Comparaison théorique

un oscillateur intégrant un résonateur de type ALADIN en silicium114

4.2 Optimisation d’un accéléromètre vibrant en quartz de type VIA . . . 114

4.2.1 Présentation des paramètres d’un accéléromètre vibrant . . . . 115 4.2.2 Présentation de la méthode d’optimisation . . . 116 4.2.3 Optimisation pour l’inertiel . . . 121 4.2.4 Optimisation pour la surveillance de zones par sismomètre . . . 124

4.3 Compensation de la non-linéarité mécanique d’un capteur MEMS vibrant. . . . 127

4.3.1 Intérêt de la compensation de la non-linéarité mécanique . . . 127 4.3.2 Utilisation des non-linéarités électrostatiques. . . 128 4.3.3 Utilisation d’un circuit électronique dédié. . . 130

4.4 Conclusion sur l’exploitation des modèles . . . 134 Dans ce chapitre, les modèles développés et validés dans les chapitres précédents sont mis à profit d’une part pour comparer les performances d’oscillateurs utilisant différents modes de transduction, et d’autre part pour permettre l’optimisation d’un accéléromètre vibrant en quartz et l’annulation des non linéarités inhérentes aux résonateurs miniatures.

4.1 Comparaison des différents types de transduction

Dans un premier temps, les expressions analytiques développées précédemment se-ront utilisées pour comparer les performances d’oscillateurs utilisant les différents types de transduction. Les simulations des modèles seront ensuite menées afin de déterminer l’intérêt de la transduction optique par rapport aux transductions piézoélectrique et élec-trostatique sur des résonateurs connus.

4.1.1 Comparaison théorique

Détection hors résonance

Concernant les vibrations forcées de résonateurs (hors résonance), le bruit de détection prédominant est le bruit du système de détection. Le rapport signal à bruit de détection sera donc d’autant plus élevé que le courant de détection est élevé pour une amplitude de vibration donnée. On peut ainsi comparer l’influence des types de transduction sur le rapport signal à bruit hors résonance en exploitant les équations analytiques développées dans le chapitre 2. On rappelle ici les expressions analytiques développées et résumées dans le tableau 2.1 du courant de détection pour une transduction piézoélectrique et une transduction électrostatique.

i_piezo = a_corre₁₂^12eh

L ^{˙x (4.1)}

i_elec = ^0rab g2

0

U_{N L}˙x (4.2)

Dans le cas de ces deux détections, en restant dans le domaine linéaire et en se plaçant autour d’un point de fonctionnement, on obtient l’expression du courant de détection proportionnel au déplacement x :

i_piezo = a_corre₁₂^12eh

L ^{ω0x (4.3)}

i_elec = ^0rab g2

0

U_{N L}ω₀x (4.4)

En remplaçant, la pulsation propre ω₀ par l’expression de la fréquence de résonance d’une poutre (équation 1.10 du chapitre 1), on obtient :

i_piezo = a_corre₁₂² √ 3π2β₁²e²h L3 s E ρ^{x (4.5)} i_elec = ^0rab g2 0 U_{N L} ^π 2β2 1e 2√ 3L2 s E ρ^{x (4.6)}

cou-rant de détection proportionnel au déplacement x : i_obs = T₂P₀ ¹ 2 ⁺ √ 2 ω(z)√ π^x ! (4.7)

Dans le cas de la détection par interférométrie, on a vu que le point de fonctionne-ment se trouve sur le flanc positif ou négatif d’un pic de résonance optique (figure 2.19). L’équation de l’intensité est la suivante :

i_interf = ^T2P0

1 + ^4R

(1 − R)2 sin^{2 2πnx cos(θ)} λ

! (4.8)

La poutre ayant un faible déplacement autour de ce point de fonctionnement (quelques nanomètres), il est possible de linéariser la courbe autour de ce point (plage de détection de quelques dizaines de nanomètres figure 2.19). Il convient dans un premier temps de calculer la position yf de ce point de fonctionnement. Ce point de fonctionnement se trouvant au maximum de pente, une double intégration sur d permet de le situer. Pour la simplification des calculs on prendra pour valeur de réflectivité R = 0.95 (correspondant à des cas pratiques). La double intégration ainsi que la résolution du point de fonctionnement peut se faire en calcul formel.

di_interf dx ^{= −} 6080T₂P₀sin ^{2πnx cos(θ)} λ ! cos ^{2πnx cos(θ)} λ ! πn cos(θ) 1 + 1520 sin^{2 2πnx cos(θ)} λ !!2 λ (4.9) (4.10) d2i_interf dx2 = 0 ⇒ x_{f 1} = ±^0.0023λ n cos(θ) ^{ou xf 2= ±} 0.49λ n cos(θ) ^(4.11)

Dans un second temps, on retrouve la pente de l’équation 4.8 au point de fonction-nement en prenant la dérivée première en ce point. x_{f 1} et x_{f 2} étant deux points de fonc-tionnement similaires et de même pente.

di_interf

dx ^{(xf 1) =}

159T₂P0n cos(θ)

λ ^(4.12)

Finalement, on obtient l’approximation du courant de détection optique par interfé-rométrie après linéarisation autour du point de fonctionnement par :

i_interf = ^{159T2P0n cos(θ)}

λ ^{x (4.13)}

Appelons K le rapport d’homothétie des dimensions d’un résonateur. Prenons dans cet exemple, une électrode de détection maximale, c’est à dire pour a = h et b = L. En

effectuant cette homothétie, il est possible de conclure sur le rapport ⁱ x ^: i_piezo

x ∝ Constante

i_elec

x ∝ K pour K < 1 (gap minimum pour la technologie utilisée)

∝ ¹

K ^{pour K > 1 (le gap dépend alors du facteur d’homothétie)} i_obs

x ∝ Constante

i_interf

x ∝ Constante

(4.14)

En prenant pour exemple les dimensions d’une poutre Aladin (tableau 3.2, chapitre 3), il est possible de tracer ces rapports en fonction du rapport d’homothétie K pour comparer entre eux les domaines intéressants des différents types de transduction (figure 4.1). Les différentes valeurs des constantes sont reportées dans le tableau 4.1 pour les détections piézoélectrique et électrostatique.

a_corr e₁₂ ₀_r (kg⁻¹.m⁻³.A2.s4) g₀ (µm) U_{N L} (V )

Valeur 0, 21 0, 1711 8, 85.10⁻¹² 5 10

Table 4.1 – Valeurs des constantes pour la détection piézoélectrique et électrostatique.

Dans le cas de la détection optique, ces valeurs sont présentées dans le tableau 4.2 avec pour ρ la masse volumique et E le module de Young du silicium (tableau 3.3).

T₂ (A.W⁻¹) P₀ (mW ) ω(z) (µm) θ (˚) n λ (nm)

Valeur 1 0.1 5 0 1 1550

Table 4.2 – Valeurs des constantes pour la détection optique.

Pour comparer les valeurs de détection suivant le type de transduction, on prend tout d’abord le niveau typique de bruit d’un amplificateur faible bruit (10nV /√

Hz). Ce bruit de tension est transformé en courant de bruit à l’entrée de cet amplificateur en prenant comme capacité inter-électrodes C₀ = 1pF . Le bruit optique sur la photodiode (shot noise) est également pris en compte pour la détection optique [87].

Les différentes valeurs du bruit de détection sont les suivantes : x_piezo = 2, 3.10⁻¹³ m/√ Hz x_elec = 4, 7.10⁻¹³/K m/√ Hz K<1 = 4, 7.10⁻¹³K m/√ Hz K>1 x_obs = 3, 5.10⁻¹³ m/√ Hz x_interf = 5, 5.10⁻¹⁶ m/√ Hz (4.15)

Rapport d'homothétie K B rui t de d étectio n du d ép la cem ent (m /sqr t( Hz )) Détection piézoélectrique Détection électrostatique

Détection par obscuration

Détection par interférométrie

14

15

16 13 12

Figure 4.1 – Bruit de détection en déplacement de la poutre en fonction d’un rapport d’homothétie pour différents types de transduction.

Le bruit de détection piézoélectrique est proportionnellement moins important que celui de l’électrostatique. Le matériau quartz est ainsi mieux adaptée aux petites dimen-sions de ce résonateur. Pour la détection électrostatique la tension de polarisation U_{N L} est fixée (au maximum avant le pull-in). La détection par interférométrie est beaucoup plus résolue que les autres techniques de détection, mais elle se fait autour d’un point de fonctionnement, ce qui engendre deux conséquences néfastes :

– d’une part une mauvaise stabilité de la mesure : toute variation de la longueur d’onde du faisceau ou de la distance source-poutre (en température notamment) a pour conséquence une variation de la mesure.

– d’autre part la détection est possible que pour des faibles valeurs de déplacements (< 10 nm)

Pour l’optique, la largeur du faisceau ω(z) doit être plus petite que l’épaisseur vibrante de la poutre ce qui a pour conséquence de limiter la diminution de la taille de la poutre à quelques micromètres.

4.1.2 Comparaison des transductions électrostatique et optique