani`ere suivante :Z_D,X(2) est quasi-isomorphe

`

a O_{X d}^× _log ^//Ω¹_X

[−1]. Un 1-cocycle de ˇCech est alors donn´e par des fonctions holomorphes g_ij inversibles sur U_ij et des 1-formes holomorphes ωi sur U_i telles que ^dg_g^ij

ij =ωi−ωj. Les gij

d´efinissent un fibr´e en droites holomorphe avec une trivialisation sur chaque U_i, lesω_i sont alors les 1-formes de connexion associ´ees `a la trivialisation. La suite exacte

0 ^//Ω¹_X[−2] ^//Z_D,X(2) ^//Z_D,X(1) ^//0 fournit la suite longue :

H⁰ X,Ω¹_X

//H² X,Z_D,X(2)

//Pic(X) ^At //H¹ X,Ω¹_X ,

o`u la derni`ere fl`eche est la classe d’Atiyah. On retrouve ainsi le fait qu’un fibr´e en droites holomorphe peut ˆetre muni d’une connexion holomorphe si et seulement si sa classe d’Atiyah est nulle. La premi`ere fl`eche associe `a une 1-forme holomorphe globale ω le fibr´e trivial avec la connexion d+ω∧.

La cohomologie de Deligne permet de concilier des donn´ees cohomologiques holomorphes et des donn´ees topologiques. Le prototype de ce ph´enom`ene est la notion de classe de Hodge : Hdg^2p(X,Z) est l’ensemble des ´el´ements deH^2p(X,Z) qui peuvent ˆetre repr´esent´es comme classe de H^2p(X,C) par une forme ferm´ee de type (p, p).

Lemme 2.3. Si X est une vari´et´e K¨ahl´erienne, on a une suite exacte 0 //J^2p−1(X) //H_Del^2p X,Z(p)

//Hdg^2p(X,Z) //0

o`u

J^2p−1(X) =H^2p−1(X,C)

H^2p−1(X,Z) +F^pH^2p−1(X,C) est la p^i`eme jacobienne interm´ediaire.

D´emonstration. La suite exacte

0 ^//Ω_X^•6p−1[−1] ^//Z_D,X(p) ^//Z_X ^//0 fournit la suite longue

H^2p−1(X,Z) ^// H^2p−1 X,Ω_X^•6p−1

//H^2p_Del X,Z(p)

//H^2p(X,Z) ^//H^2p−1 X,Ω^•6p−1_X . CommeX est une vari´et´e K¨ahl´erienne, Hⁱ X,Ω_X^•>p

=F^pHⁱ(X,C) ^ // Hⁱ(X,C) et ainsi Hⁱ X,Ω_X^•6p−1

=Hⁱ(X,C)

F^pHⁱ(X,C),

d’o`u le r´esultat.

Les groupesH_Del^2p X,Z(p)

sont donc plus riches que les groupes Hdg^2p(X,Z) car ils contiennent des informations secondaires du type Abel-Jacobi.

La d´efinition initiale du complexe de Deligne est la plus simple que l’on puisse donner, mais il est souvent plus agr´eable sur le plan th´eorique de le voir comme un cˆone :

Lemme 2.4. Z_D,X(p) est quasi-isomorphe au cˆone du morphisme Z_X⊕Ω_X^•>p

−(2iπ)^p, i //Ω_X^• d´ecal´e de -1.

Rappelons pour fixer les conventions de signe que sif:A //B est un morphisme de complexes, le mapping cone de f est le complexe Mc(f) =B⊕A[1], muni de la diff´erentielle

δ(b_k, a_k+1) = δb_k+ (−1)^kf(a_k+1), δa_k+1 .

On a une suite exacte 0 //B //Mc(f) //A[1] // 0 donn´ee par les deux applications b //(b,0) et (b, a) //a.

D´emonstration. Le complexe Mc

Z_X⊕Ω_X^•>p

−(2iπ)^p, i //Ω_X^•

[−1] s’´ecrit

{0} ⊕Z_X ^//OX ⊕ {0} ^// Ω¹_X ⊕ {0} ^// · · · ^//Ω_X^p−2⊕ {0} ^//Ω_X^p−1⊕Ω_X^p // · · · o`u Z_X est en degr´e 0 et les diff´erentielles sont donn´ees par







δ(0, m) = (2iπ)^pm,0

δ(β,0 ) = (dβ,0) si d^◦(β)≤p−2 δ(β, α) = dβ+ (−1)^d◦(β)α, dα

si d^◦(β)≥p−1.

On d´efinit alors deux morphismes de complexes up etvp

Z_D,X

up

//Mc

Z_X ⊕Ω_X^•>p //

vp

oo Ω^•_X

[−1]

par

up(x) =







(0, x) si d^◦(x) = 0 (x,0) si 0<d^◦(x)< p (x,(−1)^pdx) si d^◦(x) =p

et vp(β, α) =







α si d^◦(α) = 0 β si d^◦(β)≤p−1 0 sinon.

On a ´evidemmentv_p◦u_p= id. Montrons queu_p etv_p sont des quasi inverses. Il suffit de montrer queu_pinduit un isomorphisme en cohomologie, le seul degr´e `a v´erifier est le degr´ep. Soit (β, α) un

´el´ement de Ω_X^p−1⊕Ω_X^p tel quedα= 0 etdβ+(−1)^p−1α= 0. Alors (β, α) = β,(−1)^pdβ

=up(β), donc [up] est surjectif. Si β appartient `a Ω_X^p−1 et si [up](β) = 0, alors β = dγ, donc [up] est

injectif.

Corollaire 2.5. On a une suite longue

· · · ^//H^k−1(X,C) //H_Del^k X,Z(p)

//H^k X,Ω^•>p_X

⊕H^k(X,Z) //H^k(X,C) //· · ·

3. LA STRUCTURE D’ANNEAU 101

3. La structure d’anneau

Dans cette section, on construit en d´etail le cup-produit sur les groupes de cohomologie de Deligne, en donnant toutes les formules explicites selon les repr´esentants des complexes utilis´es.

Rappelons pour fixer les conventions de signe que siRest un anneau commutatif etAetB sont deux complexes born´es `a gauche de R-modules, le complexe A⊗RB est d´efini par

A⊗RB

k= M

i+j=k

A_i⊗RB_j et la diff´erentielle est d´efinie par

δ(a⊗b) =δa⊗b+ (−1)^d◦(a)a⊗δb.

On a alors un isomorphisme de complexes A⊗RB≃B⊗RAdonn´e par a⊗b //(−1)^{d◦(a)d◦(b)}b⊗a.

Pour ´eviter d’´ecrire de nombreux facteurs (2iπ)^k, on raisonnera sur le complexeZ^′_D,X(p) suivant : Z_X ^{i //}O_X ^{d //} Ω¹_X ^// · · · ^// Ω_X^p−1

qui est isomorphe `a Z_D,X(p).

Le cup-produit en cohomologie de Deligne est d´efini de la mani`ere suivante : soit ψ=ψ_pq:Z^′_D,X(p)⊗ZZ^′_D,X(q) ^//Z^′_D,X(p+q)

d´efini par

ψ(x⊗y) =







xy si d^◦(x) = 0

x∧dy si d^◦(x)>0 et d^◦(y) =q

0 sinon

V´erifions que ψest bien un morphisme de complexes. On ´etudie les diff´erents cas 1. Supposons que d^◦(x) = 0. Alors ψ(x⊗y) =xy.

(i) Si d^◦(y) =q, δ ψ(x⊗y)

=x dy et ψ(δx⊗y) +ψ(x⊗δy) =x dy carδy= 0.

(ii) Si d^◦(y)< q, δ ψ(x⊗y)

=x δy et ψ(δx⊗y) +ψ(x⊗δy) =ψ(x⊗δy) =x δy.

2. Supposons que d^◦(x)>0.

(i) Si d^◦(y) =q et d^◦(x)< p,

ψ(x⊗y) =x∧dy et δ ψ(x⊗y)

=dx∧dy

ψ(δx⊗y) + (−1)^d◦(x)ψ(x⊗δy) =ψ(δx⊗y) =dx∧dy.

(ii) Si d^◦(y) =q et d^◦(x) =p,δ ψ(x⊗y)

= 0, δx= 0 et l’autre terme vaut aussi 0.

(iii) Si d^◦(y)< q,ψ(x⊗y) = 0,ψ(δx⊗y) = 0 etψ(x⊗δy) = 0 mˆeme si d^◦(y) =q−1 carx∧d(dy) = 0.

Lemme 3.1. Les deux morphismes

ψ=ψ_pq:Z^′_D,X(p)⊗ZZ^′_D,X(q) //Z^′_D,X(p+q) et

Z^′_D,X(p)⊗_ZZ^′_D,X(q) ^{≃ //}Z^′_D,X(q)⊗_ZZ^′_D,X(p) ^{ψqp //}Z^′_D,X(p+q) sont homotopes.

D´emonstration. On d´efinit un morphisme d’homotopieh par h(x⊗y) =

(0 si d^◦(x) = 0 ou d^◦(y) = 0 (−1)^d◦(x)x∧y sinon.

Montrons que

−ψ_pq(x⊗y) + (−1)^{d◦(x)d◦(y)}ψ_qp(y⊗x) =δ h(x⊗y)

+h δ(x⊗y) . On pose

A=−ψ_pq(x⊗y) + (−1)^{d◦(x)d◦(y)}ψ_qp(y⊗x) et B =δ h(x⊗y)

+h(δx⊗y) + (−1)^d◦(x)h(x⊗δy).

On distingue les diff´erents cas

1. d^◦(x)>0 et d^◦(y)>0. On a alors

B = (−1)^d◦(x)δ(x∧y) + (−1)^d◦(x)+1δx∧y+x∧δy.

(i) Si d^◦(x)< pet d^◦(y)< q,Aest nul et

B = (−1)^d◦(x)dx∧y−x∧dy−(−1)^d◦(x)dx∧y+x∧dy= 0.

(ii) Si d^◦(x) =pet d^◦(y)< q, A= (−1)^{d◦(x)d◦(y)}y∧dx

B = (−1)^d◦(x)d(x∧y) +x∧dy carδx= 0

= (−1)^d◦(x)dx∧y= (−1)^d◦(x)(−1)^{d◦(x)(d◦(y)−1)}y∧dx= (−1)^{d◦(x)d◦(y)}y∧dx (iii) Si d^◦(x)< pet d^◦(y) =q,

A=−x∧dy et B = (−1)^d◦(x)d(x∧y) + (−1)^d◦(x)+1dx∧y=−x∧dy.

2. d^◦(x) = 0 et d^◦(y)>0. AlorsA=B =−xy.

3. d^◦(x)>0 et d^◦(y) = 0. Alors A=B =yx.

4. d^◦(x) = 0 et d^◦(y) = 0. Alors A=−xy+yx= 0 etB= 0.

Le morphismeψ_pq induit un morphisme en cohomologie de Deligne

H_Delⁱ (X,Z(p))⊗ZH_Del^j (X,Z(p)) ^//H_Del^i+j(X,Z(p+q)) not´e α⊗Zβ //α∪β . Le lemme 3.1 montre queα∪β = (−1)^ijβ∪α.

3. LA STRUCTURE D’ANNEAU 103

Remarquons que les fl`eches H_Del^k X,Z(p)

// H^k_Del(X,Z) et H^k_Del X,Z(p) ^[π]

// H^k Ω^•>p_X sont des morphismes d’anneaux. Pour la deuxi`eme fl`eche, il suffit d’´ecrire en se pla¸cant au niveau des complexes

π(x) =

((−1)^pdx_p en degr´e p

0 ailleurs,

d’apr`es la description explicite deu<sub>p</sub> et v<sub>p</sub> faite dans la preuve du lemme 2.4. Six appartient `a Z_D,X(p) et y appartient `a Z_D,X(q), V´erifions enfin que le cup-produit est associatif.

Lemme 3.2. On a

Le deuxi`eme cas se d´ecompose en plusieurs sous-cas :



Nous allons maintenant ´etendre le produit aux complexes Mc Z_X⊕Ω_X^{•>p //}Ω_X^•

Lemme 3.4. ψe_pq est un morphisme de complexes.

D´emonstration. On envisage successivement les quatre cas pr´ec´edents.

Cas (1)

3. LA STRUCTURE D’ANNEAU 105

Lemme 3.5. Le diagramme

Z^′_D,X(p)⊗_ZZ^′_D,X(q) ^up⊗uq Mc Z_X⊕Ω_X^•>p //Ω_X^•

[−1]⊗ZMc Z_X ⊕Ω_X^•>q //Ω_X^• [−1]

ψpq

Z^′_D,X(p+q) Mc Z_X⊕Ω_X^•>p+q //Ω_X^• [−1]

ψpqe up+q

commute.

D´emonstration. Soit xun ´el´ement de Z^′_D,X(p) ety un ´el´ement deZ^′_D,X(q). On distingue plusieurs cas :

1. Supposons que d^◦(x) = 0.

(i) Si d^◦(y)>0,u_p(x) = (0, x) etu_q(y) = (y,?). D’o`u ψe_pq u_p(x)⊗u_q(y)

= (xy,0) =u_p+q ψ_pq(x⊗y) . (ii) Si d^◦(y) = 0,u_q(y) = (0, y) et

ψepq up(x)⊗uq(y)

= (0, xy) =up+q ψpq(x⊗y) . 2. Supposons que d^◦(x)>0.

(i) Si d^◦(y) = 0,u_q(y) = (0, y). Donc ψe_pq u_p(x)⊗u_q(y)

= 0 =u_p+q ψ_pq(x⊗y) . (ii) Si d^◦(y)< q,u_q(y) = (y,0). Donc

ψe_pq u_p(x)⊗u_q(y)

= 0 =u_p+q ψ_pq(x⊗y) . (iii) Si d^◦(y) =q,u_q(y) = y,(−1)^qdy

. (α) Si d^◦(x)< p,up(x) = (x,0) et

ψe_pq u_p(x)⊗u_q(y)

= (x∧dy,0) =u_p+q ψ_pq(x⊗y) . (β) Si d^◦(x) =p,u_p(x) = x,(−1)^pdx

et donc ψe_pq u_p(x)⊗u_q(y)

= x∧dy,(−1)^p+qdx∧dy)

= x∧dy,(−1)^p+qd(x∧dy)

=u_p+q ψ_pq(x⊗y) . Ceci montre queψe_pq induit en cohomologie le cup-produit d´efini par ψ_pq via les isomorphismes u_p etu_q.

Nous aurons besoin dans la suite des cup-produits «mixtes» au niveau des complexes, ce qui signifie que l’on utilise le complexe de Deligne usuel pour une variable et le complexe de Deligne donn´e par un cˆone pour l’autre variable. Soit

φ_pq :Z^′_D,X(p)⊗ZMc Z⊕Ω_X^•>q // Ω_X^• [−1]

ψepq(up⊗id)

//Mc Z⊕Ω^•>p+q_X //Ω^•_X [−1].

On a alors

On a ´egalement dans l’autre sens le produit Γ_pq: Mc Z⊕Ω_X^•>p //Ω_X^•

On admet provisoirement le r´esultat suivant, qui sera ´etabli dans la section 6 :

Proposition 3.6. Soit DX^• le complexe de de Rham des courants sur X. Il existe alors un sous-complexe D_X,Z^• de D_X^• quasi-isomorphe `a ZX form´e de faisceaux mous.

On en d´eduit queZ^′_D,X(p) est quasi-isomorphe au complexe Mc D_X,Z^• ⊕F^pD_X^{• //}D_X^• [−1]

et que la cohomologie des sections globales de ce complexe en degr´ek est H_Del^k X,Z(p) . Une classe de cohomologie dansH_Del^k X,Z(p)

est donc repr´esent´ee par un triplet (S, T⊕U) tel que S ∈ D^k−1_X ,T ∈ DX,Z^k ,U ∈F^pD^kX et

Lemme 3.7. ∆est un morphisme de complexes.

D´emonstration. On doit montrer

On consid`ere les diff´erents cas :

3. LA STRUCTURE D’ANNEAU 107 Lemme 3.8. Le diagramme suivant commute :

Mc Z_X ⊕Ω_X^•>p //Ω_X^•

D´emonstration. On distingue les cas : 1. Si d^◦(y)< q, selon que d^◦(y) est strictement positif ou bien nul.

2. Si d^◦(y) =q, Corollaire 3.9. ∆ induit le cup-produit en cohomologie.

4. Classe de Bloch

SoitXune vari´et´e analytique complexe lisse etZ inclus dansXun cycle localement intersection compl`ete de codimensiond.

Proposition 4.1. La cohomologie locale de O_X `a support dansZ est concentr´ee en degr´ed.

D´emonstration. Comme on raisonne localement, on peut supposer queX est une vari´et´e de Stein. Sid= 1, X\Z est aussi une vari´et´e de Stein et le lemme est cons´equence de Cartan B. Montrons maintenant le cas g´en´eral. On ´ecritZ ={f₁ = 0} ∩ · · · ∩ {f_d= 0}. SoitU =X\Z et U_i l’ensemble des x de X tels que f_i(x) 6= 0. Les U_i forment un recouvrement de Stein de U. La cohomologie de OX peut donc se calculer en prenant la cohomologie du complexe de Cech associ´e auxˇ U_i (par Cartan B). Ce complexe est concentr´e en degr´e au plus d−1, donc Hⁱ U,OX

= 0 pour i≥d. Par suiteH_Zⁱ X,OX

= 0 pour i > d.

On utilise maintenant le r´esultat suivant [Sche] : Soit X une vari´et´e compacte et A un sous-ensemble analytique de codimension au moinsr. Alors pour tout faisceau localement libreS sur X et tout entier q tel queq ≤r−2,

H^q(X,S) ^≃ //H^q(X\A,S).

Ceci montre que Hⁱ U,OX

= 0 pour i≤d−2, d’o`uH_Zⁱ X,OX

= 0 pouri≤d−1.

On a un r´esultat analogue pour la cohomologie locale alg´ebrique `a support dansZ. Rappelons que

Proposition 4.2. Le complexe RΓ_[Z](OX) est concentr´e localement en degr´e d.

D´emonstration. – ´EcrivonsZ =Z₁∩ · · · ∩Z_d o`u les Z_i sont des hypersurfaces. Alors RΓ_[Z] OX

=RΓ_[Z1]. . .RΓ_[Z

d] OX

.

SiF est unOX-module (non n´ecessairement coh´erent) etW ={f = 0} une hypersurface, alors RΓ_[Z](F) est concentr´e en degr´es au plus 1 car OX/

J_W^j est quasi-isomorphe `a OX f^j

//OX .

De cela on d´eduit queRΓ_[Z] OX

est concentr´e en degr´es au plusd.

– On a Ext^j_O

concentr´e en degr´es au moinsd.

Notation 4.3. On pose B_Z|X =H^d RΓ_[Z] OX mˆeme pas de type fini sur D_X ([Bj] section 2.5 et [Ka] section 3.4).

4. CLASSE DE BLOCH 109

Proposition 4.4. RΓ_Z Ω_X^•>p

est quasi-isomorphe `a

B_Z|X^∞ ⊗_OXΩ_X^{p //} B_Z|X^∞ ⊗_OXΩ_X^{p+1 //} · · · ^//B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_Xⁿ [−d], les diff´erentielles ´etant induites par d. Dans cette ´ecriture,Ω_X^p est en degr´e p.

D´emonstration. On pr´esente deux preuves de ce r´esultat.

1.La premi`ere preuve utilise la th´eorie desD_X-modules et m’a ´et´e communiqu´ee par P. Schapira.

Rappelons que le complexe de Spencer deDX, not´e Sp DX

, est donn´e par DX ⊗O_X

VnT X //· · · ^//DX ⊗O_X

V1T X //DX

o`u DX est en degr´e 0 et les fl`eches sont d´efinies par δ

est en coordonn´ees locales le complexe de Koszul deDX associ´e `a la suite r´eguli`ere ∂/∂z1, . . . , ∂/∂zn, il est donc quasi-isomorphe `a sa cohomologie en degr´e 0 qui est

est obtenu en supprimant lesp derniers termes. Alors RHom_D

2. La deuxi`eme preuve se base sur le lemme suivant :

Lemme 4.5. Soient C et C^′ deux cat´egories ab´eliennes admettant suffisamment d’injectifs et F un foncteur exact `a gauche de C dans C^′. SoitA^• un complexe born´e de C etdun entier tel que

∀i6=d, ∀j, RⁱF(A^j) = 0. Alors RF(A^•)≃R^dF(A^•)[−d].

D´emonstration. La preuve se fait par r´ecurrence sur la longueur deA^•. On peut supposer que Aest concentr´e en degr´es positifs. SiA^• est concentr´e en degr´e z´ero,RF(A^•) est concentr´e en degr´e d et est donc quasi-isomorphe `a sa cohomologie en degr´e d, `a savoir R^dF(A^•). Si A^• est concentr´e en degr´es plus petits quej, on consid`ere le diagramme de triangles distingu´es

RF(A^j)[−j] //

o`u le dernier quasi-isomorphisme vertical est construit par r´ecurrence. Il existe donc un mor-phisme RF(A^•) ^//R^dF(A^•)[−d] qui est par suite un quasi-isomorphisme.

Le r´esultat de la proposition 4.4 est alors cons´equence du lemme 4.5 et de la proposition 4.1.

Nous allons maintenant passer `a la construction de la classe de Bloch proprement dite. On reprend l’expression

Le th´eor`eme de dualit´e locale (voir [Gri-Ha]) fournit un isomorphisme Ext^d_O

X OZ,OX

⊗O_Z

VdN_Z/X^∗ ≃ OZ. On consid`ere la chaˆıne de morphismes

OZ // Ext^d_O Ce morphisme d´efinit une section globale de B_Z|X ⊗O_X Ω_X^d appel´ee la classe fondamentale de Z.

Lemme4.6. SoientZ etW deux sous-vari´et´es transverses de codimensionsdetd^′ dansX. Alors le morphisme de cup-produit `a supportH^dZ Ω_X^d

⊗O_XH^dW^′ Ω_X^d′

// H^d+d′Z∩W Ω^d+d′_X

envoie les classes fondamentales de Z et W sur la classe fondamentale de Z∩W.

D´emonstration. On ´ecrit

Via ces isomorphismes, les classes fondamentales de Z etW sont donn´ees par 1

Par consequent, le produit des classes fondamentales de Z etW est 1

Lemme 4.7. La classe fondamentale s’envoie sur 0 via le morphisme B_Z|X ⊗_OXΩ_X^{d //}B_Z|X ⊗_OX Ω_X^d+1.

5. LA CLASSE DE CYCLE EN COHOMOLOGIE DE DELIGNE 111

D´emonstration. Ecrivons´ Z = Z₁∩ · · · ∩Z_d. On a B_Z|X ≃B_Z

1|X ⊗_OX · · · ⊗_OX B_Z

d|X. Via cet isomorphisme, la classe fondamentale de Z est

1

f₁ ⊗ · · · ⊗ 1 f_d

⊗df₁∧ · · · ∧df_d.

Elle est donc ferm´ee.

On dispose donc d’un morphisme O_Z ^//

B_Z|X⊗_OX Ω_X^d //· · · ^//B_Z|X ⊗_OX Ω_Xⁿ [d]

o`u Ω_X^d est en degr´ed, et donc une classe de cohomologie dans H^d

X, B_Z|X⊗O_X Ω_X^{d //}· · · ^//B_Z|X ⊗O_XΩ_Xⁿ

qui est la classe de Bloch alg´ebrique de Z. En composant avec les morphismes canoniques Z_Z ^//O_Z et B_Z|X //B_Z|X^∞ , on obtient par la proposition 4.4 un morphisme

Z_Z[−2d] ^//RΓ_Z X,Ω_X^•>d

qui est lemorphisme de Bloch, ainsi qu’une classe{Z}BldansH^2d RΓ_Z Ω_X^•>d

=H^2d_Z X,Ω_X^•>d qui est par d´efinition la classe de Bloch analytique de Z.

Lemme 4.8. Si Z est lisse, l’image de {Z}Bl dans H^2d_Z X,Ω_X^•

=H_Z^2d(X,C) est (2iπ)^d{Z}top. D´emonstration. Il suffit de raisonner localement car U ^//H_Z^2d(U,C) est un faisceau.

SiZ =Z1∩ · · · ∩Z_d, on a localement{Z}Bl={Z1}Bl· · · {Z_d}Blet{Z}top ={Z1}top. . .{Z_d}top. On peut donc supposer que Z est une hypersurface. La th´eorie de Leray fournit un diagramme commutatif :

H¹(U,C) ^δ //

≃

H_Z²(X,C)

H¹ A_X^•(logZ)

2iπres //H⁰(Z,C)

i_Z∗

OO

o`u U =X\Z. D’autre part, on a un diagramme H¹ U,Ω_X^•>1 δ

//

H²_Z(X,Ω_X^•>1)

H¹(U,C)

δ // H_Z²(X,C) Comme Res df /f

= 1, on obtient le r´esultat.

5. La classe de cycle en cohomologie de Deligne Rappelons que

Z_D,X(p) = Mc

Z_X⊕Ω_X^•>p

−(2iπ)^p,i //Ω_X^• [−1]

Proposition 5.1. Soit Z un cycle localement intersection compl`ete de codimension d. Alors RΓ_Z Z_D,X(d)

≃Z_Z[−2d]⊕

B_Z|X^{∞ //}B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω¹_X ^//· · · ^//B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^d−1

[−d−1].

D´emonstration. Le lemme 4.8 montre que le diagramme suivant est commutatif : Z_Z ^{≃ //}

Bl

RΓ_Z Z_X [2d]

(2iπ)^p

RΓ_Z Ω•^>d

X

[2d] //RΓ_Z C_X [2d]

On peut donc ´ecrire

RΓ_Z Z_D,X(d)

= Mc

Z_Z[−2d]⊕ RΓ_Z Ω_X^•>d

// RΓ_Z Ω^•_X

[−1], la fl`eche Z_Z ^//RΓ_Z Ω_X^•

[2d] ´etant obtenue par l’oppos´e du morphisme de Bloch analytique.

Le morphisme de complexes dont on prend le cˆone est donn´e d’apr`es le lemme 4.4 par Z_Z⊕B_Z|X^∞ ⊗O_XΩ_X^d //

B_Z|X^∞ ⊗O_X Ω_X^d+1 //

· · ·

· · · ^//B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^{d−1 //}B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^{d //}B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^{d+1 //} · · · o`u Z<sub>X</sub> est en degr´e 2d, et la fl`eche verticale est donn´ee par (−Bl,id).

1.V´erifions que le complexe Mc

Z_Z[−2d]⊕ RΓ_Z Ω_X^•>d

//RΓ_Z Ω^•_X

[−1],

est exact en degr´e sup´erieur ou ´egal `a 2d+1. Soitk≥d, et (β, α) un couple tel queβ appartienne

`

a B_Z|X^∞ ⊗_OXΩ_X^k et α appartienne `a B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^k+1. On suppose que δ(β, α) = 0. Alors δβ+ (−1)^d+kα= 0 etδα= 0. On en d´eduit que (β, α) =δ 0,(−1)^d+k+1α

.

2.On regarde maintenant ce qui se passe en degr´e 2d. Soit (β, n+α) tel queδβ− α−n{Z}_Bl

= 0 etδα= 0. Les ´el´ements exacts sont du type (δγ,0) o`uγ appartient `aB_Z|X^∞ ⊗O_XΩ_X^d−2. La coho-mologie peut donc s’identifier `ah

B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^d−1

δ B_Z|X^∞ ⊗O_X Ω_X^d−2i

⊕ Z_Z via l’application (β, n+α) //(β, n) . En effet, si (β, n) est donn´e, il suffit de d´efinir α = δβ+n{Z}_Bl, et alorsδα= 0 carδ{Z}Bl= 0. Le morphisme naturel

Z_Z[−2d]⊕

B_Z|X^{∞ //}B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω¹_X ^//· · · ^//B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^d−1

[−d−1] ^//RΓ_Z Z_D,X(d)

est donc un quasi-isomorphisme.

Corollaire5.2. Il existe une classe de cycle canonique{Z}D dansH_Z^2d X,Z_D,X(d)

qui est en-voy´ee sur{Z}_Blet sur(2iπ)^d{Z}toppar les morphismes H_Z^2d X,Z_D,X(d)

//H^2d_Z X,Ω^•>p_X . et H_Z^2d X,Z_D,X(d)

//H^2d_Z X,Z_X

Remarque 5.3. Pour obtenir le corollaire 5.2, on peut raisonner uniquement en cohomologie et non au niveau des complexes. Cependant la propri´et´e pr´ec´edente est plus int´eressante car elle permet d’´ecrire le scindage

RΓ_Z Z_D,X(d)

≃Z_Z[−2d]⊕ F[−2d] o`u F =B_Z|X^∞ ⊗O_X Ω_X^d−1

δ B_Z|X ⊗O_X Ω^d−2_X .

5. LA CLASSE DE CYCLE EN COHOMOLOGIE DE DELIGNE 113

Cette approche permet ´egalement de construire lorsque Z est lisse un morphisme i_Z∗:H_Del^k (Z,Z(p)) ^//H^k+2d_Z,D (X,Z(p+d))

comme expliqu´e dans le corollaire 5.5.

Proposition 5.4. Si p > d, RΓ_Z Z_D,X(p)

est quasi-isomorphe `a Mc

Z_Z[−2d] ^//n

B_Z|X^{∞ //}B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω¹_X ^//· · · ^////B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^p−1o [−d]

[−1], le morphisme Z_Z ^//B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^d ´etant l’oppos´e du morphisme de Bloch.

D´emonstration. Comme avant,RΓ_Z Z_D,X(p)

est quasi-isomorphe au cˆone du morphisme de complexes suivant :

Z_Z

B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω^p_X //

B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^p+1 //

· · ·

· · · ^//B_Z|X^∞ ⊗O_X Ω_X^{d //}· · · ^//B_Z|X^∞ ⊗O_X Ω_X^{p //}B_Z|X^∞ ⊗O_X Ω_X^{p+1 //}· · · d´ecal´e de−1, o`uZ_Zest en degr´e 2d. La cohomologie est ainsi concentr´ee en degr´es au plusd+p− 1. On sait que RΓ_Z Ω_X^•

≃ RΓ_Z C_X

≃C_Z[−2d]. La cohomologie du complexeB_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^• se situe donc sur le terme B_Z|X^∞ ⊗O_X Ω_X^d. Le complexe RΓ_Z est ainsi quasi-isomorphe au cˆone du morphisme

ZZ

· · · ^//B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^{d //}· · · ^//B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^p−1

Corollaire 5.5. Supposons Z lisse. On dispose alors d’un morphisme canonique

i_Z∗:Z_D,X(p) //RΓ_Z Z_D,X(p+d)

qui induit en cohomologie un morphisme de Gysin compatible avec le morphisme de Gysin to-pologique.

D´emonstration. Le morphisme s’´ecrit au niveau des complexes

Z_Z ^//

Ω¹_Z //

· · · ^//Ω_Z^p−1

· · · ^// Z_Z⊕B_Z|X^∞ ⊗O_XΩ_X^{d //}B_Z|X^∞ ⊗O_X Ω_X^{d+1 //}· · · ^//B_Z|X^∞ ⊗O_XΩ_X^p−1 La premi`ere fl`eche verticale est donn´ee par (id,Bl). Les autres sont obtenues par le proc´ed´e suivant. Si Z =Z1∩ · · · ∩Z_d, B_Z|X^∞ =B_Z^∞_1|X ⊗_OX · · · ⊗_OX B_Z^∞

d|X. On prolonge localement tout

´el´ement ω de Ω_Zⁱ en un ´el´ement ωe de Ω_Xⁱ et ensuite on suit la fl`eche Ω_Xⁱ

Bl⊗id // B_Z|X^∞ ⊗_O

X Ω_X^d

⊗_O

X Ω_Xⁱ

∧ // B_Z|X^∞ ⊗_O

XΩ_X^d+i.

Deux prolongements deω diff`erent d’un ´el´ement de l’id´eal engendr´e parf₁, . . . , f_d, df₁, . . . , df_d. Comme B_Z^∞

k|X =j_∗O_X\Zk

OX et{Z}Bl = 1/f₁⊗ · · · ⊗1/f_d df₁ ∧ · · · ∧df_d, les f_k, comme les df_k, annulent{Z}_Bl. Le morphisme Ω_X^{i //}B_Z|X^∞ ⊗_OX Ω_X^d+i est donc bien d´efini.

6. Courants normaux, courants rectifiables, courants entiers

Le but de cette section est d’´etablir l’existence d’une r´esolution molle explicite du faisceau constantZ_X. Cela permettra ensuite de d´efinir le morphisme de Gysin en cohomologie de Deligne pour une application holomorphe f :X //Y entre vari´etes compactes. La r´esolution sera obtenue par des faisceaux de courants rectifiables sp´eciaux, appel´es courants entiers.

Soit X une vari´et´e. On note A^mX,c le faisceau des m-formes diff´erentielles C^∞ sur X `a support compact.

D´efinition 6.1. Le faisceau DX,m des courants de degr´e m sur X est d´efini de la mani`ere suivante : pour tout ouvert U de X, Dm(U) est l’ensemble des applications T:A^mc (U) //C telles que pour tout compact K inclus dans U, il existel∈Net C >0 tels que ∀α∈ A^mc (U) tel que supp(α)⊆K, |< T, α >| ≤C||α||_Cl.

Commen¸cons par rappeler les r´esultats suivants : Proposition 6.2.

(i) Si X est une vari´et´e r´eelle C^∞, le complexe D_X^•, d

est quasi-isomorphe `a C_X. (ii) Si X est une vari´et´e complexe, pour tout p le complexe DX^p,•, ∂

est quasi-isomorphe

` a Ω_X^p.

Ces r´esultats sont classiques et sont les g´en´eralisations des lemmes de Poincar´e et Dolbeault-Grothendieck pour les courants. On d´etaille ci-dessous la preuve du point (i) de la proposition 6.2 car on l’adaptera ensuite aux courants rectifiables. Avant cela, pr´ecisons les notations.

– On noteD_X,m le dual de A^m_X (m-formes C^∞), et on poseD^k_X =D_X,dimX−k.

– Les indices plac´es en bas correspondent `a l’indexation homologique, et les indices plac´es en haut `a l’indexation cohomologique.

– Le degr´e d’un courant est son degr´e homologique.

On passe maintenant `a la preuve du point (i).

D´emonstration. Soit U =B(0, r) la boule de centre 0 et de rayon r de Rⁿ, et soit T un

´el´ement deDm(U) tel quedT = 0. En multipliantT par une fonction plateau, on peut supposer

´el´ement deDm(U) tel quedT = 0. En multipliantT par une fonction plateau, on peut supposer

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