3.2 Contribution
3.2.3 Compl´ement sur le calcul du biais
Tel qu’il est pr´esent´e, le Th´eor`eme 7.1 permet d’avoir un contrˆole de la norme Lp de l’erreur. Bien que cela ne soit pas pr´ecis´e au Chapitre 7, il est ´egalement possible d’obtenir de fa¸con plus directe un contrˆole du biais d´efini, pour l’algorithme FFBS, par
Eh
φN0:T|T [ST]i
−φ0:T|T[ST] .
On peut ais´ement obtenir un contrˆole de ce biais en utilisant l’in´egalit´e Lp
donn´ee par (3.6). On a alors
Eh
φN0:T|T[ST]i
−φ0:T|T [ST]≤ C
√N 1 + rT
N
! T X
t=1
osc(ht)2
!1/2 .
On peut cependant obtenir un contrˆole ne faisant intervenir qu’un terme impliquantT etN en utilisant notre d´ecomposition de l’erreur. En effet, si l’on reprend la d´ecomposition donn´ee par (7.16), on a
φN0:T|T[ST]−φ0:T|T[ST] = XT
t=0
Dt,TN (ST) + XT t=0
Ct,TN (ST) ,
o`u Dt,TN est d´efini par (7.14) et Ct,TN par (7.15). La suite {DNt,T(ST)}Tt=0 est un incr´ement de martingale, on a donc
E
# T X
t=0
Dt,TN (ST)
%
=E
DN0,T (ST)
= 0,
o`u la seconde ´egalit´e provient du m´ecanisme de production des particules et des poids `a l’instant 0. Par la Proposition 7.2 et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, nous avons alors
E
hφN0:T|T[ST]i
−φ0:T|T[ST]≤ C N
XT t=1
osc(ht).
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Arbre généalogique
Temps
Positions des particules
1 2 3 4 5 6 7
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Arbre généalogique
Temps
Positions des particules
0 5 10 15
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Arbre généalogique
Temps
Positions des particules
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Arbre généalogique
Temps
Positions des particules
Figure 3.1 – Trajectoires particulaires obtenues avec l’algorithme path-space smoother dans le cas d’un mod`ele lin´eaire gaussien avec N = 50.
Les trajectoires {ξ0:tN,ℓ}Nℓ=1 sont repr´esent´ees (lignes rouges) ainsi que toutes les particules simul´ees depuis le d´epart (points). Les trajectoires ancestrales non s´electionn´ees sont supprim´ees au fur et `a mesure.
Estimation non
param´ etrique dans les
mod` eles de Markov cach´ es (pr´ eambule)
Dans ce chapitre, nous proposons une m´ethode d’estimation non param´etrique dans les mod`eles de Markov cach´es. On consid`ere une chaˆıne de Markov {Xk}k≥0 observ´ee au tra-vers du processus{Yk}k≥0, o`uYkest une observation bruit´ee de f⋆(Xk). La chaˆıne de Markov {Xk}k≥0 est une marche al´eatoire restreinte `a un sous-espace compact deRm dont la loi des incr´ements est connue `a un facteur d’´echelle a⋆ pr`es.
Nous souhaitons estimer f⋆ eta⋆ `a l’aide d’un bloc d’obser-vations. Nous discutons en premier lieu l’identifiabilit´e de ce mod`ele sous certaines hypoth`eses sur la chaˆıne {Xk}k≥0 et sur la fonction f⋆. Nous proposons ensuite une estimation de type maximum de vraisemblance par paires. Nous mon-trons que la distance de Hellinger entre notre estimation de la loi des paires d’observations et la vraie loi tend vers 0 en probabilit´e. Ceci nous permet d’obtenir la consistance des estimateurs de a⋆ et de f⋆.
4.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous nous int´eressons `a un nouveau probl`eme d’esti-mation dans le cadre des chaˆınes de Markov cach´ees. La chaˆıne de Markov
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{Xk}k≥0 est une marche al´eatoire stationnaire restreinte `a un sous-espace compact deRm dont la loi des incr´ements est connue `a un facteur d’´echelle a⋆ pr`es. Cette chaˆıne de Markov n’est observ´ee qu’`a travers la suite d’ob-servations{Yk}k≥0. Nous supposons que, pour tout k≥0, l’observationYk v´erifie
Ykdef= f⋆(Xk) +ǫk, (4.1) o`uf⋆ est une fonction `a valeurs dansRℓet o`u les variables al´eatoires{ǫk}k≥0
sont i.i.d et de loi gaussienne connue. L’objectif de ce chapitre est l’estima-tion de la foncl’estima-tionf⋆ et du coefficienta⋆ `a l’aide d’un bloc d’observations.
Nous insistons ici sur le fait que nous ne sommes plus dans le cadre de l’estimation en ligne du Chapitre 2 : l’estimation dea⋆ et f⋆ est r´ealis´ee `a partir de toutes les observations disponibles sans imposer de contraintes sur la fa¸con dont elles sont utilis´ees.
La difficult´e de ce probl`eme r´eside dans le fait que les points en lesquels la fonctionf⋆est ´evalu´ee ne sont pas observ´es et que la loi des{Xk}k≥0 n’est pas connue. Les travaux existants dans la litt´erature apportent des solutions
`
a ce type de probl`emes lorsque les variables{Xk}k≥0 sont observ´ees.
On trouve tout d’abord des r´eponses dans les mod`eles `a erreurs sur les variables, dans lesquels les r´egresseurs sont observ´es en pr´esence de bruit : on dispose d’observations {(Yk, Zk)}k≥0 telles que Yk suit le mod`ele (4.1) avec un bruit{ǫk}k≥0 non n´ecessairement gaussien ; et Zk suit le mod`ele
Zkdef= Xk+ηk,
o`u les erreurs {ηk}k≥0 sont i.i.d et de loi connue. Il existe de nombreuses m´ethodes pour estimer la fonction f⋆ dans ce contexte. Un estimateur `a noyau a ´et´e propos´e et ´etudi´e par [Fan et Truong, 1993] dans le cas o`u les variables {Xk}k≥0 sont i.i.d. Ce travail repose sur une estimation de la loi conditionnelle de Y0 sachant X0 en r´esolvant tout d’abord le probl`eme de d´econvolution, c’est-`a-dire l’estimation `a noyau de la densit´e de la loi deX0; puis en proposant une estimation `a noyau de la densit´e de la loi de (X0, Y0).
La consistance de cet estimateur et les vitesses de convergence ont ´et´e
´etudi´ees par [Carroll et Hall, 1988], [Carroll et Stefanski, 1990], [Fan, 1991b]
et [Fan, 1991a] sous des hypoth`eses de r´egularit´e sur la loi des variables al´eatoires {Xk}k≥0 et du bruit {ηk}k≥0. Ces travaux ont ´et´e compl´et´es sous des hypoth`eses plus g´en´erales par des m´ethodes de minimisation d’un contraste p´enalis´e dans [Comteet al., 2006] et dans [Comte et Taupin, 2007].
Tous ces travaux ne peuvent cependant pas ˆetre utilis´es dans notre situation puisque nous ne disposons pas d’observations de l’´etat{Xk}k≥0 permettant de r´esoudre le probl`eme de d´econvolution.
Des r´eponses ont aussi ´et´e propos´ees dans le cas o`u les variables{Xk}k≥0
forment une chaˆıne de Markov stationnaire et o`u le mod`ele d’observation (4.1) est simplifi´e en
Yk=Xk+ǫk,
o`u les variables{ǫk}k≥0 sont i.i.d. et de loi connue non n´ecessairement gaus-sienne. Contrairement `a notre mod`ele, ici c’est la chaˆıne {Xk}k≥0 qui est observ´ee et pas une transformation {f⋆(Xk)}k≥0; l’inf´erence statistique ne porte donc que sur l’estimation de la loi invariante et de la densit´e du noyau de {Xk}k≥0. [Lacour, 2008b] (resp. [Lacour, 2008a]) propose un estimateur lorsque la chaˆıne est observ´ee sans erreurs (resp. avec erreurs) : l’estimation repose sur la minimisation d’un contraste p´enalis´e permettant une minimi-sation de la norme L2 de l’erreur entre l’estimateur et les vraies densit´es.
Nous proposons une alternative utilisant une estimation de la loi des paires d’observations.
Nous pr´esentons en Section 4.2 notre contribution `a ce probl`eme d’esti-mation non param´etrique dans les HMM. Nous donnons les estimateurs def⋆ et dea⋆propos´es et les th´eor`emes de convergence que nous avons ´etablis. Les r´esultats pr´esent´es ont fait l’objet de l’article [Dumont et Le Corff, 2012a], soumis `a une revue internationale et ins´er´e au Chapitre 8. Nous renvoyons au Chapitre 8 pour les ´enonc´es pr´ecis de ces r´esultats et les d´emonstrations qui leur sont associ´ees.