1.2 Rappels d’analyse
1.2.5 Compléments divers
Nous rappelons ici les lemmes classiques du type Gronwall qui interviennent dans de nom-breux problèmes de majoration, en particulier pour établir l’unicité de la solution. Nous citons certains théorèmes utilisés dans ce mémoire. Pour avoir plus de détails sur les rappels
…gurant dans cette section, nous proposons par exemple[33].
Lemmes de Gronwall Pour le cas particulierm= 0;ce lemme devient:
Corollaire. Soit n 2 C(0; T;IR) telle que n(t) 0 pour tout t 2 [0; T] et soit a 0:
Chapitre 2
Problème élasto-viscoplastique avec réponse normale instantanée et
frottement
Le second chapitre est consacré à l’étude mathématique d’un problème de contact avec frot-tement pour des matériaux élasto-viscoplastiques où l’endommagement interne du matériau est pris en considération, dans un processus dynamique. Le contact avec une base rigide est modélisé par une réponse normale instantanée associée à une loi locale de frottement.
Le problème se formule comme un système qui comporte une équation variationnelle par rapport au champ de déplacement, une inéquation variationnelle du type parabolique par rapport au champ d’endommagement.
Pour ce problème, des résultats d’existence et d’unicité de la solution ont été considérés en utilisant la théorie des équations d’évolutions du premier ordre avec des opérateurs non linéaires, des inéquations variationnelles du type parabolique et des arguments de point …xe.
2.1. Problème mécanique et formulation variationnelle
2.1 Problème mécanique et formulation variationnelle
Problème P1
Trouver le champ de déplacementu: [0; T]!Rd, le champ du tenseur des contraintes : [0; T]!Sd et le champ d’endommagement : [0; T]!R tels que.
=A" u +E("(u); ) +Rt
0 G( (s) A"(u:(s)); "(u(s)))ds dans (0; T) (II: 1:1)
:
k +@'K( )3 S("(u); ) dans (0; T) (II: 1:2)
Div +f0 = u:: dans (0; T) (II: 1:3)
u= 0 sur 1 (0; T) (II: 1:4)
=f2 sur 2 (0; T) (II: 1:5)
=p (u: ); =p (u: ) sur 3 (0; T) (II: 1:6)
@
@ = 0 sur (0; T) (II: 1:7)
u(0) =u0; u: (0) =v0; (0) = 0 dans (II: 1:9)
Ici, les relations (II: 1: 1) représente la loi de comportement d’un matériau élasto-viscoplastique avec endommagement,(II: 1:2)représente une inclusion di¤érentielle décrivant l’évolution du champ d’endommagement oùSest la fonction source d’endommagement; @'K est le sous-di¤érentiel de la fonction indicatrice de l’ensemble des fonctions d’endommagement admissibles K. (II: 1: 3) représente l’équations du mouvement pour le champ de déplace-ment. Les relations (II: 1: 4)-(II: 1: 5) sont les conditions de déplacement-traction. (II:
1: 6) représente les conditions de contact avec réponse normale instantanée et frottement.
(II: 1: 7)représente la condition au limite de Neumann où @@ est la dérivée normale . La relation(II: 1:8)représente les conditions initiales du champ de déplacementu0;du champ de vitessev0 et du champ d’endommagement 0.
- Pour obtenir la formulation variationnelle du problème(II: 1: 1)-(II: 1: 9), nous avons le sous-espace fermé de H1( )d:
V =n
2H1( )d = = 0 sur 1o
2.1. Problème mécanique et formulation variationnelle
Comme mes ( 1) > 0 , l’inégalité de Korn est veri…ée, donc il existe une constante Ck >0, qui dépend uniquement de et 1, telle que:
j"( )jH C kj jH1 8 2V:
La démonstration de l’inégalité de Korn peut être trouvée dans [22; p: 79]: L’espace V muni du produit scalaire et de la norme associée donnée par:
(u; )V = ("( ); "( ))H ; j jV =j"( )jH 8u; 2V (II: 1:10) Il vient que j : jH1( )d et j . jV sont des normes équivalentes sur V et par conséquent, (V ,j . jV )est un espace de Hilbert réel.
Pour l’étude du problème (II: 1: 1)-(II: 1: 9), on considére les hypothèses suivantes.
L’opérateur de viscosité A : Sd ! Sd satisfait 8>
2.1. Problème mécanique et formulation variationnelle La fonction source d’endommagement S : Sd R ! R satisfait
8>
L’opérateur visco-plastiqueG : Sd Sd !Sd satisfait 8>
La fonction de contact normal P : 3 R ! R satisfait 8>
2.1. Problème mécanique et formulation variationnelle La fonction de contact tangentiel P : 3 Rd ! Rd satisfait
8> Nous supposons que la masse volumique, les forces volumiques et surfaciques satisfont
2 C1( ); 9 >0; tel que (x) pp x 2 (II: 1:17) f0 2 L2(0; T ;H); f2 2L2 0; T;L2( 2)d (II: 1:18)
Le champ de déplacement initial satisfait
u0 2V; v0 2H (II: 1:19)
2.2. Existence et unicité de la solution
j (u; ) = Z
3
(p (u ) +p (u ): )da ; 8u; 2V . (II:1:23) De(II: 1:15)et(II: 1:16), on remarque que les intégrales (II: 1:23) sont bien dé…nies et nous notons que les conditions(II: 1: 18) indique
f 2L2 0; T;V0 : (II: 1:24)
En utilisant des arguments standards nous obtenons la formulation variationnelle du problème mécanique(II: 1:1)-(II: 1: 9):
ProblèmePV : Trouver le champ de déplacementu: [ 0; T ] !V, le champ du tenseur des contraintes : [ 0; T ] ! H et le champ d’endommagement : [ 0; T ] ! H1( ) tels que:
=A" u(t) +E("(u(t)); (t)) +Rt
0 G( (s) A"(u:(s)); "(u(s)))ds pp ;8t2[ 0; T ];
(II: 1:25)
(t)2K; pour tout t2[0; T];
:
(t); (t)
L2( )
+a( (t); (t)) (S("(u(t)); (t)); (t))L2( ); 8 2K (II: 1:26)
(u::(t); v)V0 V + ( (t); "(v))H+j(u: (t); v) = (f(t); v)V0 V 8v 2V; p:p: t2[ 0; T ]: (II: 1:27)
u(0) =u0; u: (0) =v0; (0) = 0 : (II: 1:28) Nous notons que le problème variationnel PV est formulé en termes de champ de déplace-ment, champ du tenseur des contraintes et champ d’endommagement.
2.2 Existence et unicité de la solution
Théorème II: 2: 1: Nous supposons que les hypothèses (II: 1:11) (II: 1: 20) sont sat-isfaites .
2.2. Existence et unicité de la solution
Alors, il existe une solution unique (u; ; ) du problèmePV qui satisfait
u 2 H1(0; T;V)\C1(0; T;H); u:: 2L2 0; T;V0 (II: 2:1) 2 L2(0; T;H); Div 2L2 0; T;V0 ; (II: 2:2) 2 W1;2 0; T;L2( ) \L2 0; T;H1( ) : (II: 2:3)
Les fonctions u; et qui satisfont (II: 1: 25)-(II: 1: 26) s’appellent une solu-tion faible du problème de contact. Nous concluons que sous les hypothèses (II: 1: 10)-(II: 1: 20), le problème mécanique(II: 1:1)-(II: 1: 9)a une solution faible unique de régu-larité donnée par(II: 2:1)-(II: 2:3):
la démonstration du théorème II: 2: 1 se fait en plusieurs étapes. Nous supposons que les hypothèses du théorèmeII: 2:1 sont veri…ées,C est une constante positive qui dépend de ; 1 ; 3 ; A ;G ; S; p ; p etT mais ne dépend pas det, ni du reste des données, dont la valeur varie d’une place a l’autre.
Soit 2 L2 0:T;V0 : Dans la première étape, on considère le problème variationnel suivant.
Problème P V . Trouver le champ de déplacement u : [0; T ] !V tel que : (u:: (t); v)V0 V + (A"(u: (s)); "(v))H+j(u: (t); v) + ( (t); )V0 V = (f(t); )V0 V
8 2V; p:p t2[0; T ];
(II: 2:4)
u (0) =u0; u: (0) =v0 : (II: 2:5) Nous avons le résultat suivant.
LemmeII:2:1. Il existe une solution unique du problèmeP V qui satisfait la régularité (II: 2: 1).
Démonstration. En utilisant le théorème de représentation de Riesz, nous dé…nissons l’opérateurA : V !V 0
(Au; )V = (A"(u); "( ))H+j(u; ); (II: 2:6)
2.2. Existence et unicité de la solution
L’inégalité(II: 2: 8)et les hypotèses(II: 1:15)-(II: 1: 16)imliquent que l’opérateurA: V !V 0est continu donc il est hemicontinu. L’inégalité(II: 2:7)indique que l’opérateur A est fortement monotone surV. Nous choisissons u2 = 0V dans (II: 2: 7)nous obtenons
(Au1; u1)V0 V mAju1j2V jA0VjV0 ju1jV
2.2. Existence et unicité de la solution
2mA ;donc A satisfait la condition (I: 2:12); puis, nous choisissonsu2 = 0V dans (II: 2: 8)et en utisant (II; 1; 15) et(II; 1; 16); nous trouvons
jAu1jV0 C(ju1jV + 1) 8u1 2V;
avec C > 0; donc A satisfait la condition (I: 2:13): Finalement, d’après (II: 1:18) et (II: 1: 19); nous déduisons que
f 2L2 0; T;V0 ;
v0 2H:
Donc, il est clair d’après le théorèmeI: 2: 3 qu’il existe une fonction unique v satisfait v 2L2(0:T;V)\C(0:T;H);v: 2L2 0:T;V0 ; (II: 2:9) variationnel P V et elle satisfait la régularité exprimée dans (II: 2: 1). Ce qui conclut la partie existence du lemmeII:2:1. L’unicité de la solution vient de l’unicité de la solution du problème(II: 2: 10) .(II: 2: 11);grace au théorèmeI:2:3:
2.2. Existence et unicité de la solution
Deuxième étape, soit 2L2 (0; T;L2( ))donné, on considére le problème variationnel pour le champ d’endommagement suivant.
Problème P V . Trouver le champ d’endommagement : [ 0; T ] ! H1( ) tel que (t)2K;
:
(t); (t)
L2( )+a( (t); (t)) ( (t); (t))L2( )8 2K p:p t 2[ 0; T ];
(II: 2:13)
(0) = 0: (II: 2:14)
Pour résoudre le problème P V , on utilise un résultat standard sur les inégalités varia-tionnelles paraboliques[32; p: 47]:
Lemme II: 2:2: Le problème P V a une solution unique tel que
2H1 0; T;L2( ) \L2 0; T;H1( ) : (II: 2:15)
Démonstration. L’inclusion de H1( );j :jH1( ) dans L2( );j :jL2( ) est continue et H1( ) est dense dans L2( ). Nous notons par (H1( ))0 l’espace de duel de H1( ): H1( ) est identi…é avec L2( ) et avec son propre dual, nous pouvons écrire le triple de Gelfand
H1( ) L2( ) H1( ) 0:
Nous utilisons la notation (:; :)(H1( ))0 H1( ) pour représenter le crochet de dualité entre (H1( ))0 etH1( ): Nous avons :
( ; )(H1( ))0 H1( )= ( ; )L2( ) 8 2L2( ); 2H1( ):
Nous notons que K est un ensemble fermé, convexe dans H1( ). Puis, en utilisant la dé…nition (II: 1: 21) de la forme bilinéaire et 0 2K dans (II: 1: 20), il est facile de voir que le lemmeII: 2: 2 est une conséquence du théorème I:2: 2.
Dans la troisième étape, nous utilisons le champ de déplacement u obtenu dans le lemmeII: 2: 1 et le champ d’endommagement obtenu dans le lemmeII: 2: 2 pour con-struire le problème de Cauchy associé de champ du tenseur des contraintes.
2.2. Existence et unicité de la solution Dans l’étude du problème P V nous avons le résultat suivant.
Lemme II: 2:3: Il existe une solution unique du problèmeP V qui satisfait 2W1;2(0; T;H):
Il résulte de cette inégatité que pourpassez grand, d’une puissanse de l’opérateur est une contraction sur l’espace de BanachL2(0; T;H)et, par conséquent, il existe un élément unique 2L2(0; T;H) tel que = :Aussi, est unique solution du problème
2.2. Existence et unicité de la solution Nous utilisons le lemme de Gronwall, nous trouvons (II: 2: 17):
En considérant les propriétés de l’opérateurG, l’opérateurE et la fonctionS, t2[0; T], nous considérons l’opérateur :L2 0:T;V0 L2( ) !L2 0:T;V0 L2( ) ;8( ; )2 le champ d’endommagement et le champ du tenseur des contraintes obtenus les lemmes (II: 2: 1);(II: 2: 2); (II: 2:3) respectivement.
2.2. Existence et unicité de la solution
D’aprés(II: 2:17) nous obtenons
1( 1; 1) (t) 1( 2; 2) (t)
En procédant de la façon que pour établir(II: 2: 23) et(II: 2: 24); on obtient
j ( 1; 1) (t) ( 2; 2) (t)j2V0 L2( ) (II: 2: 25) D’aprés(II: 2:4) nous obtenons
(v:1; v1)V0 V + (A"(v1(t)); "(v1(t)))H+j(v1(t); v1) + ( 1(t); 1)V0 V = (f(t); 1)V0 V
2.2. Existence et unicité de la solution En intégrant l’inégalité précédente par rapport au temps, en utilisant les conditions initialesv1(0) =v2(0) =v0 et la condition (II: 1: 11) pour trouver.
en utilisant l’inégalité2ab ma2
A +mAb2; nous obtenons D’autre part, de(II: 2: 13) nous déduisons
:
En intégrant l’inégalité précédente par rapport au temps, en utilisant les conditions initiales 1(0) = 2(0) = 0 et l’inégalitéa( 1 2; 1 2) 0:On a
2.2. Existence et unicité de la solution
cette inégalité combinée avec l’inégalité de Gronwall nous donne
j 1(t) 2(t)j2L2( ) Nous utilisons l’inégalité précédente et (II: 2: 25) pour obtenir
j ( 1; 1) (t) ( 2; 2) (t)j2V0 L2( ) C(
Z t
0 j 1(s) 2(s)j2V ds+j 1(t) 2(t)j2L2( )+ Z t
0 j 1(t) 2(t)j2L2( )ds)
Il vient donc de l’inégalité précédente, des évaluations (II: 2:28) et(II: 2:29)
j ( 1; 1) (t) ( 2; 2) (t)j2V0 L2( ) C Z t
0 j( 1; 1) (s) ( 2; 2) (s)j2V0 L2( )ds :
2.2. Existence et unicité de la solution En réitérant cette inégalitém fois on obtient:
j m( 1; 1) m( 2; 2)j2L2(0;T;V L2( )) CmTm
m! j( 1; 1) ( 2; 2)j2L2(0;T;V0 L2( ))ds
pourmsu¢ sant grand mest une contraction sur l’espace de BanachL2 0; T;V0 L2( ) , et donc a un point …xe unique.
Maintenant, on a toutes les données qui preuvent la théorèmeII: 2: 1:
Démonstration. De l’existence. Soit( ; )2L2 (0; T;V L2( )) est un point …xe
2.2. Existence et unicité de la solution
solution de P V ;donc on a
:
(t); (t)
L2( )+a( (t); (t)) ( (t); (t))L2( );8 2 K; t2[0; T]; (0) = 0:
Donc
:
(t); (t)
L2( )
+a( (t); (t)) (S("(u(t)); (t)); (t))L2( ); 8 2 K; t 2[0; T];
(0) = 0:
et on trouve(II: 1:26): On au la solution de P V c’-à-d
(u::(t); v)V0 V + (A"(u: (s)); "(v))H+j(u: (t); v) + ( (t); )V0 V = (f(t); )V0 V
8 2 V; pp t2[0; T ];
u(0) =u0; u:(0) =v0: Et on a
(t) = E("(u(t)); (t)) + Z t
0 G( (s) A"(u:(s)); "(u(s))) ds;
ce qui implique
(u::(t); v)V0 V + (A"(u: (s)); "(v))H+j(u: (t); v) + (E("(u(t)); (t)); "(v))
H+
Z t 0
G( (s) A"(u: (s))ds; "(u(s))); "(v) = (f(t); )V0 V ;
et on trouve(II: 1:27) et (II: 1: 28):Et d’aprés les lemmes II: 2: 1; II:2: 2et II:2: 3on a les régularités (II: 2: 1) (II: 2: 3).
L’unicité. la solution unique est la conséquence de l’unicité du point …xe de l’opérateur dé…ni par (II: 2: 19) (II: 2:21) et l’unicité de la solution des problèmes P V , P V et P V .
Chapitre 3
Problème élasto-viscoplastique sans frottement avec compliance normale
Le troisième chapitre du mémoire est consacré à l’étude mathématique d’un problème de contact sans frottement pour des matériaux élasto-viscoplastiques avec endommagement dans un processus quasi-statique. Le problème se formule comme un système formé par une équation variationnelle par rapport au champ de déplacement, une inéquation variationnelle du type parabolique par rapport au champ d’endommagement. Des résultats d’existence et d’unicité de la solution ont été considérés en utilisant la théorie des inéquations du type parabolique, et des arguments de point …xe.
3.1. Problème mécanique et formulation variationnelle
3.1 Problème mécanique et formulation variationnelle
Problème P2
Trouver le champ de déplacement u : [0; T] ! Rd, le champ des contraintes : [0; T]!Sd et le champ d’endommagement : [0; T]!R tels que.
: =E"(u) +: G( ; "(u); ) dans (0; T) (III: 1: 1)
:
k +@'K( )3 S( ; "(u); ) dans (0; T) (III: 1: 2)
Div +f0 = 0 dans (0; T) (III: 1: 3)
u= 0 sur 1 (0; T) (III: 1: 4)
=f2 sur 2 (0; T) (III: 1: 5)
=p (u g); = 0 sur 3 (0; T) (III: 1: 6)
@
@ = 0 sur (0; T) (III: 1: 7)
u(0) =u0; (0) = 0; (0) = 0 dans (III: 1: 8)
Ici, la relations (III: 1:1) représente la loi de comportement d’un matériau élasto-viscoplastique avec endommagement,(III: 1: 3)représente l’équation d’évolution du champ d’endommagement qui est gouvernée par la fonction source d’endommagementS; @'K est le sous-di¤érentiel de la fonction indicatrice de l’ensemble des fonctions d’endommage ad-missiblesK, les relations(III: 1: 3)représente l’équation d’équilibres pour le champ de dé-placement. Les relations(III: 1: 4)-(III: 1: 5)sont les conditions de déplacement-traction.
La relation(III: 1: 6)représente la conditon de contact avec compliance normale sans frot-tement. (III: 1: 7) représente la condition aux limites de Neumann où @@ est la dérivée normale de . La relation (III: 1: 8) représente les conditions initiales du champ de dé-placementu0; du champ des contraintes 0 et du champ d’endommagement 0.
Pour obtenir la formulation variationnelle du problème(III: 1:1)-(III: 1:8), nous avons le sous-espace fermé dé…nit par:
V =n
2H1( )d = = 0 sur 1o
;
Comme mes ( 1) > 0, l’inégalité de Korn est veri…ée, donc il existe une constante Ck >0, qui dépend uniquement de et 1, telle que:
j"( )jH C kj jH1( )d 8 2V:
3.1. Problème mécanique et formulation variationnelle
La démonstration de l’inégalité de Korn peut être trouvée dans [22; p:79]: L’espace V muni du produit scalaire et de la norme associée donnée par:
(u; )V = ("(u); "( ))H ; j jV =j"( )jH 8u; 2V (III: 1:9) Il vient que j :jH1( )d et j . jV sont des normes équivalentes sur V et par conséquent, (V ,j . jV )est un espace de Hilbert réel.
Dans l’étude du problème (III: 1: 1)-(III: 1: 8), on considére les hypothèses suivantes.
8>
3.1. Problème mécanique et formulation variationnelle
(a) Il existe une constante L >0 tel que
jp (x; r1) p (x; r2)j L jr1 r2j 8r1; r2 2 R; p:p: x2 3:
Nous supposons aussi que les forces volumiques et surfaciques satisfont la régularité f0 2W1;2(0; T;H); f2 2W1;2 0; T;L2( 2)d : (III: 1:14) La fonctiong satisfait
g 2L2( 3); g(x) 0 p:p:x2 3; (III: 1:15) Le champ de déplacement initial satisfait
u0 2V: (III: 1:16)
Le champ des contraintes initial satisfait
0 2 H1: (III:1:17)
3.1. Problème mécanique et formulation variationnelle
(f(t); )V = Z
f0(t): dx+ Z
2
f2(t): da 8 2V; t 2[0; T]: (III: 1:20) Puis, la fonctionj :V V !Rest dé…nie par
j (u; ) = Z
3
p (u g)v da; 8v; w2V . (III: 1:21)
De (III: 1: 13) et (II: 1: 15), on remarque que les intégrales (III: 1: 21) sont bien dé…nies et nous notons que la condition(II: 1: 14) implique
f 2W1;2(0; T;V): (III: 1:22) Finalement, nous supposons la condition de compatibilité
( 0; "(v))H+j(u0; v) = (f(0); v)V ; 8v 2V: (III: 1:23) En utilisant des arguments standards, nous obtenons la formulation variationnelle du problème mécanique(III: 1:1)-(III: 1:8)
Problème PV : Trouvrer le champ de déplacement u : [ 0; T ] ! V, le champ de contrainte : [ 0; T ] ! H1 et le champ d’endommagement : [ 0; T ] ! H1( ) tels que
: (t) = E"(u:(t)) +G( (t); "(u(t)); (t)) p:p ; t 2(0; T ); (III: 1:24)
( (t); "( ))H+j(u(t); ) = (f(t); )V 8 2V; t2(0; T ) (III: 1:25)
(t)2K; p:p t2[0; T];
:
(t); (t)
L2( )
+a( (t); (t))
(S( (t); "(u(t)); (t)); (t))L2( ) 8 2 K; p:p:t2(0; T);
(III: 1:26)
u(0) =u0; (0) = 0; (0) = 0 dans : (III: 1:27)
Nous notons que le problème variationnel PV est formulé en termes de champ de déplace-ment, champ de contrainte et champ d’endommagement.
3.2. L’existence et l’unicité de la solution
3.2 L’existence et l’unicité de la solution
ThéorèmeIII:2:1. Nous supposons que les hypothèses(III: 1:10)-(III: 1: 18)et(III: 1:23) sont satisfaites.
Alors, il existe une solution unique fu; ; g du problème P V: De plus, la solution satisfait
u 2 W1;2(0; T;V); 2W1;2(0; T;H1): (III: 2:1) 2 W1;2 0; T;L2( ) \L2 0; T;H1( ) : (III: 2:2)
la démonstration du théorème III: 2: 1 se fait en plusieurs étapes, elle trouve dans [9; 14].
Soient = ( 1; 2)2L2 (0; T;H L2( )):On a
: (t) = E"(u: (t)) +G( (t); "(u(t)); (t));
En intégrant l’équation précédente par rapport au temps, on trouve (t) 0 = E"(u (t)) E"(u0) +
Z t 0
1(s) ds;
donc
(t) = E"(u (t)) E"(u0) + Z t
0
1(s)ds+ 0 on pose
Z1(t) = Z t
0
1(s)ds+ 0 E"(u0) donc
Z1 2W1;2(0; T;H)
Dans la première étape, nous considérons le problème variationnel suivant.
Problème P V 1 : Trouver le champ de déplacement u : [0; T] !V et le champ de contrainte : [0; T] ! H tels que
(t) = E"(u (t)) +Z1(t); 8t2[0; T]; (III: 2:3)
3.2. L’existence et l’unicité de la solution
( (t); "(v)) +j(u (t); v) = (f(t); v)V ; (III: 2:4)
u (0) =u0; (0) = 0 : (III: 2:5)
Dans l’étude du problème P V 1; nous avons le résultat suivant.
Lemme III: 2: 1. Le problème P V 1 a une solution faible unique, telle que
u 2W1;2(0; T;V); 2W1;2(0; T;H1): (III: 2:6) Démonstration. Soit a:V V !R la forme bilinéaire donnée par
a(u; v) = (E"(u(t)); "(v))H;8u; v 2V:
De (III: 1: 19) et (III: 1:10), nous obtenons quea(:;.) est continu et coercive surV:
De la dé…nition de la fonctionnellej donnée par (III: 1: 21); nous avons
j(u1; u1 u2) j(u1; u1 u2) 0; 8u1; u2 2V; (III: 2:7) j(u1; v) j(u2; v) Cju1 u2jV jvjV ; 8u1; u2 2V: (III: 2:8) De plus, l’utilisation du théorème de représentation de Riesz, nous pouvons dé…nir un opéra-teur B :V !V et un élémentf (t)2V par
(Bu; v)V =a(u; v) +j(u; v); (III: 2:9) (f (t); v)V = (f(t); v)V Z1(t); "(v)
H: (III: 2:10)
On a
(Bu1 Bu2; u1 u2)V = a(u1 u2; u1 u2) +j(u1 u2; u1 u2) (III: 2:11)
= a(u1 u2; u1 u2) +j(u1; u1 u2) j(u2; u1 u2) Nous savons quea est coercive et d’aprés (III: 2: 7); nous trouvons
(Bu1 Bu2; u1 u2)V 0j u1 u2j2V ; 8u1; u2 2V; (III: 2:12)
3.2. L’existence et l’unicité de la solution
i,e., que B :V !V est un opérateur fortement monotone dansV:
En utilisant(III: 2: 8)et (III: 2:9); nous obtenons
(Bu1 Bu2; v)V Cju1 u2jV jvjV ; 8v 2V:
Donc
jBu1 Bu2jV Cju1 u2jV (III: 2:13) Ce qui indique que B :V !V est de Lipschitz.
De (III: 2:12), (III: 2: 13) et d’aprés le théorème I: 2:1 il existe u 2V; tel que Bu (t) =f (t);8t2[0; T]:
On a Z1 2 W1;2(0; T;H) et f 2 W1;2(0; T;V) donc u 2 W1;2(0; T;V) et 2 W1;2(0; T;H1):
Deuxième étape, on considére le problème variationnel pour le champ d’endommagement suivant.
Problème P V 2 : Trouver le champ d’endommagement : [ 0; T ] ! H1( ) tel que
(t)2K;
:
(t); (t)
L2( )+a (t); (t)
2(t); (t) L2( )8 2K p:p t 2[ 0; T ];
(III: 2:14)
(0) = 0: (III: 2:15)
Pour résoudre le problème P V 2, on utilise un résultat standard sur les inégalités varia-tionnelles paraboliques .
Lemme III: 2:2: Le problème P V 2 a une solution unique tel que
2W1;2 0; T;L2( ) \L2 0; T;H1( ) : (III: 2:16) Démonstration. L’inclusion de H1( );j :jH1( ) dans L2( );j :jL2( ) est continue et H1( ) est dense dans L2( ). Nous notons par (H1( ))0 l’espace de duel de H1( ): H1( ) est identi…é avec L2( ) et avec son propre dual, nous pouvons écrire le triple de Gelfand
3.2. L’existence et l’unicité de la solution
H1( ) L2( ) H1( ) 0:
Nous utilisons la notation (:; :)(H1( ))0 H1( ) pour représenter le crochet de dualité entre (H1( ))0 etH1( ): Nous avons :
( ; )(H1( ))0 H1( )= ( ; )L2( ) 8 2L2( ) ; 2H1( ):
Nous notons que K est un ensemble fermé, convexe dans H1( ). Puis, en utilisant la dé…nition (III: 1: 19) de la forme bilinéaire et 0 2 K dans (III: 1: 18), il est facile de voir que le lemmeIII: 2: 2 est une conséquence du théorème I: 2:2.
Dans la troisième étape, nous utilisons le champ de déplacement u ; le champ des con-traintes obtenus dans le lemme III: 2: 1et le champ d’endommagement obtenu dans le lemme III: 2:2:
Nous considérons l’espace X =L2(0; T;H L2( )) avecj:jX donnée par j j2X =
Z t 0
1(s) 2
H+ 2(s)2
H ds;8 = ( 1; 2)2X:
Nous dé…nissons l’opérateur :X !X tel que
( ) (t) = 1( ) (t); 2( ) (t) : (III: 2:17) Dé…ni par les égalités
1( ) (t) = G (t); "(u (t)); (t) (III: 2:18)
2( ) (t) =S( (t); "(u (t)); (t)): (III: 2:19) Nous avons le résultat suivant.
LemmeIII:2:3:l’opérateur a une point …xe unique = ( 1; 2)2L2(0; T;H L2( )) tel que ( 1; 2) = ( 1; 2):
Démonstration. Soient ( 11; 21) et ( 12; 22) 2 L2(0; T;H L2( )): Nous utilisons les notationsu i =ui; i = i et
i = i;en utilisant (II: 1: 10), (III:1: 11) et(III:2: 18);
nous avons
1
1(t) 1 2(t)
H LG(j 1(t) 2(t)jH+ju1(t) u2(t)jV +j 1(t) 2(t)j); (III: 2:20)
3.2. L’existence et l’unicité de la solution et en utilisant (II: 1: 10), (III: 1: 12) et(III: 2: 19); nous obtenons
2 1
1; 21 (t) 2 12; 22 (t) LS(j 1(t) 2(t)jH+ju1(t) u2(t)jV +j 1(t) 2(t)j) (III: 2:21) On a
i(t) = E"(ui(t)) +Zi1(t); (III: 2:22)
( i(t); "(v)) +j(ui(t); v) = (f(t); v)V ;8v 2V: (III: 2:23) Il résulte de (II: 1:10) et(III: 2: 22) que
j 1(t) 2(t)jH Cju1(t) u2(t)jV + Z11(t) Z21(t)
H; 8u1; u2 2V: (III: 2:24) D’aprés(III: 2: 22) et(III: 2: 23); nous trouvons
(E"(u1) E"(u2); "(u1) "(u2))H+j(u1; u1 u2) j(u2; u1 u2) = Z11 Z21; "(u1) "(u2)
H: (III: 2:25) de (III: 2: 25); (II: 1: 10) et (III: 2:7) nous obtenons
(E"(u1(t)) E"(u2(t)); "(u1(t)) "(u2(t)))H Z11(t) Z21(t)
Hj u1(t) u2(t)jV : (III: 2:26) l’hypothèse(III: 1: 10) et la relation(III: 2: 26) on obtient
j u1(t) u2(t)j2V Z11(t) Z21(t)
Hj u1(t) u2(t)jV
donc
j u1(t) u2(t)jV C Z11(t) Z21(t)
H (III: 2:27)
CjZ1 Z2jH L2( )
On pose
=Z2;
3.2. L’existence et l’unicité de la solution En réitérant cette inégalitém fois on obtient:
j m 1 m
2j2L2(0;T;H L2( )) CmTm
m! j 1 2j2L2(0;T;H L2( ))ds
3.2. L’existence et l’unicité de la solution
ainsi, pourmsu¢ sant grand mest une contraction sur l’espace de BanachL2(0; T;H L2( )), donc a un point …xe unique.
Maintenant, on a toutes les données qui preuvent la ThéorèmeIII:2:1:
Démonstration. de l’existence. Soit ( 1; 2)2L2 (0; T;H L2( )) est un point …xe de dé…ni par(III: 2: 17) (III: 2: 19)etu; et sont des solutions du problèmesP V 1, et P V 2 pour = respectivement i.e u = u ; = et = : Nous savons que
u ; est une solution de P V 1;donc
(t) =E"(u(t)) +Z1 (t); 8t 2[0; T];
u(0) =u0; (0) = 0 ce qui implique
: (t) = E"(u: (t)) +Z:1 (t); 8t 2[0; T]
= E"(u: (t)) + 1(t): On pose
1(t) =G( (t); "(u(t)); (t)): Et on trouve (III: 1: 24).
Et d’autre part, est une solution deP V 2 pour = ;donc
(t) 2 K;
:
(t); (t)
L2( )
+a( (t); (t))
2(t); (t) L2( )8 2 K p:p t2[ 0; T ];
(0) = 0 On pose
S( (t); "(u(t)); (t)) = 2(t)
et on trouve (III: 1: 26) et (III: 1:27): Et d’aprés les lemmesIII: 2: 1;et II: 2: 2on a les régularités (III: 2: 1) (II: 2: 2):
Unicité. la solution unique est la conséquence de l’unicité du point …xe de l’opérateur dé…ni par(III: 2: 17) (III: 2: 19) et l’unicité de la solution des problèmeP V 1, et P V 2.
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